八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第一部分 基礎(chǔ)知識(shí)篇 第15課 圖形與證明例題課件 （新版）浙教版.ppt

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重點(diǎn)中學(xué)與你有約,例1.如圖，已知D是AC上一點(diǎn)，AB=DA，DE//AB，∠B=∠DAE.求證：BC=AE.,解題技巧,∵DE//AB，∴∠CAB=∠ADE,∴BC=AE.,在△ABC和△DAE中，,舉一反三,思路分析:由垂直的性質(zhì)就可以得出∠B=∠EAD，再根據(jù)AAS就可以得出△ABC≌△EAD，就可以得出AB=AE．,如圖，在△ABC中，∠ACB=90，D是AC上的一點(diǎn)，且AD=BC，DE⊥AC于D，∠EAB=90．求證：AB=AE．,失誤防范,全等三角形的判定：SSS(邊邊邊):三邊對(duì)應(yīng)相等的三角形是全等三角形；SAS(邊角邊):兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的三角形是全等三角形；ASA(角邊角):兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等；AAS(角角邊):兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等；HL定理(斜邊、直角邊):在一對(duì)直角三角形中，斜邊及另一條直角邊相等.,例2.如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90，點(diǎn)B,C,E在同一直線上，AC=AB,AD=AE,且AE與BD交于點(diǎn)F，你能判斷出CE與BD的關(guān)系嗎？請(qǐng)說明理由.,重點(diǎn)中學(xué)與你有約,解題技巧,BD=CE，BD⊥CE，理由是：∵∠DAE=∠BAC=90，∴∠CAE=∠BAD，,∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE=BD，∠ACE=∠ABD．,在△ACE和△ABD中，,在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACE=90，∴∠ABD+∠ABC=90,即∠CBD=90,BD⊥CE．,舉一反三,思路分析:（1）求出∠BAD=∠CAE，根據(jù)SAS推出△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BDA=∠E，根據(jù)∠E+∠ADE=90求出∠BDA+∠ADE=90即可．,如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C、D、E在同一直線上，連結(jié)BD．（1）求證：BD=EC；（2）BD與CE有何位置關(guān)系？請(qǐng)證你的猜想．,失誤防范,全等三角形的性質(zhì)：1.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；2.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；3.能夠完全重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；4.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等；5.全等三角形的對(duì)應(yīng)角的角平分線相等；6.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線相等；7.全等三角形面積和周長相等；8.全等三角形的對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值相等.,例3.如圖，在△ABC中，∠BAC=108，AB=AC，BD平分∠BAC，交AC于D.求證：BC=CD+AB.,重點(diǎn)中學(xué)與你有約,解題技巧,法1：（截長法）在BC上取點(diǎn)E使BE=BA，連接DE，如圖1∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，,在△ABD和△EBD中，AB=EB，∠ABD=∠EBD,BD=BD∴△ABD≌△EBD（SAS），∴∠BAC=∠BED=108，AD=DE，∴∠DEC=72゜，,∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=36，∴∠CDE=72，∴∠CDE=∠CED=72，∴CD=CE，則BC=BE+EC=AB+CD；,解題技巧,法2：（補(bǔ)短法）延長BA至E，使BE=BC，連接DE，如圖2∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD，,在△EBD和△CBD中，EB=CB，∠EBD=∠CBD,BD=BD∴△EBD≌△CBD（SAS），∴DE=DC，∠E=∠C=36，,∵∠EAD=72，∴∠EDA=∠EAD=72，∴EA=ED，∴CD=DE=AE，則BC=BE=AB+AE=AB+CD．,舉一反三,思路分析:延長AD、EF交于點(diǎn)G，DE=BD，再根據(jù)∠BDA=∠EDG，BD=ED，證出△ABD≌△GED，得出AB=GE，又因?yàn)椤螧AD=∠DAC，所以∠FGD=∠DAC，AF=GF，即可證出AF+EF=AB,在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在DC的延長線上，且DE=BD，過E作EF∥AB交AC的延長線于F．求證：AF+EF=AB.,失誤防范,截長補(bǔ)短法：截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想.截長:1.過某一點(diǎn)作長邊的垂線2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等.補(bǔ)短:1.延長短邊2.通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起.,例4.已知，點(diǎn)C是線段AB上除點(diǎn)A,B,外的任意一點(diǎn)，分別以AC,BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN．（1）求證：AE=BD；（2）求證：MN∥AB．,重點(diǎn)中學(xué)與你有約,解題技巧,（1）∵△ACD和△BCE是等邊三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60，∠ECB=60，∵∠DCA=∠ECB=60，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，在△ACE與△DCB中，∵AC=DC，∠ACE=∠DCB，CE=CB,∴△ACE≌△DCB，∴AE=BD；（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，而A、C、B三點(diǎn)共線，∴∠DCN=60，在△ACM與△DCN中，∵∠CAM=∠NDC,AC=DC，∠ACM=∠DCN，∴△ACM≌△DCN，∴MC=NC，∵∠MCN=60，∴△MCN為等邊三角形，∴∠NMC=∠MCA=60，∴MN∥AB．,舉一反三,在△ABC中，AD是△ABC的角平分線．（1）如圖1，過C作CE∥AD交BA延長線于點(diǎn)E，若F為CE的中點(diǎn)，連接AF，求證：AF⊥AD；（2）如圖2，M為BC的中點(diǎn)，過M作MN∥AD交AC于點(diǎn)N，若AB=4，AC=7，求NC的長．,舉一反三,思路分析:（1）推出∠3=∠E，推出AC=AE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出AF⊥CE，根據(jù)平行線性質(zhì)推出即可；（2）延長BA與MN延長線于點(diǎn)E，過B作BF∥AC交NM延長線于點(diǎn)F，求出BF=CN，AE=AN，BE=BF．設(shè)CN=x，則BF=x，AE=AN=AC﹣CN=7﹣x，BE=AB+AE=4+7﹣x．得出方程4+7﹣x=x．求出即可．,答案：（1）證明：∵AD為△ABC的角平分線，∴∠1=∠2．∵CE∥AD，∴∠1=∠E，∠2=∠3．∴∠E=∠3．∴AC=AE．∵F為EC的中點(diǎn)，∴AF⊥EC，∵AD∥EC，∴∠AFE=∠FAD=90．∴AF⊥AD．（2）解：延長BA與MN延長線于點(diǎn)E，過B作BF∥AC交NM延長線于點(diǎn)F，∴∠3=∠C，∠F=∠4∵M(jìn)為BC的中點(diǎn),∴BM=CM．在△BFM和△CNM中，∠3=∠C，∠F=∠4，BM=CM,∴△BFM≌△CNM，∴BF=CN，∵M(jìn)N∥AD，∴∠1=∠E，∠2=∠4=∠5．∴∠E=∠5=∠F．∴AE=AN，BE=BF．設(shè)CN=x，則BF=x，AE=AN=AC﹣CN=7﹣x，BE=AB+AE=4+7﹣x．∴4+7﹣x=x．解得x=5.5．∴CN=5.5．,失誤防范,中考題中與三角形有關(guān)的綜合題:類型一：構(gòu)造法添加輔助線當(dāng)題目中的結(jié)論在現(xiàn)有圖形中難以解決時(shí)，我們自然會(huì)考慮添加輔助線，而構(gòu)造全等三角形來轉(zhuǎn)化線段或角是我們常用的方法之一．類型二：在變化的圖中探究同一類問題這類問題往往是方法的延續(xù)，而第一問是很容易入手的，因此對(duì)比第一問，利用第一問的方法就可以解決后面的問題．,例5.已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,B重合），分別過點(diǎn)A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,Q為斜邊AB的中點(diǎn).（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長線上時(shí)，此時(shí)（2）的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形并給予證明．,重點(diǎn)中學(xué)與你有約,解題技巧,（1）AE∥BF,QE=QF，（2）QE=QF，證明：延長FQ交AE于點(diǎn)D，如圖.∵AE⊥CP，BF⊥CP，∴AE∥BF，∴∠1=∠2.∵Q為斜邊AB的中點(diǎn)，∴AQ=BQ，∵∠3=∠4，∴△AQD≌△BQF，∴QD=QF.∵AE⊥CP，∴QE為Rt△DEF斜邊FD上的中線，∴QE=FD=QF.（3）（2）中結(jié)論仍然成立.理由：如圖，延長EQ、FB交于點(diǎn)D，∵AE∥BF，∴∠1=∠D，∵∠2=∠3，AQ=BQ，∴△AQE≌△BQD，∴QE=QD，∵BF⊥CP，∴FQ為Rt△DEF斜邊DE上的中線，∴QF=ED=QE．,舉一反三,已知：點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為E、F，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)如圖1，求證：OE=OF（2）直線BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí)，且∠OFE=30時(shí)，如圖2，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給予證明．（3）當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線CA的延長線上時(shí)，且∠OFE=30時(shí)，如圖3，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論即可．,舉一反三,思路分析:（1）由△AOE≌△COF即可得出結(jié)論．（2）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE，延長EO交CF于點(diǎn)G，只要證明△EOA≌△GOC，△OFG是等邊三角形，即可解決問題．（3）圖3中的結(jié)論為：CF=OE﹣AE，延長EO交FC的延長線于點(diǎn)G，證明方法類似．,答案：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90，又∠AOE=∠COF，AO=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（2）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE．證明如下：延長EO交CF于點(diǎn)G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，又AO=OC，∠AEO=∠COG，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在Rt△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30，∴∠OFG=90﹣30=60，∴△OFG是等邊三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．,舉一反三,（3）圖3中的結(jié)論為：CF=OE﹣AE．證明如下：延長EO交FC的延長線于點(diǎn)G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，又∠AOE=∠GOC，AO=OC，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在Rt△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30，∴∠OFG=90﹣30=60，∴△OFG是等邊三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．,失誤防范,1.涉及中點(diǎn)常用到的定理：三角形中位線定理；中位線判定定理；直角三角形斜邊中線定理；斜邊中線判定.等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合)2.幾何圖形綜合題：經(jīng)常會(huì)涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．,例6.如圖，已知四邊形ABCD中，∠ADC=60，∠ABC=30,AD=CD,求證：BD2=AB2+BC2.,重點(diǎn)中學(xué)與你有約,解題技巧,如圖，將△ADB以D為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，使A與C點(diǎn)重合，B與E點(diǎn)重合，連接BE，∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，又∵∠ADC=60，∴∠BDE=60，∴△DBE為等邊三角形，∴DB=BE，又∴∠ECB=360﹣∠BCD﹣∠DCE=360﹣∠BCD﹣∠A=360﹣（360﹣∠ADC﹣∠ABC）=60+30=90，∴△ECB為直角三角形，∴EC2+BC2=BE2，∴BD2=AB2+BC2．,6.如圖，已知四邊形ABCD中，∠ADC=60，∠ABC=30,AD=CD,求證：BD2=AB2+BC2.,舉一反三,如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=30，∠ADC=60，AD=DC，若AB=5，BC=6，求BD的長．（提示：把△DCB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60到ACB′，連BB′）,思路分析:把△DCB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60到ACB′，連BB′，由△DCB≌△ACB′，推出BD=AB′，再證明△ABB′是直角三角形，利用勾股定理求出AB′即可解決問題．,答案：把△DCB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60到ACB′，連BB′，∵AD=CD，∠ADC=60，∴△ADC是等邊三角形，∴DC=AC，∠ACD=60，∵∠ACD=∠BCB′=60，∴∠DCB=∠ACB′，∵△DCB≌△ACB′，∴BD=AB′，∵BC=CB′，∠BCB′=60，∴△BCB′是等邊三角形，∴∠CBB′=60，∵∠ABC=30，∴∠ABB′=∠ABC+∠CBB′=90，∴BD=AB′=,失誤防范,1.用旋轉(zhuǎn)法作輔助線證明平面幾何題：旋轉(zhuǎn)法就是在圖形具有等鄰邊特征時(shí)，可以把圖形的某部分繞等鄰邊的公共端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)另一位置的引輔助線的方法.（1）旋轉(zhuǎn)方法主要用途是把分散的元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件；（2）旋轉(zhuǎn)時(shí)要注意旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度的大?。ㄈ兀褐行摹⒎较?、大小）；（3）旋轉(zhuǎn)方法常用于竺腰三角形、等邊三角形及正方形等圖形中.2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．,例7.如圖，在△ABC中，∠C=90，點(diǎn)M在BC上，且BM=AC，N在AC上，且AN=MC，AM與BN相交于P，求證：∠BPM=45.,重點(diǎn)中學(xué)與你有約,解題技巧,如圖，過M作ME∥AN，使ME=AN，連NE，BE，則四邊形AMEN為平行四邊形，∴NE=AM，ME⊥BC，∠1=∠2，∵M(jìn)E=AN=CM，∠EMB=∠MCA=90，BM=AC，∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠3=∠4，∵∠1+∠3=90，∴∠2+∠4=90即∠BEN=90，而BE=NE，∴△BEN為等腰直角三角形，∠BNE=45，∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45．,7.如圖，在△ABC中，∠C=90，點(diǎn)M在BC上，且BM=AC，N在AC上，且AN=MC，AM與BN相交于P，求證：∠BPM=45.,舉一反三,如圖所示，已知：△ABC中，∠A=90，D是AC上一點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為E，點(diǎn)M、N分別在BA、BC上，且BM=BN，DM=DN，求證：DA=DE．,思路分析:連接BD，先證明△BDM≌△BDN得∠DBM=∠DBN，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理即可證明．,答案：連接BD．∵BM=BN,BD=BD,DM=DN∴△BDM≌△BDN，∴∠DBM=∠DBN，∵∠A=90，∴DA⊥BA，DE⊥BC，∴DA=DE．,失誤防范,1.平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等．2.基本圖形的輔助線的畫法:人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的，當(dāng)問題的條件不夠時(shí)，添加輔助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略.下面介紹一下基本圖形的輔助線的畫法：,失誤防范,（1）三角形問題添加輔助線方法方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍.含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題.方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問題.方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理.方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補(bǔ)短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段.,失誤防范,（2）平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：連對(duì)角線或平移對(duì)角線；過頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形；連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線；連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形；過頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.,