數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文.doc

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1、畢 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生直覺思維的培養(yǎng) In the process of Mathematics teaching，the teacher should strengthen the students Cultivation of intuitive thinking.業(yè) 論 專業(yè)：08級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)3班 姓名：王月 學(xué)科門類：教育類 指導(dǎo)老師：趙花麗文0摘 要 直覺思維是人們?cè)诿媾R新的問題，新的事物和現(xiàn)象時(shí)，能迅速理解并作出判斷的思維活動(dòng)。直覺思維作為一種心理現(xiàn)象，不僅存在于日常生活之中，而且也貫穿于科學(xué)研究之中。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)過程中，直覺思維是至關(guān)重要的，它能使我們對(duì)偶然出現(xiàn)的現(xiàn)

2、象提出猜想和假設(shè)，能使我們快速地發(fā)現(xiàn)問題的答案，能使我們?cè)卺j釀中頓悟。傳統(tǒng)觀點(diǎn)認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門抽象的數(shù)字符號(hào)科學(xué)，它需要的是邏輯思維。毋庸置疑，邏輯思維對(duì)于數(shù)學(xué)的研究與學(xué)習(xí)是必不可少的，但是快速跳躍的直覺思維往往是創(chuàng)新思維的開始。靈感的瞬間迸發(fā)，剎那間的頓悟，直覺思維起著舉足輕重的作用。本文從直覺思維的起源與定義出發(fā)，論述了直覺思維的特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)過程中所扮演的角色及其對(duì)數(shù)學(xué)研究的重要意義。傳統(tǒng)教學(xué)活動(dòng)中對(duì)直覺思維培養(yǎng)的匱乏使直覺思維在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中如何培養(yǎng)成為關(guān)鍵問題。文章最后介紹了一些培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維的方法。數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)要從中小學(xué)開始起步，鼓勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新，大膽猜想，將成為

3、數(shù)學(xué)教學(xué)乃至整個(gè)教育界的最終目標(biāo)。關(guān)鍵詞：直覺思維;數(shù)學(xué)；創(chuàng)造性AbstractIntuition thinking is:when people face new problems,difficult things and phenomenon,they can quickly understand and make a judgement.As a kind of psychology phenomenon,it not only exist in daily life,but also penetrate the scientific research work.In mathemati

4、cs learning and teaching process,intuition thinking is the key.It can make us raise guess and hypothesis for some occasional phenomenon,can make us quickly find the answer to the question,can make us insightful in brewing.Traditional ideas think that mathematics is an abstract number symbols science

5、,it needs logical thinking.No doubt logical thinking is indispensablefor mathematical research and study,but quickly and jumping intuition thinking is always the beginning of creative thinking.The moment of inspiration hair collapse,and in an instant the enlightenment,intuition thinking plays a very

6、 important role.Begin with the origin of intuition thinking and definition,this paper discusses the characteristics of the intuition thinking,the role it plays in the process of learning and teaching,the significance for mathematics research.The lack of intuition thinking training in traditional tea

7、ching process makes the development become the key problem.Last but not least,the paper introduces some methods to train mathematics intuition thinking.To train the mathematics intuition thinking should begin from primary school,and encourage student to the bold innovative,bold guess,it will become

8、mathematics teaching and the whole educations ultimate goal. Key word:intuition thinking;mathematics;creative ability目 錄摘要Abstract目錄第1章 數(shù)學(xué)直覺思維的相關(guān)定義1 1.1直覺思維的定義11.2數(shù)學(xué)直覺思維的定義1第2章 直覺思維的特點(diǎn) 22.1直覺思維的特點(diǎn)3 2.1.1快速性 2.1.2跳躍性 2.1.3堅(jiān)信性 2.1.4或然性2.2直覺思維在數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中的特點(diǎn) 2.2.1潛邏輯性 2.2.2整體性 2.2.3隨機(jī)性 2.2.4創(chuàng)造性第3章 加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺

9、思維的培養(yǎng)3.1精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，努力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維 3.1.1科學(xué)猜想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維 3.1.2加強(qiáng)對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維 3.1.3鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維3.2深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維 3.2.1從數(shù)形結(jié)合思想入手，大力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維 3.2.2從化歸思想入手，大力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維 3.2.3從抽象思想入手，大力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維 第一章 數(shù)學(xué)直覺思維的相關(guān)定義 數(shù)學(xué)作為研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，以其高度的抽象性和邏輯性而著稱，由于抽象，思維的培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與發(fā)展至關(guān)重

10、要。從思維方式上看，思維可以分為邏輯思維、形象思維和直覺思維。傳統(tǒng)觀點(diǎn)看來(lái)，數(shù)學(xué)思維方式主要為邏輯思維和形象思維。嚴(yán)密的邏輯推理，直觀的表象是了解數(shù)學(xué)的行之有效的途徑。因此，在教育教學(xué)過程中，教師將證明解題過程嚴(yán)格化，其目的是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維與形象思維。但是，在此過程中，學(xué)生只能看見僵硬的邏輯外殼，直覺思維被深深的壓抑住了。然而，創(chuàng)新思維的重要組成成分為直覺思維，也許這正與當(dāng)今社會(huì)缺乏創(chuàng)新精神密切相關(guān)。因此，在大力倡導(dǎo)創(chuàng)新思維的今天，直覺思維也應(yīng)該是教師關(guān)注的一個(gè)方面?，F(xiàn)在就讓我們了解一下什么是直覺思維及其在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用。1.1 直覺思維的定義 直覺思維是人們?cè)诿媾R新的問題，新的事物和現(xiàn)象時(shí)

11、，能迅速理解并作出判斷的思維活動(dòng)。只是一種直接的領(lǐng)悟性的思維活動(dòng)。直覺思維作為一種思維方式，具有跳躍性、快速性、或然性等特征。它不僅廣泛存在與日常生活之中，而且也對(duì)科學(xué)研究具有重大貢獻(xiàn)。例如：警察在喧擾的人群中能迅速定位罪犯，這是一種在日常生活之中的直覺思維現(xiàn)象。而在科學(xué)研究中，牛頓利用其獨(dú)特的直覺思維，從蘋果落地發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力。那么對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，直覺思維的作用又將如何呢？數(shù)學(xué)直覺思維的作用與意義又是什么呢？1.2 數(shù)學(xué)直覺思維的定義 數(shù)學(xué)直覺思維的簡(jiǎn)單界定是具有意識(shí)的人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的某種直接的領(lǐng)悟和洞察。對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)直覺思維的理解，大致上可以分為兩個(gè)方面：一個(gè)是數(shù)學(xué)問題的直觀洞察和直觀理

12、解，另一個(gè)是數(shù)學(xué)靈感。對(duì)于前者，布朗姆曾指出：“在數(shù)學(xué)中直覺概念是從兩種不同意義來(lái)使用的：一方面，說某人是直覺的思維，意即他花了許多時(shí)間做一道題，突然間他做出來(lái)了，但是還需為答案提出形式證明；另一方面，說某人是具有良好數(shù)學(xué)能力的數(shù)學(xué)家，意即當(dāng)別人向他提問時(shí)，它能迅速做出很好的猜測(cè)，判斷某事物是不是這樣，或說出在幾種解題方法中哪一個(gè)將證明有效?！睌?shù)學(xué)直覺思維將需要嚴(yán)密的邏輯推理，意即它是在一定的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)之上產(chǎn)生的，而并不是胡亂的猜測(cè)與想象。數(shù)學(xué)直覺思維的另一種形式是靈感，問題解決的過程可以分為準(zhǔn)備期、醞釀期和豁朗期。靈感的產(chǎn)生是在醞釀的基礎(chǔ)之上形成的。靈感是一種突然性的領(lǐng)悟，長(zhǎng)時(shí)間的孕育，思

13、考之后思維上的飛躍。靈感使創(chuàng)造性思維成為可能，意即直覺思維促進(jìn)了創(chuàng)造性思維。那么接下來(lái)我們將通過下面的例題加深我們對(duì)數(shù)學(xué)直覺思維以及靈感的認(rèn)識(shí)與理解。例1：已知a，b，c，d R，且0 a，b，c，d x，求證：分析:欲證不等式左邊小于4x，直覺告訴我們這可能是一個(gè)以x為邊 長(zhǎng)的正方形的周長(zhǎng)，進(jìn)一步觀察左邊不等式，直覺告訴我們這 四個(gè)無(wú)理式可看成四個(gè)直角三角形，進(jìn)而可以通過勾股定理來(lái) 考慮問題，構(gòu)造圖形如下： 圖1 證明：如圖所示，設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為x，E.F.G.H分別為四邊上的一點(diǎn)，且 AE=a，HD=d，GC=c，BF=b。則EB=x-a，AH=x-d，DG=x-c， FC=x-b，

14、由勾股定理可得：， , 顯然有 EF+FG+HG+EHAD+AB+BC+CD，即： 第二章 數(shù)學(xué)直覺思維的特點(diǎn)直覺思維作為人類生存的原始能力，有著其獨(dú)特的特征與表達(dá)方式，直覺思維最廣泛的定義是直接領(lǐng)悟，意指帶有某種神秘感的對(duì)客觀事物的直接認(rèn)識(shí)。直覺思維以其獨(dú)特的視角在教學(xué)中應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究有了生命力，有了活力，它讓抽象的邏輯符號(hào)運(yùn)算變得更有意義，更有韻味。2.1 直覺思維的特點(diǎn)2.1.1 快速性 直覺思維要求在瞬間快速對(duì)空間結(jié)構(gòu)關(guān)系作出判斷，利用直覺思維解決問題的過程很短暫，它需要的是直接領(lǐng)悟、反應(yīng)靈敏。直覺思維的快速性表現(xiàn)在對(duì)思維者的反應(yīng)速度、空間整體性的考察，其對(duì)于創(chuàng)造性思維的開

15、展是必不可少的。2.1.2 跳躍性 直覺思維是對(duì)思維的對(duì)象全方位整體的考察，它需要調(diào)動(dòng)思維者所有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過豐富的猜想與假設(shè)做出敏銳而迅速的判斷，它不是一步步分析推理，而是采取了“跳躍式”的形式。它是思維火花的瞬間迸發(fā)，是長(zhǎng)期積累的升華飛躍，是一種靈感與頓悟，是思想與真理的跳躍性碰撞，是思維過程的簡(jiǎn)化，但卻清晰地觸及了事物的本質(zhì)。2.1.3 堅(jiān)信性成功可以是一個(gè)人充滿自信，激發(fā)新的創(chuàng)造性活動(dòng)，直覺發(fā)現(xiàn)伴隨著強(qiáng)烈的自信心，它使我們擁有強(qiáng)大的學(xué)習(xí)動(dòng)力。直覺思維使我們堅(jiān)信自己的看法觀點(diǎn)與猜想，它帶來(lái)強(qiáng)大的信心去完成某個(gè)項(xiàng)目，解決某個(gè)問題。相比其他的物質(zhì)上的獎(jiǎng)勵(lì)與精神上的鼓舞，這種堅(jiān)信性是我們更自

16、信、更勇敢。這種直覺上的堅(jiān)信性使我們更無(wú)畏地向前，朝著真理的方向邁進(jìn)。2.1.4 或然性 直覺思維的判斷結(jié)果不一定都是正確的，其原因在于加工組塊工程及其連接上的模糊性，但是，直覺思維提供了一種快速解決問題的途徑、豁然開昂的可能性。直覺思維的或然性提供了創(chuàng)造性思維的契機(jī)，為創(chuàng)造力的開發(fā)提供了可能性。2.2 直覺思維在數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中的特點(diǎn) 2.2.1 潛邏輯性 蘇聯(lián)心理學(xué)家尼基伏羅娃在論直覺中指出：“直覺是瞬間的推斷，是邏輯程序的高度濃縮?！遍L(zhǎng)期以來(lái)，人們刻意將邏輯思維與直覺思維分離開來(lái)，其實(shí)這是一種錯(cuò)誤的做法，直覺思維與邏輯思維是相互貫通不可分離的。人們普遍認(rèn)為，邏輯相當(dāng)于演繹，直覺重于分析。這

17、話，并無(wú)錯(cuò)誤，但數(shù)學(xué)邏輯中真的沒有直覺成分？亦或數(shù)學(xué)直覺思維中真的不需要邏輯思維？日常生活中，有許多神秘莫測(cè)的事物，人們對(duì)各種事物的認(rèn)識(shí)都離不開直覺，甚至可以說直覺無(wú)時(shí)無(wú)刻不在起著作用。數(shù)學(xué)也是對(duì)客觀世界的概括性的反應(yīng)，它使人們利用直覺思維產(chǎn)生一定的數(shù)學(xué)概念，然后利用邏輯推理使問題得以解決的一種過程。下面我們就以數(shù)學(xué)問題的證明為例，來(lái)考察數(shù)學(xué)直覺思維的潛邏輯性在證明過程中所起的作用。例1：求證：形如4n+3的整數(shù)p(nZ)不能化為兩個(gè)整數(shù)的平方和分析：從已知條件出發(fā)，直覺思維告訴我們可以運(yùn)用反證法，然后我 們利用邏輯思維可以思考兩個(gè)整數(shù)的平方和有什么形式，進(jìn)而 假設(shè)p=a2+b2（a，bZ）證

18、明：假設(shè)p=a2+b2（a，bZ），則a，b必定一奇一偶。接下來(lái)不妨 假設(shè)，則有： 這與題設(shè)p為形如p=4n+3的整數(shù)矛盾，假設(shè)不成立，則結(jié)論 得證。數(shù)學(xué)證明的過程即是如此，可能邏輯推理告訴你演繹推理和基本運(yùn)算可以到達(dá)終點(diǎn)，但是卻沒有告訴你這些路徑的哪些選取與組合可以構(gòu)成一條通路。而事實(shí)上，出發(fā)不久，我們就可能遇見岔路口，這時(shí)候直覺思維就起著關(guān)鍵的作用了。2.2.2 整體性直覺思維是一種整體性的認(rèn)識(shí)方法。它注意各事物之間的聯(lián)系，是以整個(gè)表象為基礎(chǔ)來(lái)進(jìn)行思維的。它能同時(shí)對(duì)大量數(shù)據(jù)、大量資料進(jìn)行綜合思考。數(shù)學(xué)直覺思維的整體性是指對(duì)數(shù)學(xué)問題之間關(guān)系的宏觀把握，而不考慮事物的細(xì)枝末節(jié)，是一種從大處著眼

19、、統(tǒng)攬全局的思維活動(dòng)。例2：一個(gè)五位數(shù)34521能否改變各個(gè)數(shù)字的位置把它變成五位素?cái)?shù)？分析：若從細(xì)節(jié)出發(fā)，則先考慮個(gè)位數(shù)不可能是2,4,5，然后考慮個(gè) 位數(shù)為1或3的48種情況，進(jìn)而篩選出正確答案。那從整體來(lái) 考慮又將如何呢？解：從整體考察3,2,5,4,1，則由3+2+5+4+1=15可迅速判斷，不論怎樣改變數(shù)字的位置，排出的五位數(shù)一定為3的倍數(shù)，不可能組成素?cái)?shù)。2.2.3 隨機(jī)性數(shù)學(xué)直覺思維的一種表現(xiàn)形式為靈感，靈感的出現(xiàn)是隨機(jī)的，偶然發(fā)生的，其引起原因也是偶然的。但是數(shù)學(xué)靈感的迸發(fā)是需要一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的，是以一定知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為前提的。這種靈感的隨機(jī)性只存在于具有豐富數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的人身上，正如那

20、句古話：“機(jī)會(huì)是留給有準(zhǔn)備的人?！?.2.4 創(chuàng)造性 創(chuàng)造性思維是人類思維的高級(jí)形式，許多心理學(xué)家認(rèn)為，創(chuàng)造性思維是多種思維能力的綜合表現(xiàn)。它既是符合思維與發(fā)散思維的表現(xiàn)，又是直覺思維與邏輯思維的結(jié)合，同時(shí)它又離不開創(chuàng)造想象。數(shù)學(xué)靈感具有突發(fā)的創(chuàng)造性，即在百思不得其解的情況下，靈感出奇不意地迸發(fā)出來(lái)。它一般為一種新的思想，新的思路因此無(wú)法保證其一定是正確的，但它往往是通向真理的必由之路。例3：已知正方形綠地ABCD，要在綠地上修建連接A，B，C，D四點(diǎn)的小路，試問如何設(shè)計(jì)才能使總路徑最?。ㄐ÷返膶挾群雎圆挥?jì)）？分析：對(duì)于這一問題，直覺告訴我們沿正方形的對(duì)角線將小路設(shè)計(jì)成 “十”字型，如圖所示：

21、 圖2設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a0，則此時(shí)總路線長(zhǎng)為 ，這是我們經(jīng)常會(huì)有的思路，但是真的是最小路徑嗎？現(xiàn)在，我們采用一種創(chuàng)造性的直覺思維方式，作出如下圖形： 圖3 根據(jù)對(duì)稱原則，四邊形ADFE，BEFC是全等的等腰梯形，下面我 們來(lái)研究一下這種形狀的小路總長(zhǎng)度的最小值。解：設(shè)正方形的綠地的邊長(zhǎng)為a，作FHAD于H，則，EF=AD-2HD。 設(shè)，則，EF=a-cos， 令總路徑y(tǒng)，則：，令， 得：tsin+cos=2（t0），故:，其中： ，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得 最小值為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所 設(shè)計(jì)方案總路徑最小。 第三章 加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)通過以上的了解，我們已經(jīng)知道對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)說直覺思維與邏輯思

22、維同等重要，偏離任何一方都會(huì)限制一個(gè)人思維能力與數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。正如伊思斯圖爾特曾經(jīng)說過的一句話，“數(shù)學(xué)的全部力量就在于直覺和嚴(yán)格性巧妙的結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯?！笔芸刂频木窈透挥忻栏械倪壿嫷耐昝澜Y(jié)合正是數(shù)學(xué)的魅力所在，也是數(shù)學(xué)教育者應(yīng)該努力的方向。那么如何提高學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力將是我們最關(guān)心的話題，下面我們就來(lái)討論一下加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維的方法。 3.1 精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，努力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維直覺思維并不是與生俱來(lái)的，而是在一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累過程中逐漸發(fā)展起來(lái)的，快速跳躍性的數(shù)學(xué)直覺思維有時(shí)候需要激發(fā)，需要啟示，而教師在此過程中是一個(gè)重要的角色。鼓勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新，

23、大膽猜想是培養(yǎng)學(xué)生直覺思維的有效途徑。精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，才能有效地建立起堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)與活躍的數(shù)學(xué)直覺思維。傳統(tǒng)教學(xué)中僵化的思想，限制了學(xué)生直覺思維的培養(yǎng)與發(fā)展。作為新一代的人民教師，在提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，創(chuàng)新思維方面的責(zé)任已經(jīng)刻不容緩了?！皼]有任何一個(gè)創(chuàng)新性行為能離開直覺思維?！币虼?，在教學(xué)活動(dòng)中教師應(yīng)努力培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維。3.1.1 科學(xué)猜想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程，除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐，自主探索與合作交流也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)

24、間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理、計(jì)算、證明等活動(dòng)的過程?！庇纱丝梢姴孪雽?duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，而猜想，本身就是一種直覺思維，他又直覺思維所牽引，歸于試驗(yàn)驗(yàn)證。那么什么是數(shù)學(xué)猜想呢？數(shù)學(xué)猜想是指人們一句某些已知的數(shù)學(xué)事實(shí)和知識(shí)，對(duì)未知量及其關(guān)系做出一種似真的判斷。它本身要遵循科學(xué)性和推測(cè)性，那么如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想，數(shù)學(xué)直覺思維呢？在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們往往先要對(duì)結(jié)果和解題作出猜測(cè)或估計(jì)，這就是數(shù)學(xué)直覺思維過程。教師可以在此環(huán)節(jié)中，對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)深加工，對(duì)自己的言語(yǔ)進(jìn)行規(guī)范，如可以使用“請(qǐng)你猜想并證明你的猜想?！薄按祟}可不可以有其他的解決方法？”“若改變其中條件為又會(huì)得到什么結(jié)論？”等等。

25、通過這樣的語(yǔ)言，充分激發(fā)學(xué)生的自主猜想能力，增強(qiáng)學(xué)生“科學(xué)猜想能力”，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺思維。例1：求數(shù)列a，b，a，b，a，b，的通項(xiàng)公式分析：初看此題可能無(wú)從下手，我們大膽猜想，此數(shù)列可以用另一個(gè)特殊數(shù)列來(lái) 代替，即當(dāng)a=1，b=0時(shí)，此數(shù)列變?yōu)?,0，1,0，1,0，對(duì)于這個(gè)數(shù) 列，其通項(xiàng)公式為 則可進(jìn)而推出原數(shù)列通項(xiàng)公式為： 3.1.2 加強(qiáng)對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維直覺思維并不能全部靠機(jī)遇，知覺的產(chǎn)生是具有偶然性，但它并不是憑空猜想，它需要一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，需要扎實(shí)的基本功。在進(jìn)行較大的思維組塊時(shí)，嫻熟數(shù)學(xué)的基本定理，基本模型是至關(guān)重要的。在解題過程中，專家和新手的主

26、要區(qū)別在于專家能在一看到問題時(shí)，在頭腦中形成關(guān)于該問題的大致框架，大體思路。在他們的頭腦中，貯存著比一般人更多的知識(shí)組塊，數(shù)學(xué)模型和直觀表象。因此，在解答問題時(shí)，快速跳躍性的直覺思維才會(huì)應(yīng)運(yùn)而生，靈感的突現(xiàn)也是經(jīng)歷了這樣一個(gè)基本過程。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)做到讓學(xué)生具有更強(qiáng)的解題技巧，而這些技巧的產(chǎn)生源于對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)的熟練掌握。其實(shí)，每個(gè)人的心中都有一本心理字典，這本字典中記錄著各種模型，各種定理，各種技巧。教師在此處的作用就是豐富學(xué)生心中的心理字典。心理字典得到了大量知識(shí)積累，數(shù)學(xué)直覺思維才會(huì)恰到好處地發(fā)揮作用。例2：求方程（x2+1）（y2+2）（z2+8）=32xyz的一切實(shí)數(shù)解。分析：

27、觀察方程的結(jié)構(gòu)，猜想是否有與之相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。進(jìn)而聯(lián)想 到a2+b22ab的數(shù)學(xué)模型。解：觀察此題，可聯(lián)想到x2+12x，y2+2，z2+8此不等式取等號(hào)的條件正好滿足原方程，以及原題設(shè)中必須有xyz0的條件。則很快得到該方程的所有的實(shí)數(shù)解為：當(dāng)x1=1時(shí)，y1=，z1= ；當(dāng)x2=1時(shí)，y2=，z2=-；當(dāng)x3=-1時(shí)，y3=，z3=-；當(dāng)x4=-1時(shí)，y4=-，z4=。3.1.3鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維我國(guó)著名教育家陶行知先生說過：“發(fā)明千千萬(wàn)，起點(diǎn)是一問?！痹趧?chuàng)造發(fā)明過程中，往往問題比答案更重要。因此，在教學(xué)過程中，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，是培養(yǎng)學(xué)生直覺思維的起點(diǎn)

28、。那么如何設(shè)計(jì)教學(xué)課題、教學(xué)步驟顯得尤為重要。一味的僵硬的刻板教學(xué)模式只會(huì)阻礙學(xué)生直覺思維的培養(yǎng)?！伴_放型”課堂教學(xué)已經(jīng)刻不容緩。開放型課堂鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，思維發(fā)散，大膽發(fā)問。教師應(yīng)積極創(chuàng)設(shè)問題情境，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索欲，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生自主探索的能力。教師在此過程中，可以從教學(xué)手段出發(fā)，創(chuàng)設(shè)新情境，鼓勵(lì)學(xué)生提出新問題。教學(xué)手段可以多樣化，例如：模型與計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)。其中模型重在幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)與探索問題。計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)則可以通過多媒體，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題，主動(dòng)學(xué)習(xí)的能力，印象深刻，回味無(wú)窮，從而使課堂教學(xué)更生動(dòng)有趣，從而激發(fā)學(xué)生的探索精神，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)

29、直覺思維。3.2 深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的精髓，是對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法。他能把數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和培養(yǎng)能力有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，提高個(gè)體的思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)能力，從而成為發(fā)展智力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺思維能力的關(guān)鍵。深化數(shù)學(xué)思想方法的理解，有助于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)概念的認(rèn)識(shí)，提高創(chuàng)新思維能力，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)直覺思維能力。那么在教學(xué)過程中，特別是初高中教學(xué)，主要體現(xiàn)了三種主要的思想：數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想。下面我們將從這三種思想方法入手，去了解和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維。3.2.1 從數(shù)形結(jié)合思想入手，大力發(fā)展

30、學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維 著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，行缺數(shù)時(shí)難入微?！蓖ㄟ^仔細(xì)觀察，大膽猜想，由行思數(shù)，由數(shù)思行，數(shù)形結(jié)合，有利于問題的解決。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)研究中常用的數(shù)學(xué)方法，他能加強(qiáng)我們對(duì)數(shù)學(xué)的直觀認(rèn)識(shí)。以數(shù)到行，以行論數(shù)，以行到數(shù)，以數(shù)論行，數(shù)形結(jié)合，相互轉(zhuǎn)化，相互貫通。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，在解決問題過程中，要使學(xué)生養(yǎng)成善于把數(shù)與形結(jié)合在一起考慮的好習(xí)慣。既注重幾何意義，又注重?cái)?shù)量關(guān)系，最終提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，進(jìn)而加快學(xué)生直覺思維的培養(yǎng)。重視數(shù)學(xué)基本問題和基本方法的牢固掌握和應(yīng)用，已形成并豐富數(shù)學(xué)知識(shí)組塊。例3：函數(shù)y|sinx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是() A(，) B(，

31、) C(，) D(，2）分析：初看此題，可能無(wú)從下手，但是當(dāng)我們做出y|sinx|的圖象，采用數(shù)形 結(jié)合的方法，如圖所示，問題就迎刃而解了。 圖4 通過仔細(xì)觀察圖像可得出(，)符合題意，即C為正確答案。3.2.2 從化歸思想入手，大力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維北師大錢佩玲老師在數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)一書中是這樣闡述化歸思想的：“化歸是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱，其基本思想是人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常是將待解決的問題A，通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個(gè)問題B，而問題B是相對(duì)較易解決或已有固定解決程序的問題，且通過對(duì)問題B的解決可得到原問題A的解答?！被瘹w是在直覺思維的基礎(chǔ)之上形成的，同時(shí)它又為直覺思維的培養(yǎng)提出

32、了新的途徑。直覺思維是在大量的資料，知識(shí)體系下形成的對(duì)問題快速理解與領(lǐng)悟。而數(shù)學(xué)化歸思想將增加學(xué)生在問題反應(yīng)角度、反應(yīng)速度上的多維化與立體化，提高直覺思維反應(yīng)速度?；瘹w思想在數(shù)學(xué)上應(yīng)用廣泛，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的幾何原本中對(duì)命題所做的巧妙選擇，中國(guó)古代數(shù)學(xué)巨著九章算術(shù)中的數(shù)學(xué)模型，笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何等都是最有力的佐證。因此，加強(qiáng)學(xué)生化歸思想的培養(yǎng)有利于使學(xué)生更熟悉數(shù)學(xué)基本概念，數(shù)學(xué)模型，從而提高解題速度，增強(qiáng)解題能力，最終提高直覺思維能力。例4：設(shè)函數(shù)對(duì)非零常數(shù)m和任意實(shí)數(shù)x滿足， 求證：是周期函數(shù)。分析：根據(jù)的形式可利用數(shù)學(xué)模型，將其化歸到熟悉的 問題上，由于tanx是以為周期的，而 是的

33、4倍，從而可以認(rèn)為是以4m為周期的周期函 數(shù)，最后證明即可。證明： 即 ，則是以4m為周期的周期函數(shù)。在采用化歸思想時(shí)，要注意化歸的原則，如化歸目標(biāo)簡(jiǎn)單化原則，具體化原則，和諧統(tǒng)一性原則，形式標(biāo)準(zhǔn)化原則等。并采用一定的認(rèn)知策略來(lái)提高化歸能力，進(jìn)而提高我們的數(shù)學(xué)直覺思維能力。3.2.3 從抽象思想入手，大力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維數(shù)學(xué)科學(xué)是以其客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系抽象為基礎(chǔ)的科學(xué)，數(shù)學(xué)一切理論都離不開抽象思維活動(dòng)。抽象思維作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究所必須具備的一種思想方法在數(shù)學(xué)中占有重要的一席之地，正以其獨(dú)特性引導(dǎo)著人們對(duì)數(shù)學(xué)的探索，抽象思維，在一定程度上可以擴(kuò)寬我們的視野，透過表面來(lái)看待本質(zhì)問題

34、，它是一種整體性思想，是舍棄個(gè)別部分，從大局出發(fā)來(lái)考慮問題的思想。數(shù)學(xué)直覺思維的一個(gè)特點(diǎn)就是整體性較強(qiáng)，因此，抽象思維對(duì)于我們提高數(shù)學(xué)直覺思維也是必不可少的。而抽象思維的應(yīng)用在幾何上更為廣泛，如著名的哥尼斯堡七橋問題，正是瑞士科學(xué)家歐拉通過抽象思維成功解決的。下面我們就以哥尼斯堡七橋問題來(lái)探索抽象思維對(duì)數(shù)學(xué)直覺思維的發(fā)展的必要性。例5：哥尼斯堡七橋問題：哥尼斯堡城為東普魯士的首府，布勒爾河穿越而過，這條河有兩條支流，一個(gè)叫新河，一個(gè)叫舊河，在城中心匯合而成，河上有七座小橋。河中間有一個(gè)叫克萊夫霍夫的小島，島上建有一座教堂和一所大學(xué)，以及偉大哲學(xué)家康德的墓地和塑像。因此，當(dāng)?shù)氐木用癯５竭@散步，后

35、來(lái)有人提出這樣的問題，“如何能過不重復(fù)的走過這七座橋而返回出發(fā)地?！痹S多人做了種種嘗試，種種猜想，但均未成功，這便產(chǎn)生了數(shù)學(xué)史上著名的“哥尼斯堡七橋問題”。如圖5，現(xiàn)在我們看一下歐拉先生是怎樣發(fā)揮抽象想象向我們解釋這一現(xiàn)象的。 圖5 圖6考慮到島與河岸陸地僅是橋梁的連接地點(diǎn)和通往地點(diǎn)，則橋僅是一地通往另一地的路徑。因此一次能否不重復(fù)的走遍七座橋，與島及河岸陸地大小，橋的寬度是沒有關(guān)系的。所以，島和河岸陸地的大小，橋的寬帶可以舍棄。這時(shí)，島和陸地可以看成是僅有位置而沒有大小的點(diǎn)，橋梁可以看成是僅具連接作用而無(wú)寬窄的“連接兩點(diǎn)的線”。由此就可以把四處地點(diǎn)抽象為四個(gè)點(diǎn)，把七座橋視為七條線，如圖6。因

36、此，將文字性問題可以抽象為幾何關(guān)系結(jié)構(gòu)問題。那么現(xiàn)在的問題就是考慮此圖形能否一筆畫了。進(jìn)一步分析一筆畫圖形的特點(diǎn)及圖形數(shù)量特征：一筆畫圖形有一個(gè)起點(diǎn)和一個(gè)終點(diǎn)（兩點(diǎn)可以重合的），除去這兩個(gè)點(diǎn)，一筆畫圖形上任一點(diǎn)處曲線均是由一出一進(jìn)的。因此，從這些點(diǎn)處出發(fā)的曲線條數(shù)就是偶數(shù)，這樣的點(diǎn)被稱為偶點(diǎn)，否則為奇點(diǎn)。即，一筆畫圖形中 只有起點(diǎn)和終點(diǎn)處的曲線條數(shù)是奇數(shù)（重合時(shí)便也是偶數(shù)條)。因此，抽象出一筆畫圖形的量化特征：一筆畫圖形中起點(diǎn)個(gè)數(shù)為0或2。這就是歐拉靈感的迸發(fā)，這是以抽象思維為基礎(chǔ)的。由此可見，抽象思維的培養(yǎng)對(duì)直覺思維的提高具有巨大的促進(jìn)作用，它有利于形成整體化、全方位思路是直覺思維所不可獲缺

37、的。直覺思維的培養(yǎng)對(duì)于數(shù)學(xué)的感知、理解具有重要影響，它影響著數(shù)學(xué)解題的速度，技巧以及創(chuàng)造性思路。因此，作為一名未來(lái)的人民教師，我們的責(zé)任是重大的，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中不僅要加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的培養(yǎng)，而且要加強(qiáng)直覺思維的培養(yǎng)。只有充分發(fā)揮我們對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)作用，才能使學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)直覺思維的重要性，才能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中自覺地重視數(shù)學(xué)直覺思維。加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)是我們光榮而神圣的使命，是我們新一代的教師對(duì)社會(huì)作出的巨大貢獻(xiàn)。 參考文獻(xiàn)1蔣志萍，汪文賢.數(shù)學(xué)思想方法M.浙江：浙江大學(xué)出版社，2011:133157.2錢佩玲.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)M.北京：北京師范大學(xué)出版社， 2008:4551

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