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1、小題專練·作業(yè)(十一) 排列組合與二項(xiàng)式定理、概率
1.某校為了提倡素質(zhì)教育,豐富學(xué)生們的課外活動(dòng)分別成立了繪畫、象棋和籃球興趣小組,現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加,每人僅參加一個(gè)興趣小組,每個(gè)興趣小組至少有一人報(bào)名,則不同的報(bào)名方法有( )
A.12種 B.24種
C.36種 D.72種
解析 由題意,方法種數(shù)為CA=36。故選C。
答案 C
2.已知(1+x)n的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為( )
A.29 B.210
C.211 D.212
解析 由題意得C=C,由組合數(shù)性質(zhì)得n=10,則奇數(shù)項(xiàng)
2、的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n-1=29。故選A。
答案 A
3.(2018·南寧、柳州聯(lián)考)從{1,2,3,…,10}中選取三個(gè)不同的數(shù),使得其中至少有兩個(gè)相鄰,則不同的選法種數(shù)是( )
A.72 B.70
C.66 D.64
解析 從{1,2,3,…,10}中選取三個(gè)不同的數(shù),恰好有兩個(gè)數(shù)相鄰,共有C·C+C·C=56(種)選法,三個(gè)數(shù)相鄰共有C=8(種)選法,故至少有兩個(gè)數(shù)相鄰共有56+8=64(種)選法。故選D。
答案 D
4.用電腦每次可以自動(dòng)生成一個(gè)(0,1)內(nèi)的實(shí)數(shù),且每次生成每個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能的,若用該電腦連續(xù)生成3個(gè)實(shí)數(shù),則這3個(gè)實(shí)數(shù)都大于的概率為(
3、 )
A. B.
C. D.
解析 由題意可得,用該電腦生成1個(gè)實(shí)數(shù),且這個(gè)實(shí)數(shù)大于的概率為P=1-=,則用該電腦連續(xù)生成3個(gè)實(shí)數(shù),這3個(gè)實(shí)數(shù)都大于的概率為3=。故選C。
答案 C
5.(2018·東北三省四市模擬)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次,事件“至少有一次正面向上”的概率為P,則n的最小值為( )
A.4 B.5
C.6 D.7
解析 P=1-n≥,解得n≥4。故選A。
答案 A
6.(2018·益陽(yáng)、湘潭調(diào)研)若(1-3x)2 018=a0+a1x+…+a2 018x2 018,x∈R,則a1·3+a2·32+…+
4、a2 018·32 018的值為( )
A.22 018-1 B.82 018-1
C.22 018 D.82 018
解析 由已知,令x=0,得a0=1,令x=3,得a0+a1·3+a2·32+…+a2 018·32 018=(1-9)2 018=82 018,所以a1·3+a2·32+…+a2 018·32 018=82 018-a0=82 018-1。故選B。
答案 B
7.(2018·洛陽(yáng)一模)若一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字互不相同,且各數(shù)字之和等于10,則稱該三位數(shù)為“十全十美三位數(shù)”(如235)。任取一個(gè)“十全十美三位數(shù)”,該數(shù)為奇數(shù)的概率為( )
A. B
5、.
C. D.
解析 在0,1,2,…,9中任取3個(gè)數(shù)字的和為10的情況有兩種:①含有0的:019,028,037,046,這樣的三位數(shù)有4AA=16(個(gè));②不含0的:127,136,145,235,這樣的三位數(shù)有4A=24(個(gè))。綜上所述,“十全十美三位數(shù)”共有16+24=40(個(gè)),其中奇數(shù)有2A+4AA=4+16=20(個(gè)),故所求的概率p==。故選C。
答案 C
8.(2018·山東淄博一模)設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)為隨機(jī)變量X,且X~N(800,502)。記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過(guò)900的概率為p0,則p0的值為(參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),有
6、P(μ-σ
7、析 該二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=Cxr=Crx。令=0,解得r=2,所以所求常數(shù)項(xiàng)為C×2=7。
答案 7
10.(2018·洛陽(yáng)統(tǒng)考)某校有4個(gè)社團(tuán)向高一學(xué)生招收新成員,現(xiàn)有3名同學(xué),每人只選報(bào)1個(gè)社團(tuán),恰有2個(gè)社團(tuán)沒(méi)有同學(xué)選報(bào)的報(bào)法有________種(用數(shù)字作答)。
解析 解法一:第一步,選2名同學(xué)報(bào)名某個(gè)社團(tuán),有C·C=12(種)報(bào)法;第二步,從剩余的3個(gè)社團(tuán)里選一個(gè)社團(tuán)安排另一名同學(xué),有C·C=3(種)報(bào)法。由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有12×3=36(種)報(bào)法。
解法二:第一步,將3名同學(xué)分成兩組,一組1人,一組2人,共C種方法;第二步,從4個(gè)社團(tuán)里選取2個(gè)社團(tuán)讓兩組同學(xué)分
8、別報(bào)名,共A種方法。由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有C·A=36(種)報(bào)法。
答案 36
11.科目二,又稱小路考,是機(jī)動(dòng)車駕駛證考核的一部分,是場(chǎng)地駕駛技能考試科目的簡(jiǎn)稱。假設(shè)甲每次通過(guò)科目二的概率均為,且每次考試相互獨(dú)立,則甲第3次考試才通過(guò)科目二的概率為________。
解析 甲第3次考試才通過(guò)科目二,則前2次都未通過(guò),第3次通過(guò),故所求概率為2×=。
答案
12.(2018·廣州模擬)按照國(guó)家規(guī)定,某種大米每袋質(zhì)量(單位:kg)必須服從正態(tài)分布ξ~N(10,σ2),根據(jù)檢測(cè)結(jié)果可知P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96,某公司為每位職工購(gòu)買一袋這種包裝的大米作為福利,若該公司有2
9、000名職工,則分發(fā)到的大米質(zhì)量在9.9 kg以下的職工人數(shù)大約為________。
解析 每袋大米質(zhì)量服從正態(tài)分布ξ~N(10,σ2),所以P(ξ<9.9)=[1-P(9.9≤ξ≤10.1)]=0.02,所以分發(fā)到大米質(zhì)量在9.9 kg以下的職工人數(shù)大約為2 000×0.02=40。
答案 40
13.(2018·濟(jì)南一模)七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力游戲,被譽(yù)為“東方魔板”。如圖,這是一個(gè)用七巧板拼成的正方形,其中1號(hào)板與2號(hào)板為兩個(gè)全等的等腰直角三角形,3號(hào)板與5號(hào)板為兩個(gè)全等的等腰直角三角形,7號(hào)板為一個(gè)等腰直角三角形,4號(hào)板為一個(gè)正方形,6號(hào)板為一個(gè)平行四邊形?,F(xiàn)從這個(gè)正
10、方形內(nèi)任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 設(shè)4號(hào)板的邊長(zhǎng)為x,則5號(hào)板的面積為S5=x2,7號(hào)板的面積為S7=(x)2=x2,正方形的面積為S正方形=(2x)2=8x2,故所求概率為==。故選C。
答案 C
14.(2018·唐山二模)甲乙等4人參加4×100米接力賽,在甲不跑第一棒的條件下,乙不跑第二棒的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 甲不跑第一棒共有A·A=18(種)情況,甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有兩類:(1)乙跑第一棒,共有A=6(種)情況;(2)乙不跑第一棒,共有A·A·A=8(種)情況,所以
11、甲不跑第一棒的條件下,乙不跑第二棒的概率為=。故選D。
答案 D
15.(2018·武漢調(diào)研)在5的展開式中,x3的系數(shù)是________。
解析 解法一:5的展開式的通項(xiàng)Tr+1=C(-4)5-r·r,r=0,1,2,3,4,5,r的展開式的通項(xiàng)Tk+1=Cxr-kk=4kCxr-2k,k=0,1,…,r。令r-2k=3,當(dāng)k=0時(shí),r=3;當(dāng)k=1時(shí),r=5。所以x3的系數(shù)為40×C×(-4)5-3×C+4×C×(-4)0×C=180。
解法二:不妨設(shè)x>0,則5=10,所以展開式中x3的系數(shù)為C(-2)2==180。
答案 180
16.(2018·廣東珠海六校聯(lián)考)一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)5位的二進(jìn)制數(shù)A=,其中A的各位數(shù)字中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為,出現(xiàn)1的概率為。若啟動(dòng)一次出現(xiàn)的數(shù)字為A=10 101,則稱這次試驗(yàn)成功,若成功一次得2分,失敗一次得-1分,則100次重復(fù)試驗(yàn)的總得分X的方差為________。
解析 啟動(dòng)一次出現(xiàn)數(shù)字為A=10 101的概率P=22=,由題意知變量服從二項(xiàng)分布,根據(jù)成功概率和實(shí)驗(yàn)的次數(shù)的值,有η~N,所以η的數(shù)學(xué)方差為D(η)=100××=。設(shè)得分為X=2η-1×(100-η)=3η-100,所以D(X)=D(3η-100)=9D(η)=。
答案
5