2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第四單元 三角函數(shù)與解三角形 第30講 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用練習(xí) 理（含解析）新人教A版

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1、第30講　正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 1．(2017·淮北一中月考)在△ABC中，兩邊的差為2，兩邊夾角的余弦值為，且三角形面積為14，則這兩邊的長(zhǎng)分別是(D) A．3,5 B．4,6 C．6,8 D．5,7 不妨設(shè)兩邊為b，c(b>c)，則b－c＝2，cos A＝，則sin A＝，所以S△ABC＝bcsin A＝bc＝14. 所以bc＝35.所以b＝7，c＝5. 2．(2019·岳陽(yáng)一模)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，則△ABC的形狀是(D) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D

2、．等腰或直角三角形 由正弦定理得： sin C－sin Acos B＝(2sin A－sin B)cos A， 即 sin(A＋B)－sin Acos B＝(2sin A－sin B)cos A， 得sin Bcos A＝sin Acos A. 當(dāng)cos A＝0時(shí)，A＝，此時(shí)為直角三角形； 當(dāng)cos A≠0時(shí)，sin B＝sin A，即A＝B或A＋B＝π(舍)，此時(shí)為等腰三角形． 所以△ABC為等腰三角形或直角三角形． 3．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，則A的取值范圍是(C) A．(0，] B．[，π) C．(0，] D．[，

3、π) 由正弦定理及題設(shè)條件知 a2≤b2＋c2－bc?b2＋c2－a2≥bc?≥1?cos A≥，所以0

4、見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這只船的速度是每小時(shí)　10　海里． 如圖，可知∠BMA＝75°－60°＝15°，又∠MAP＝30°， 所以∠MBA＝15°，所以AM＝AB＝10. 所以MP＝AMcos 60°＝5，其速度為＝10(海里/小時(shí))． 6．(2018·石家莊一模)如圖所示，平面四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部， AB＝1, BC＝， AC＝CD, AC⊥CD，當(dāng)∠ABC變化時(shí)，對(duì)角線BD的最大值為__3__． 設(shè)∠ABC＝α，∠ACB＝β，則由余弦定理可得

5、AC2＝3－2cos α， 由正弦定理可得sin β＝， 所以BD2＝2＋3－2cos α－2×× ×cos(90°＋β) ＝5－2cos α＋2sin α ＝5＋4sin(α－45°)， 所以α＝135°時(shí)， BD2有最大值9 , BD取得最大值為3. 7．(2018·石家莊二模)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且＝tan A＋tan B. (1)求角A的大小； (2)設(shè)AD為BC邊上的高，a＝，求AD的取值范圍． (1)在△ABC中，因?yàn)椋絫an A＋tan B. 所以＝＋， 即＝， 所以＝，則tan A＝，所以A＝. (2)因?yàn)镾△AB

6、C＝AD·BC＝bcsin A，所以AD＝bc. 由余弦定理得cos A＝＝≥， 所以0

7、 因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b2＝ac， 又a＋c＝3，cos B＝， 由余弦定理，得：ac＝a2＋c2－2a·c·， 即ac＝(a＋c)2－2ac－ac，所以ac＝(a＋c)2＝2. 所以·＝c·a·cos(π－B)＝－ac＝－×2＝－. 10．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2. (1)求cos B； (2)若a＋c＝6，△ABC的面積為2，求b. (1)由題設(shè)及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2， 故sin B＝4(1－cos B)． 上式兩邊平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0， 解得cos B＝1(舍去)，或cos B＝. 故cos B＝. (2)由cos B＝得sin B＝， 故S△ABC＝acsin B＝ac. 又S△ABC＝2，則ac＝. 由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2××(1＋)＝4. 所以b＝2. 5