《2020屆高考數學一輪總復習 第十一單元 選考內容 第85講 不等式的證明練習 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020屆高考數學一輪總復習 第十一單元 選考內容 第85講 不等式的證明練習 理（含解析）新人教A版（4頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、第85講 不等式的證明
1．(2018·廣州二模)已知函數f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|，不等式f(x)≤2的解集為M.
(1)求M；
(2)證明：當a，b∈M時，|a＋b|＋|a－b|≤1.
(1)f(x)≤2，即|2x＋1|＋|2x－1|≤2，
當x≤－時，得－(2x＋1)＋(1－2x)≤2，解得x≥－，故x＝－；
當－
2、.
當(a＋b)(a－b)≥0時，
| a＋b |＋| a－b |＝|( a＋b)＋(a－b)|＝|2a|≤1；
當(a＋b)( a－b)≤0時，
| a＋b |＋| a－b |＝|( a＋b)－(a－b)|＝|2b|≤1；
所以當a，b∈M時，| a＋b |＋| a－b |≤1.
2．(2018·黃石模擬)已知關于x的不等式|x－2|－|x＋3|≥|m＋1|有解，記實數m的最大值為M.
(1)求M的值；
(2)正數a，b，c滿足a＋2b＋c＝M，求證：＋≥1.
(1)|x－2|－|x＋3|≤|(x－2)－(x＋3)|＝5，
若不等式|x－2|－|x＋3|≥|m＋1|有
3、解，
則滿足|m＋1|≤5，解得－6≤m≤4.
所以M＝4.
(2)證明：由(1)知正數a，b，c滿足a＋2b＋c＝4，
所以＋＝[(a＋b)＋(b＋c)](＋)
＝(2＋＋)≥(2＋2)＝1，
當且僅當a＝c，a＋b＝2時，取等號．
3．(2017·福州市畢業(yè)班綜合質量檢測)已知?x∈R，使不等式|x－1|－|x－2|≥t成立．
(1)求滿足條件的實數t的集合T；
(2)若m>1，n>1，對?t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，求mn的最小值．
(1)令f(x)＝|x－1|－|x－2|
＝
則－1≤f(x)≤1.
因為?x∈R使得不等式|x－1|－|x
4、－2|≥t成立，
所以t≤1，即T＝{t|t≤1}．
(2)由(1)知，log3m·log3n≥1，
因為m>1，n>1，所以log3m>0，log3n>0，
又log3m＋log3n≥2≥2，
所以mn≥9，當且僅當m＝n＝3時，取等號．
所以mn的最小值為9.
4．(2017·河北石家莊二模)設函數f(x)＝|x－1|－|2x＋1|的最大值為m.
(1)作出函數f(x)的圖象；
(2)設a>0,b>0,c>0,若a2＋2c2＋3b2＝m，求ab＋2bc的最大值．
(1)f(x)＝
畫出圖象如下圖所示．
(2)由(1)知m＝，
因為＝m＝a2＋2c2＋3b2＝
5、(a2＋b2)＋2(c2＋b2)≥2ab＋4bc，
所以ab＋2bc≤，所以ab＋2bc的最大值為.當且僅當a＝b＝c＝時，等號成立．
5．(經典真題)設a，b，c，d均為正數，且a＋b＝c＋d，證明：
(1)若ab>cd，則＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件．
因為(＋)2＝a＋b＋2，
(＋)2＝c＋d＋2，
由題設a＋b＝c＋d，ab>cd，得
(＋)2>(＋)2，
所以＋>＋.
(2)①若|a－b|<|c－d|，則(a－b)2<(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd，
因為a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
6、
由(1)得＋>＋.
②若＋>＋，則(＋)2>(＋)2，
即a＋b＋2>c＋d＋2，
因為a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，
因此|a－b|<|c－d|.
綜上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件．
6．(2018·鄭州三模)已知a>0，b>0，函數f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|的最小值為1.
(1)證明：2a＋b＝2；
(2)若a＋2b≥tab恒成立，求實數t的最大值．
(1)證明：因為－a<，
所以f(x)＝
顯然f(x)在(－∞，)單調遞減，在(，＋∞)單調遞增，
所以f(x)的最小值為f()＝a＋＝1，即2a＋b＝2.
(2)因為a＋2b≥tab恒成立，所以≥t恒成立，
＝＋＝(＋)(2a＋b)＝(5＋＋)≥，
當且僅當a＝b＝時，取得最小值，
所以t≤，即實數t的最大值為.
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