《2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第七單元 不等式與推理證明 第48講 直接證明與間接證明練習 理(含解析)新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第七單元 不等式與推理證明 第48講 直接證明與間接證明練習 理(含解析)新人教A版(4頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第48講 直接證明與間接證明
1.否定“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設為(D)
A.a,b,c都是奇數(shù)
B.a,b,c都是偶數(shù)
C.a,b,c中至少有兩個偶數(shù)
D.a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)
恰有一個偶數(shù)的否定有兩種情況,其一是無偶數(shù)(全為奇數(shù)),其二是至少有兩個偶數(shù),選D.
2.(2016·寧夏銀川模擬)若a,b,c是不全相等的正數(shù),給出下列判斷:
①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;
②a>b與a
2、D.3
①②正確,③中,a≠c,b≠c,a≠b可能同時成立,如a=1,b=2,c=3.
3.設x,y,z∈R+,a=x+,b=y(tǒng)+,c=z+,則a,b,c三數(shù)(C)
A.至少有一個不大于2 B.都小于2
C.至少有一個不小于2 D.都大于2
因為a+b+c=x++y++z+=x++y++z+≥6,
若a,b,c都小于2,則a+b+c<6與上式矛盾,故a,b,c中至少有一個不小于2,選C.
4.已知函數(shù)y=f(x)的定義域為D,若對于任意的x1,x2∈D(x1≠x2),都有f
3、()<,則稱y=f(x)為D上的凹函數(shù).由此可得下列函數(shù)中的凹函數(shù)為(C)
A.y=log2x B.y=
C.y=x2 D.y=x3
可以根據(jù)圖象直觀觀察;對于C證明如下:
欲證f()<,即證()2<.
即證(x1+x2)2<2x+2x.即證(x1-x2)2>0.
顯然成立.故原不等式得證.
5.命題“△ABC中,若∠A>∠B,則a>b”的結論的否定應該是 a≤b .
6.設a,b,u都是正實數(shù),且a,b滿足+=1,則使得a+b≥u恒成立的u的取值范圍是 (0,16] .
因為+=1,
所以a+b=(a+b)(+)=1+×9++9
≥10+2=16.
當且僅當=
4、,即a=4,b=12時取等號.
若a+b≥u恒成立,所以00,則下列不等關系恒成立的是(C)
A.b-a<2 B.a+2b>2
C.b-a>2 D.a+2b
5、<2
由題意知f(-x)===-f(x),
所以f(x)為奇函數(shù),
又f(x)===-1,
所以f(x)是R上的減函數(shù),
由f(2a+b)+f(4-3b)>0,
可得f(2a+b)>-f(4-3b)=f(3b-4),
故2a+b<3b-4,即b-a>2,故選C.
9.(2016·南昌市高三一模)已知函數(shù)f(x)的定義域為D,若?a,b∈D,f(a),f(b),f(c)分別為某個三角形的三邊長,則稱f(x)為“三角形函數(shù)”.給出下列四個函數(shù):
①f(x)=ln x(x>1); ②f(x)=4+sin x;
③f(x)=x(1≤x≤8); ④f(x)=.
其中“三角形
6、函數(shù)”的個數(shù)是(B)
A.1 B.2
C.3 D.4
因為f(a),f(b),f(c)分別為某個三角形的三邊長,所以應滿足三角形兩邊之和大于第三邊的性質,因此不妨依次驗證四個函數(shù)是否滿足f(a)+f(b)>f(c).
①f(x)=ln x(x>1),若f(a)+f(b)=ln ab>ln c,則可得ab>c,而ab>c不一定成立,如a=2,b=3,c=8,因此,f(x)=ln x(x>1)不是“三角形函數(shù)”;
②f(x)=4+sin x,若f(a)+f(b)=8+sin a+sin b>4+sin c,則可得4+sin a+sin b>sin c,不等式恒成立,因此,f(x)=
7、4+sin x是“三角形函數(shù)”;
③f(x)=x(1≤x≤8),假設f(a)+f(b)=a+b>c,當a=1,b=1,c=8時不成立,所以f(x)=x不是“三角形函數(shù)”;
④f(x)==1+,若f(a)+f(b)=2++>1+,
則1++>,因為<1,所以不等式一定成立,因此,f(x)=是“三角形函數(shù)”.
綜上,②④是“三角形函數(shù)”.
10.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1+,S3=9+3.
(1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn;
(2)設bn=(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.
(1)由已知得所以d=2,
故an=2n-1+,Sn=n(n+).
(2)證明:由(1)得bn==n+.
假設數(shù)列{bn}中存在三項bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比數(shù)列,則b=bpbr.即(q+)2=(p+)(r+),
所以(q2-pr)+(2q-p-r)=0.
因為p,q,r∈N*,
所以所以()2=pr,所以(p-r)2=0,
所以p=r.這與p≠r矛盾.
所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.
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