2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)40 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法 理（含解析）新人教版

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1、課時(shí)作業(yè)40　直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法 一、選擇題 1．已知函數(shù)f(x)＝x，a，b為正實(shí)數(shù)，A＝f，B＝f()，C＝f，則A，B，C的大小關(guān)系為(　A　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 解析：因?yàn)椤荨?，又f(x)＝x在R上是單調(diào)減函數(shù)，故f≤f()≤f，即A≤B≤C. 2．若a、b∈R，則下面四個(gè)式子中恒成立的是(　B　) A．lg(1＋a2)>0 B．a(chǎn)2＋b2≥2(a－b－1) C．a(chǎn)2＋3ab>2b2 D.< 解析：在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b

2、＋1)2≥0.∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立． 3．①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對(duì)值都小于1，用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對(duì)值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.以下正確的是(　D　) A．①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤 B．①與②的假設(shè)都正確 C．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯(cuò)誤 D．①的假設(shè)錯(cuò)誤；②的假設(shè)正確 解析：反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論，對(duì)于①，其結(jié)論的反面是p＋q>2，所以①不正確；對(duì)于②，其假設(shè)正確． 4．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c

3、，且a＋b＋c＝0，求證0 B．a(chǎn)－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0 解析：由題意知0 ?(a－c)(2a＋c)>0 ?(a－c)(a－b)>0. 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>2n＋1，n的第一個(gè)取值應(yīng)是(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：∵n＝1時(shí)，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立； n＝2時(shí)，22＝4,2×2＋1

4、＝5,2n>2n＋1不成立； n＝3時(shí)，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立． ∴n的第一個(gè)取值應(yīng)是3. 6．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件： ①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1. 其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是(　C　) A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤ 解析：若a＝，b＝，則a＋b>1. 但a<1，b<1，故①推不出； 若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出； 若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出； 若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出； 對(duì)于③，即a＋b>2.

5、 則a，b中至少有一個(gè)大于1， 反證法：假設(shè)a≤1且b≤1， 則a＋b≤2與a＋b>2矛盾， 因此假設(shè)不成立，a，b中至少有一個(gè)大于1. 二、填空題 7．設(shè)a＝＋2，b＝2＋，則a，b的大小關(guān)系為a1，則a，b，c，d中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)”時(shí)，第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立，那么結(jié)論的否定是：a，b，c，d全是負(fù)數(shù)． 解析：“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，故結(jié)論的否定是“a，b，c，d中沒有

6、一個(gè)是非負(fù)數(shù)，即a，b，c，d全是負(fù)數(shù)”． 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 解析：當(dāng)n＝k時(shí)左端為1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 故增加的項(xiàng)為(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 三、解答題 10．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn； (2)設(shè)bn＝(n∈N*)，求證：數(shù)列{

7、bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列． 解：(1)解：由已知得 ∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)． (2)證明：由(1)得bn＝＝n＋. 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比數(shù)列，則b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)． ∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. ∵p，q，r∈N*，∴ ∴2＝pr，即(p－r)2＝0. ∴p＝r，與p≠r矛盾． ∴假設(shè)不成立，即數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列． 11．(2019·河北八校一模)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，g(n)＝2(－1)(

8、n∈N*)． (1)當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，分別比較f(n)與g(n)的大小(直接給出結(jié)論)； (2)由(1)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝2(－1)，f(1)>g(1)， 當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝1＋，g(2)＝2(－1)，f(2)>g(2)， 當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)＝1＋＋，g(3)＝2，f(3)>g(3)． (2)猜想：f(n)>g(n)(n∈N*)，即1＋＋＋…＋>2(－1)(n∈N*)．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，上面已證． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想成立，即1＋＋＋…＋>2(－1)． 則當(dāng)n＝k＋1

9、時(shí)，f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋>2(－1)＋＝2＋－2； 而g(k＋1)＝2(－1)＝2－2，下面轉(zhuǎn)化為證明： 2＋>2. 只要證：2(k＋1)＋1＝2k＋3 >2即可， 需證：(2k＋3)2>4(k＋2)(k＋1)， 即證：4k2＋12k＋9>4k2＋12k＋8，此式顯然成立，所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也成立． 綜上可知：對(duì)n∈N*，猜想都成立，即1＋＋＋…＋>2(－1)(n∈N*)成立． 12．已知f(x)＝，a≠b，則|f(a)－f(b)|與|a－b|的大小關(guān)系為(　B　) A．|f(a)－f(b)|>|a－b| B．|f(a)－f(b)|<|a－b| C．|f

10、(a)－f(b)|＝|a－b| D．不確定 解析：|f(a)－f(b)|＝|－| ＝ ＝< ≤＝|a－b|， 所以|f(a)－f(b)|<|a－b|，故選B. 13．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋，x∈[0,1]，證明： (1)f(x)≥1－x＋x2； (2)，所以f(x)>. 綜上，

11、)≤. 14.已知兩個(gè)半徑不等的圓盤疊放在一起(有一軸穿過它們的圓心)，兩圓盤上分別有互相垂直的兩條直徑將其分為四個(gè)區(qū)域，小圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為x1，x2，x3，x4，大圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為y1，y2，y3，y4，如圖所示．將小圓盤逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)i(i＝1,2,3,4)次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)90°，記Ti(i＝1,2,3,4)為轉(zhuǎn)動(dòng)i次后各區(qū)域內(nèi)兩數(shù)乘積之和，例如T1＝x1y2＋x2y3＋x3y4＋x4y1.若x1＋x2＋x3＋x4<0，y1＋y2＋y3＋y4<0，則以下結(jié)論正確的是(　A　) A．T1，T2，T3，T4中至少有一個(gè)為正數(shù) B．T1，T2，T3，T4中至少有一個(gè)為負(fù)數(shù) C．T1，T2，T3，T4中至多有一個(gè)為正數(shù) D．T1，T2，T3，T4中至多有一個(gè)為負(fù)數(shù) 解析：根據(jù)題意知(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)>0，又(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)＝T1＋T2＋T3＋T4，所以T1，T2，T3，T4中至少有一個(gè)為正數(shù)，故選A. 6