2020高考數(shù)學大一輪復習 第一章 集合與常用邏輯用語、函數(shù) 第五節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性檢測 理 新人教A版

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1、第五節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 限時規(guī)范訓練(限時練·夯基練·提能練) A級　基礎夯實練 1．(2018·唐山二模)函數(shù)f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，則f(－a)的值為(　　) A．－3　　　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析：選B.由題意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2. ∴f(－a)＝2－f(a)＝2－3＝－1，故選B. 2．已知函數(shù)f(x)＝3x－，則f(x)(　　) A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 解析：選A.易知函數(shù)f(x)的定義

2、域為R且關(guān)于原點對稱． ∵f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)． 又∵y＝3x在R上是增函數(shù)，y＝－在R上是增函數(shù)， ∴f(x)＝3x－在R上是增函數(shù)．故選A. 3．(2018·南京模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(－3x)＋1，則f(lg 2)＋f等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：選D.設g(x)＝ln(－3x)＝f(x)－1， g(－x)＝ln(＋3x)＝ln＝－g(x)． ∴g(x)是奇函數(shù)， ∴f(lg 2)－1＋f－1＝g(lg 2)＋g＝0， 因此f(lg 2)＋f＝2. 4．(2018·荊州模擬)已知f(x)

3、是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當x∈(0，1)時，f(x)＝3x－1，則f＝(　　) A.＋1 B．－1 C．－－1 D．－＋1 解析：選D.因為f(x)是周期為2的奇函數(shù)，所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－f.又當x∈(0，1)時，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，f＝1－. 5．(2018·烏魯木齊診斷)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)＜f的x的取值范圍是(　　) A. B． C. D． 解析：選A.∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(|x|)， ∴f(|2x－1|)＜f，又f(x)在[0，＋∞)

4、上單調(diào)遞增，∴|2x－1|＜，∴－＜2x－1＜，解得＜x＜，故選A. 6．已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當x＜0時，f(x)＝x3－1；當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當x＞時，f＝f，則f(6)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：選D.當x＞時，由f＝f可得f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，又由題意知f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝2，故選D. 7．(2018·青島模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，2)上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．0＜f(1)

5、＜f(3) B．f(3)＜0＜f(1) C．f(1)＜0＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜0 解析：選C.由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， 所以f(3)＝f(－1)． 又f(x)在[0，2)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在(－2，2)上單調(diào)遞減，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)， 即f(1)＜0＜f(3)，故選C. 8．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0＜x＜1時，f(x)＝4x，則f＋f(1)＝________． 解析：∵f(x

6、)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(x)＝－f(－x)， 又∵f(x)的周期為2， ∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x＋2)＝－f(－x)， 即f(x＋2)＋f(－x)＝0， 令x＝－1，得f(1)＋f(1)＝0，∴f(1)＝0. 又∵f＝f＝－f＝－4＝－2. ∴f＋f(1)＝－2. 答案：－2 9．已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)＝.若g(2)＝3，則g(－2)＝________． 解析：由題意可得g(2)＝＝3，則f(2)＝1，又f(x)是奇函數(shù)，則f(－2)＝－1，所以g(－2)＝＝＝－1. 答案：－1 10．(2018·武漢模擬)設定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以

7、下條件： ①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③當0≤x≤1時，f(x)＝2x－1，則f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________． 解析：依題意知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2， 所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f ＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f ＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f ＝f＋f(1)＋f(0) ＝2－1＋21－1＋20－1＝. 答案： B級　能力提升練 11．(2018·莆田模擬)對于函數(shù)f(x)＝asin x＋bx3＋cx＋1(a，b，c∈R)，選取a，b，c的一組值計算f(1)，f(－1)，所得出的正確結(jié)果可能是(　　) A．2

8、和1 B．2和0 C．2和－1 D．2和－2 解析：選B.設g(x)＝asin x＋bx3＋cx，顯然g(x)為定義域上的奇函數(shù)，所以g(1)＋g(－1)＝0，所以f(1)＋f(－1)＝g(1)＋g(－1)＋2＝2，只有B選項中兩個值的和為2. 12．(2018·佛山模擬)已知y＝f(x)是偶函數(shù)，且當0≤x≤1時，f(x)＝sin x，而y＝f(x＋1)是奇函數(shù)，則a＝f(－3.5)，b＝f(7)，c＝f(12)的大小關(guān)系是(　　) A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a(chǎn)＜c＜b D．a(chǎn)＜b＜c 解析：選B.因為y＝f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)， 因為y＝

9、f(x＋1)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(2－x)， 所以f(－x)＝－f(2－x)，即f(x)＝f(x＋4)． 所以函數(shù)f(x)的周期為4， 又因為當0≤x≤1時，f(x)＝sin x，所以函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增， 因為a＝f(－3.5)＝f(－3.5＋4)＝f(0.5)； b＝f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝f(1)， c＝f(12)＝f(12－12)＝f(0)， 又因為f(x)在[0，1]上為增函數(shù)， 所以f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即c＜a＜b. 13．(2018·西安模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a

10、2)＞f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2) C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：選C.∵f(x)是奇函數(shù)，∴當x＜0時，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－2x，∴－f(x)＝x2－2x，∴f(x)＝－x2＋2x.作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖中實線所示，結(jié)合圖象可知f(x)是R上的增函數(shù)，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1. 14．(2018·河北衡水中學一模)對任意的實數(shù)x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的圖象關(guān)于x＝1對稱，且f(0)＝2，則f(

11、2 019)＋f(2 020)＝(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 解析：選B.∵y＝f(x－1)的圖象關(guān)于x＝1對稱，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝0對稱，即函數(shù)f(x)是偶函數(shù)． 令x＝－1，則f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)， 即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0. 則f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)， 即函數(shù)的周期是2，又f(0)＝2，則f(2 019)＋f(2 020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故選B. 15．(2018·內(nèi)蒙古包頭模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且

12、在[0，2]上為增函數(shù)，若方程f(x)＝m(m＞0)在區(qū)間[－8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4的值為________． 解析：因為f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，由f(x－4)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋6)＝－f(x－2)，因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，結(jié)合f(x)在[0，2]上為增函數(shù)，可得函數(shù)f(x)的大致圖象如圖，由圖看出，四個交點中的左邊兩個交點的橫坐標之和為2×(－6)，另兩個交點的橫坐標之

13、和為2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8. 答案：－8 16．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x－3)＝－f(x)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x－3)為奇函數(shù)，則(　　) A．f(－31)＜f(84)＜f(13) B．f(84)＜f(13)＜f(－31) C．f(13)＜f(84)＜f(－31) D．f(－31)＜f(13)＜f(84) 解析：選A.根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足f(x－3)＝－f(x)，則有f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，則函數(shù)f(x)為周期為6的周期函數(shù)．若函數(shù)y＝f(x－3)為奇函數(shù)，則f(x)的圖象關(guān)于點(－3，0)成中心對稱，則有f

14、(x)＝－f(－6－x)，又由函數(shù)的周期為6，則有f(x)＝－f(－x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．又由函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，f(84)＝f(14×6＋0)＝f(0)，f(－31)＝f(－1－5×6)＝f(－1)，f(13)＝f(1＋2×6)＝f(1)，則有f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－31)＜f(84)＜f(13)，故選A. C級　素養(yǎng)加強練 17．(2018·泰安模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函數(shù)，給出下列幾個命題：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)的圖象關(guān)于x＝

15、1對稱；③f(x)在[1，2]上是減函數(shù)；④f(2)＝f(0)，其中正確命題的序號是________(請把正確命題的序號全部寫出來)． 解析：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)對任意x，y∈R恒成立． 令x＝y(tǒng)＝0， 所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x， 所以f(0)＝f(x)＋f(－x)． 所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)． 因為f(x)在x∈[－1，0]上為增函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在[0，1]上為增函數(shù)． 由f(x＋2)＝－f(x)?f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以周期T＝4， 即f(x)為周期函數(shù)． f(x＋2)＝－f(x)?f(－x＋2)＝－f(－x)． 又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(2－x)＝f(x)， 所以函數(shù)關(guān)于x＝1對稱． 由f(x)在[0，1]上為增函數(shù)，又關(guān)于x＝1對稱， 所以f(x)在[1，2]上為減函數(shù)． 由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)． 答案：①②③④ 7