2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)7 空間幾何體的表面積、體積及有關(guān)量的計(jì)算 理

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1、專題限時(shí)集訓(xùn)(七)　空間幾何體的表面積、體積及有關(guān)量的計(jì)算 [專題通關(guān)練] (建議用時(shí)：30分鐘) 1．在一個(gè)密閉透明的圓柱筒內(nèi)裝一定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時(shí)，指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是(　　) A．圓面　　　　　 B．矩形面 C．梯形面 D．橢圓面或部分橢圓面 C　[將圓柱桶豎放，水面為圓面；將圓柱桶斜放，水面為橢圓面或部分橢圓面；將圓柱桶水平放置，水面為矩形面，所以圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是梯形面，故選C.] 2．[易錯(cuò)題]一個(gè)正方體的內(nèi)切球O1、外接球O2、與各棱都相切的球O3的半徑之比為(　　) A．1∶3

2、∶2　　　　 B．1∶1∶1 C．1∶∶ D．1∶2∶3 C　[設(shè)正方體的棱長為1，則其內(nèi)切球O1的半徑為，外接球O2的半徑為(正方體體對(duì)角線的一半)，與各棱都相切的球O3的半徑為(正方體面對(duì)角線的一半)，所以它們的半徑之比是1∶∶，故選C.] 3．已知三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝，AB＝BC＝1，則三棱錐P-ABC 的外接球的表面積為(　　) A．12π B．6π C．24π D. B　[如圖， ∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AB， ∵AB＝1，PA＝，∴PB＝2， 又AB⊥BC，把三棱錐P-ABC補(bǔ)形為長方體，則長方體對(duì)角線長為＝，

3、則三棱錐P-ABC外接球的半徑為， ∴三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4π×＝6π.故選B.] 4．[重視題]兩個(gè)相同的正四棱錐底面重合組成一個(gè)八面體，可放于棱長為1的正方體中，重合的底面與正方體的某一個(gè)面平行，各頂點(diǎn)均在正方體的表面上(如圖)，該八面體的體積可能值有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無數(shù)個(gè) D　[設(shè)ABCD與正方體的截面四邊形為A′B′C′D′，設(shè)AA′＝x(0≤x≤1)，則AB′＝1－x， |AD|2＝x2＋(1－x)2＝2＋， 故S四邊形ABCD＝|AD|2∈， V＝S四邊形ABCD·h·2＝S四邊形ABCD∈. ∴該八面體的體積可能值有

4、無數(shù)個(gè)，故選D.] 5．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A-B1DC1的體積為(　　) A．3 B. C．1 D. C　[∵D是等邊三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)， ∴AD⊥BC. 又ABC-A1B1C1為正三棱柱， ∴AD⊥平面BB1C1C. ∵四邊形B為矩形，∴S＝S＝×2×＝.又AD＝2×＝， ∴V＝S·AD＝××＝1.故選C.] 6.如圖所示，圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為________． 　[由題知，旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是一圓臺(tái)去掉一個(gè)半球，其中圓臺(tái)的體積為V＝×(π×22＋＋π×5

5、2)×4＝52π，半球的體積V＝××π×23＝，則所求體積為52π－＝.] 7．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源與古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為________．(容器壁的厚度忽略不計(jì)) 41π　[由題意，該球形容器的半徑的最小值為：＝， ∴該球形容器的表面積的最小值為4π·＝41π.] 8．

6、三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，其中PA⊥平面ABC，△ABC是正三角形，PA＝2BC＝4，則該球的表面積為________． 　[球心應(yīng)位于過正三角形ABC的中心且垂直于平面ABC的直線上，又PA⊥平面ABC，PA＝4，所以球心O到平面ABC的距離為2，所以球的半徑r＝＝，所以球的表面積為S＝4πr2＝.] [能力提升練] (建議用時(shí)：15分鐘) 9．(2019·成都七中模擬)《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形、側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱之為“塹堵”，現(xiàn)有一“塹堵”型石材，其底面三邊長分別為3,4,5，若此石材恰好可以加工成一個(gè)最大的球體，則其高為(　　) A．4 B．3

7、 C．2 D．1 C　[ 如圖，是過球心且與底面平行的軸截面，設(shè)球的半徑為r，由AC＝3，BC＝4，可得AB＝5，由等面積法可得：×3×4＝(3＋4＋5)r，解得r＝1.∴此石材d的高為2r＝2.故選C.] 10．(2019·唐山二模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．16π B．14π C．10π D．8π C　[根據(jù)三視圖知，該幾何體是半球體截去一個(gè)圓錐體剩余部分，畫出圖形如圖所示； 結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算該幾何體的表面積為 S＝S半球表面積＋S半球底面圓＋S圓錐側(cè)面積－S圓錐底面圓＝2π·()2＋π·()2＋π·1·－π·12＝10π.故

8、選C.] 11．一塊邊長為6 cm的正方形鐵皮按如圖1所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，將該容器按如圖2放置，若其正視圖為等腰直角三角形，則該容器的體積為(　　) 圖1　　　　　　　　　　　　　圖2 A．12 cm3 B．4 cm3 C．27 cm3 D．9 cm3 D　[如圖2，△PMN為該四棱錐的正視圖，由圖1可知，PM＋PN＝6，且PM＝PN，由△PMN為等腰直角三角形，可知MN＝3，PM＝3.設(shè)MN中點(diǎn)為O，則PO⊥平面ABCD，∴PO＝MN＝，∴VP-ABCD＝×2×＝×18×＝9.選D. ] 圖1　　　　　　　　　圖2

9、 12．[重視題]正三棱錐S-ABC的底面邊長為a，各側(cè)面的頂角為30°，D為側(cè)棱SC的中點(diǎn)，截面△DEF過D且平行于AB.當(dāng)△DEF的周長最小時(shí)，截得的三棱錐S-DEF的側(cè)面積為________． a2　[將正三棱錐的側(cè)面展開(如圖所示)，可得三個(gè)頂角均為30°的等腰三角形，底面邊長為a，D′為SC′的中點(diǎn)，DD′的連線長即為最短． ∵DD′∥CC′∥A′B′，∴E′，F(xiàn)′即為相對(duì)應(yīng)的E，F(xiàn). 在△SCB′中，B′C＝a，∠CSB′＝30°， 則SC＝SB′＝. 又∵∠CSC′＝90°， ∴DD′＝CC′＝·a·＝a， 即為截面△DEF的周長的最小值， 這時(shí)，三棱錐S-DEF

10、的側(cè)面展開圖的頂角為90°， ∴S△SDD′＝＝a2.] 題號(hào) 內(nèi)容 押題依據(jù) 1 數(shù)學(xué)文化、錐體的體積、柱體的表面積、不等式 高考熱點(diǎn)之一，通過對(duì)幾何體的體積計(jì)算實(shí)現(xiàn)知識(shí)間的融合考查了學(xué)生的空間想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng) 2 球的切接體積的最值問題 有關(guān)球的切接及體積的最值問題一直是高考的熱點(diǎn)，考查學(xué)生的動(dòng)態(tài)分析問題能力 【押題1】　《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年．例如“塹堵”指的是底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；“陽馬”指的是底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．如圖所示，在塹堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，A1A＝

11、AB＝2，當(dāng)塹堵ABC-A1B1C1的側(cè)面積取得最大值時(shí)，陽馬B-A1ACC1的體積為(　　) A.　　　 B. C．4 D. A　[根據(jù)題意，設(shè)AC＝x，BC＝y(tǒng)，則有x2＋y2＝4，塹堵ABC-A1B1C1的側(cè)面積S側(cè)＝(2＋x＋y)×2＝4＋2(x＋y)≤4＋2＝4＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)取等號(hào)，此時(shí)陽馬B-A1ACC1的體積V＝×AC×CC1×BC＝××2×＝，故選A. 【押題2】　如圖，三棱錐A-BCD中，AD⊥BD，AC⊥BC，∠DAB＝，∠BAC＝.三棱錐的外接球的表面積為16π，則該三棱錐的體積的最大值為(　　) A. B. C. D. B　[設(shè)外接球的半徑為R.由題意得，4πR2＝16π，解得R＝2.由題意知△ADB，△ABC都是直角三角形，所以三棱錐A-BCD的外接球的球心為AB的中點(diǎn)，且AB＝4.由∠DAB＝，∠BAC＝，可求得AD＝2，BD＝2，AC＝BC＝2.當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，平面ADB⊥平面ABC.所以三棱錐的體積的最大值為V三棱錐A-BCD＝V三棱錐C-ABD＝××2×2×2＝.故選B.] - 7 -