2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 第2講 用樣本估計(jì)總體練習(xí) 理 北師大版

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1、第2講 用樣本估計(jì)總體 [基礎(chǔ)題組練] 1．(2019·高考全國卷Ⅱ)演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分，7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是(　　) A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差 解析：選A.記9個(gè)原始評(píng)分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的順序排列)，易知e為7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A. 2．(2020·陜西商洛質(zhì)檢)在一次53.5千米的自行車個(gè)人賽中，25名參賽選手成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖

2、所示，現(xiàn)將參賽選手按成績由好到差編為1～25號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取5人，已知選手甲的成績性為85分鐘，若甲被選取，則被選取的其余4名選手的成績的平均數(shù)為(　　) A．95　　　 B．96　　　　 C．97　　　 D．98 解析：選C.由系統(tǒng)抽樣法及已知條件可知被選中的其他4人的成績分別是88，94，99，107，故平均數(shù)為＝97，故選C. 3．(2020·廣東珠海摸底)某班級(jí)在一次數(shù)學(xué)競賽中設(shè)置了一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)以及參與獎(jiǎng)，各個(gè)獎(jiǎng)品的單價(jià)分別為一等獎(jiǎng)20元，二等獎(jiǎng)10元，三等獎(jiǎng)5元，參與獎(jiǎng)2元，獲獎(jiǎng)人數(shù)的分配情況如圖所示，則以下說法不正確的是(　　) A．獲得參

3、與獎(jiǎng)的人數(shù)最多 B．各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)中三等獎(jiǎng)的總費(fèi)用最高 C．購買獎(jiǎng)品的平均費(fèi)用為9.25元 D．購買獎(jiǎng)品的費(fèi)用的中位數(shù)為2元 解析：選C.設(shè)全班人數(shù)為a.由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知．一等獎(jiǎng)?wù)?%，二等獎(jiǎng)?wù)?0%，三等獎(jiǎng)?wù)?0%，參與獎(jiǎng)?wù)?5%，獲得參與獎(jiǎng)的人數(shù)最多，故A正確；一等獎(jiǎng)的總費(fèi)用為5%a×20＝a.二等獎(jiǎng)的總費(fèi)用為10%a×10＝a，三等獎(jiǎng)的總費(fèi)用為30%a×5＝a，參與獎(jiǎng)的總費(fèi)用為55%a×2＝a，所以各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)中三等獎(jiǎng)的總費(fèi)用最高，故B正確；購買獎(jiǎng)品的平均費(fèi)用為5%×20＋10%×10＋30%×5＋55%×2＝4.6(元)，故C錯(cuò)誤；參與獎(jiǎng)?wù)?5%，所以購買獎(jiǎng)品的費(fèi)用的中位數(shù)為2元，故D正

4、確．故選C. 4．(2020·安徽六安毛坦廠中學(xué)月考)某位教師2017年的家庭總收入為80 000元，各種用途占比統(tǒng)計(jì)如下面的折線圖.2018年收入的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如下面的條形圖，已知2018年的就醫(yī)費(fèi)用比2017年增加了4 750元，則該教師2018年的家庭總收入為(　　) A．100 000元 B．95 000元 C．90 000元 D．85 000元 解析：選D.由已知得，2017年的就醫(yī)費(fèi)用為80 000×10%＝8 000(元)．故2018年的就醫(yī)費(fèi)用為8 000＋4 750＝12 750(元)，所以該教師2018年的家庭總收入為＝85 000(元)．故選D. 5

5、．甲、乙兩名同學(xué)6次考試的成績統(tǒng)計(jì)如圖所示，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲，乙，標(biāo)準(zhǔn)差分別為σ甲，σ乙，則(　　) A．甲<乙，σ甲<σ乙 B．甲<乙，σ甲>σ乙 C．甲>乙，σ甲<σ乙 D．甲>乙，σ甲>σ乙 解析：選C.由題圖可知，甲同學(xué)除第二次考試成績略低于乙同學(xué)外，其他考試成績都遠(yuǎn)高于乙同學(xué)，可知甲>乙，題圖中數(shù)據(jù)顯示甲同學(xué)的成績比乙同學(xué)穩(wěn)定，故σ甲<σ乙． 6．某中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人，分為兩個(gè)小組，在一次階段測試中兩個(gè)小組成績的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是88，乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是89，則n－m的值是________． 解析：由甲組學(xué)生成績的

6、平均數(shù)是88，可得 ＝88，解得m＝3.由乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是89，可得n＝9，所以n－m＝6. 答案：6 7．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示．為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為________、________． 解析：由題圖甲可知學(xué)生總?cè)藬?shù)是10 000，樣本容量為10 000×2%＝200，抽取的高中生人數(shù)是2 000×2%＝40，由題圖乙可知高中生的近視率為50%，所以抽取的高中生的近視人數(shù)為40×50%＝20. 答案：200　20 8．為了了解某校高三美術(shù)生的身體

7、狀況，抽查了部分美術(shù)生的體重，將所得數(shù)據(jù)整理后，作出了如圖所示的頻率分布直方圖．已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1∶3∶5，第2個(gè)小組的頻數(shù)為15，則被抽查的美術(shù)生的人數(shù)是________． 解析：設(shè)被抽查的美術(shù)生的人數(shù)為n，因?yàn)楹?個(gè)小組的頻率之和為(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3個(gè)小組的頻率之和為0.75.又前3個(gè)小組的頻率之比為1∶3∶5，第2個(gè)小組的頻數(shù)為15，所以前3個(gè)小組的頻數(shù)分別為5，15，25，所以n＝＝60. 答案：60 9．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，城市缺水問題較為突出．某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定

8、額管理，即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解全市居民用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求頻率分布直方圖中a的值； (2)已知該市有80萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由； (3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，估計(jì)x的值，并說明理由． 解：(1)由頻率分布直方圖，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.5

9、2＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1， 解得a＝0.30. (2)由頻率分布直方圖知，100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12. 由以上樣本頻率分布，可以估計(jì)全市80萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為800 000×0.12＝96 000. (3)因?yàn)榍?組的頻率之和為(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85，前5組的頻率之和為(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85， 所以2.5≤x＜3. 由0.3×(x－2.5)＝0.8

10、5－0.73，解得x＝2.9. 因此，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)． 10．有A，B，C，D，E五位工人參加技能競賽培訓(xùn)．現(xiàn)分別從A，B二人在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次．用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)： (1)A，B二人預(yù)賽成績的中位數(shù)分別是多少？ (2)現(xiàn)要從A，B中選派一人參加技能競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認(rèn)為派哪位工人參加合適？請(qǐng)說明理由； (3)若從參加培訓(xùn)的5位工人中選2人參加技能競賽，求A，B二人中至少有一人參加技能競賽的概率． 解：(1)A的中位數(shù)是＝84，B的中位數(shù)是＝83. (2)派B參加比較合適．理由如

11、下： B＝(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85， A＝(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85， s＝[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5， s＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41， 因?yàn)锳＝B，但s

12、)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)；A，B都不參加的有3種：(C，D)，(C，E)，(D，E)， A，B二人中至少有一人參加技能競賽的概率P＝1－＝. [綜合題組練] 1．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．如圖是根據(jù)環(huán)保部門某日早6點(diǎn)至晚9點(diǎn)在A縣、B縣兩個(gè)地區(qū)附近的PM2.5監(jiān)測點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)(單位：毫克/立方米)列出的莖葉圖，A縣、B縣兩個(gè)地區(qū)濃度的方差較小的是(　　) A．A縣　　　　　　　　 B．B縣 C．A縣、B縣兩個(gè)地區(qū)相等 D．無法確定 解析：選A.根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，A縣的數(shù)據(jù)都

13、集中在0.05和0.08之間，數(shù)據(jù)分布比較穩(wěn)定，而B縣的數(shù)據(jù)分布比較分散，不如A縣數(shù)據(jù)集中，所以A縣的方差較?。? 2．某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x－y|的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選D.由題意知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8， 設(shè)x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8，得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4. 3．設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x2 017的方差是4，若yi＝2xi－1(

14、i＝1，2，…，2 017)，則y1，y2，…，y2 017的方差為________． 解析：設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則yi＝2xi－1的平均數(shù)為2－1，則y1，y2，…，y2 017的方差為[(2x1－1－2＋1)2＋(2x2－1－2＋1)2＋…＋(2x2 017－1－2＋1)2]＝4×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x2 017－)2]＝4×4＝16. 答案：16 4．我市某高中從高三年級(jí)甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(河南初賽)，他們?nèi)〉玫某煽?滿分140分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生成績的中位數(shù)是81，乙班學(xué)生成績的平均數(shù)是86，若正實(shí)數(shù)a，b滿

15、足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，則＋的最小值為________． 解析：由甲班學(xué)生成績的中位數(shù)是81，可知81為甲班7名學(xué)生的成績按從小到大的順序排列的第4個(gè)數(shù)，故x＝1.由乙班學(xué)生成績的平均數(shù)為86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比數(shù)列，可得G2＝xy＝4，由正實(shí)數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以＋＝(＋)×(＋)＝(1＋＋＋4)≥×(5＋4)＝(當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)取等號(hào))．故＋的最小值為. 答案： 5．(2020·東北三省三校二模)一個(gè)經(jīng)銷鮮花產(chǎn)品的微店，為保障售出的百

16、合花品質(zhì)，每天從某省鮮花基地空運(yùn)固定數(shù)量的百合花，如有剩余則免費(fèi)分贈(zèng)給第二天購花顧客，如果不足，則從本地鮮花供應(yīng)商處進(jìn)貨．今年四月前10天，微店百合花的售價(jià)為每支2元，某省空運(yùn)來的百合花每支進(jìn)價(jià)1.6元，本地供應(yīng)商處的百合花每支進(jìn)價(jià)1.8元，微店這10天的訂單中百合花的日需求量(單位：支)依次為：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252. (1)求今年四月前10天訂單中百合花日需求量的平均數(shù)和眾數(shù)，并完成頻率分布直方圖； (2)預(yù)計(jì)四月的后20天，訂單中百合花日需求量的頻率分布與四月前10天相同，百合花進(jìn)貨價(jià)格與售價(jià)均不變，請(qǐng)根據(jù)(1)中頻率分布直

17、方圖判斷(同一組中的需求量數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，位于各區(qū)間的頻率代替位于該區(qū)間的概率)，微店每天從某省固定空運(yùn)250支，還是255支百合花，四月后20天百合花銷售總利潤會(huì)更大？ 解：(1)四月前10天訂單中百合需求量眾數(shù)為255， 平均數(shù)＝×(231＋241＋243＋244＋251＋252＋255＋255＋263＋265)＝250. 頻率分布直方圖如圖： (2)設(shè)訂單中百合花的日需求量為a(支)，由(1)中頻率分布直方圖知，a可能取值為235，245，255，265，相應(yīng)頻率分別為0.1，0.3，0.4，0.2. 所以20天中a＝235，245，255，265相應(yīng)的天數(shù)為

18、2天，6天，8天，4天． ①若空運(yùn)250支， a＝235，當(dāng)日利潤為235×2－250×1.6＝70(元)， a＝245，當(dāng)日利潤為245×2－250×1.6＝90(元)， a＝255，當(dāng)日利潤為255×2－250×1.6－5×1.8＝101(元)， a＝265，當(dāng)日利潤為265×2－250×1.6－15×1.8＝103(元)， 20天總利潤為70×2＋90×6＋101×8＋103×4＝1 900(元)． ②若空運(yùn)255支， a＝235，當(dāng)日利潤為235×2－255×1.6＝62(元)， a＝245，當(dāng)日利潤為245×2－255×1.6＝82(元)， a＝255，當(dāng)日利潤為

19、255×2－255×1.6＝102(元)， a＝265，當(dāng)日利潤為265×2－255×1.6－10×1.8＝104(元)， 20天總利潤為62×2＋82×6＋102×8＋104×4＝1 848(元)． 因?yàn)? 900>1 848，所以每天空運(yùn)250支百合花，四月后20天總利潤更大． 6．某高三畢業(yè)班甲、乙兩名同學(xué)在連續(xù)的8次數(shù)學(xué)周練中，統(tǒng)計(jì)解答題失分的莖葉圖如圖： (1)比較這兩名同學(xué)8次周練解答題失分的平均數(shù)和方差的大小，并判斷哪位同學(xué)做解答題相對(duì)穩(wěn)定些； (2)以上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)甲、乙兩名同學(xué)失分超過15分的頻率作為概率，假設(shè)甲、乙兩名同學(xué)在同一次周練中失分多少互不影響，預(yù)測在

20、接下來的2次周練中，甲、乙兩名同學(xué)失分均超過15分的次數(shù)X的分布列和均值． 解：(1) 甲 ＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，乙＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75， s＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. 甲、乙兩名同學(xué)解答題失分的平均數(shù)相等；甲同學(xué)解答題失分的方差比乙同學(xué)解答題失分的方差大．所以乙同學(xué)做解答題相對(duì)穩(wěn)定些． (2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，在一次周練中，甲和乙失分超過15分的概率分別為P1＝，P2＝， 兩人失分均超過15分的概率為P1P2＝， X的所有可能取值為0，1，2.依題意，X～B， P(X＝k)＝C，k＝0，1，2， 則X的分布列為 X 0 1 2 P X的均值EX＝2×＝. 9