2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)28 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 理 北師大版

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1、課后限時集訓(xùn)28 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．一名學(xué)生在河岸上緊靠河邊筆直行走，某時刻測得河對岸靠近河邊處的參照物與學(xué)生前進方向成30°角．前進200 m后，測得該參照物與前進方向成75°角，則河的寬度為(　　) A．50(＋1)m B．100(＋1)m C．50 m D．100 m A　[如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200 m，由正弦定理，得BC＝＝100(m)，所以河的寬度為BCsin 75°＝100×＝50(＋1)(m)．] 2．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b

2、，c，且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，則cos C的最小值為(　　) A.　　　 B. C.　　　 D.－ C　[因為cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos C＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，故選C.] 3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，則△ABC面積的最大值為(　　) A．8 B．4 C．2 D. B　[由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，則cos C＝＝＝.由C∈(0，π)，所以sin C

3、＝.又16＝c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，則ab≤16，所以S△ABC＝absin C≤×16×＝4.故Smax＝4.故選B.] 4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2c·cos B＝2a＋b，若△ABC的面積為S＝c，則ab的最小值為(　　) A．8 B．10 C．12 D．14 C　[在△ABC中，由已知及正弦定理可得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin(B＋C)＋sin B，即2sin Ccos B＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B＋sin B，所以2sin Bcos C＋sin B＝0.因為sin B≠0，所

4、以cos C＝－，C＝.由于△ABC的面積為S＝ab·sin C＝ab＝c，所以c＝ab.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·cos C，整理可得a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，取等號，所以ab≥12.] 5．在△ABC中，sin B＝，BC邊上的高為AD，D為垂足，且BD＝2CD，則cos∠BAC＝(　　) A．－ B. C．－ D. A　[依題意設(shè)CD＝x，AD＝y(tǒng)，則BD＝2x，BC＝3x.因為sin B＝，所以AB＝＝3y.因為BC邊上的高為AD，如圖所示，所以AB2＝AD2＋BD2＝y(tǒng)2＋4x2＝9y2，即x＝y(tǒng).所以AC＝＝＝y(tǒng).根據(jù)余弦定理得c

5、os∠BAC＝＝＝＝－.故選A.] 二、填空題 6．一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時________海里． 10　[如圖所示，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°， 所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10， 在Rt△ABC中，得AB＝5， 于是這艘船的速度是＝10(海里/時)．] 7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asin B＝bcos A．若a＝4，則△ABC周長的最大值為________．

6、 12　[由正弦定理＝， 可將asin B＝bcos A轉(zhuǎn)化為sin Asin B＝sin Bcos A. 又在△ABC中，sin B＞0，∴sin A＝cos A， 即tan A＝. ∵0＜A＜π，∴A＝.由于a＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，得16＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又bc≤2，∴(b＋c)2≤64，即b＋c≤8，∴a＋b＋c≤12.] 8.如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，則sin C的值為________． 　[設(shè)AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2B

7、D，∴AD＝a，BD＝，BC＝. 在△ABD中，cos∠ADB＝＝， ∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝. 在△BDC中，＝， ∴sin C＝＝.] 三、解答題 9.在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3. (1)求AD的長； (2)若∠BCD＝105°，求四邊形ABCD的面積． [解]　(1)∵在△ABD中，AB＝，∠A＝120°，BD＝3， ∴由余弦定理得cos 120°＝，解得AD＝(AD＝－2舍去)，∴AD的長為. (2)∵AD∥BC，∠A＝120°，BD＝3，AB＝AD＝，∠BCD＝105°， ∴∠DBC＝30°，∠BDC＝45°

8、，∴由正弦定理得＝＝，解得BC＝3－3，DC＝. 如圖，過點A作AE⊥BD，交BD于點E，過點C作CF⊥BD，交BD于點F， 則AE＝AB＝，CF＝BC＝， ∴四邊形ABCD的面積S＝S△ABD＋S△BDC＝BD·(AE＋CF)＝×3×＝. 10．(2019·綿陽模擬)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且2csin B＝3atan A. (1)求的值； (2)若a＝2，求△ABC面積的最大值． [解]　(1)∵2csin B＝3atan A， ∴2csin Bcos A＝3asin A， 由正弦定理得2cbcos A＝3a2， 由余弦定理得2cb·＝3a2

9、，化簡得b2＋c2＝4a2， ∴＝4. (2)∵a＝2，由(1)知b2＋c2＝4a2＝16， ∴由余弦定理得cos A＝＝， 根據(jù)基本不等式得b2＋c2≥2bc，即bc≤8，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時，等號成立，∴cos A≥＝. 由cos A＝，得bc＝，且A∈， ∴△ABC的面積S＝bcsin A＝××sin A＝3tan A. ∵1＋tan2A＝1＋＝＝， ∴tan A＝≤＝.∴S＝3tan A≤. ∴△ABC面積的最大值為. 1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若sin B＋2sin Acos C＝0，則當(dāng)cos B取最小值時，＝(　　) A. B

10、. C．2 D. B　[由sin B＋2sin Acos C＝0，根據(jù)正弦定理和余弦定理得b＋2a·＝0， ∴a2＋2b2－c2＝0，∴b2＝，∴cos B＝＝＝＋≥，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即＝時取等號，cos B取最小值.故選B.] 2.(2019·吉林長春質(zhì)量監(jiān)測(四))《海島算經(jīng)》是中國學(xué)者劉徽編撰的一部測量數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)有取自其中的一個問題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問島高幾何？其大意為：如圖所示，立兩個三丈高的標(biāo)桿BC和DE，兩標(biāo)

11、桿之間的距離BD＝1 000步，兩標(biāo)桿的底端與海島的底端H在同一直線上，從前面的標(biāo)桿B處后退123步，人眼貼地面，從地上F處仰望島峰，A，C，F(xiàn)三點共線，從后面的標(biāo)桿D處后退127步，人眼貼地面，從地上G處仰望島峰，A，E，G三點也共線，則海島的高為(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)(　　) A．1 255步 B．1 250步 C．1 230步 D．1 200步 A　[因為AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以＝. 因為AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以＝. 又BC＝DE，所以＝，即＝， 所以HB＝30 750步， 又＝，所以AH＝＝1 255(步

12、)．故選A.] 3.如圖所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，點D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足，若DE＝2，則cos A＝________. 　[∵AD＝DB，∴∠A＝∠ABD， ∴∠BDC＝2∠A. 設(shè)AD＝DB＝x， ∴在△BCD中，＝， 可得＝.① 在△AED中，＝，可得＝.② 聯(lián)立①②可得＝，解得cos A＝.] 4．(2019·寧德模擬)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且2c－b＝2acos B，a＝. (1)若c＝，求△ABC的面積； (2)若△ABC為銳角三角形，求b－c的取值范圍． [解]　(1)∵2c－b＝2acos

13、 B，由正弦定理得2sin C－ sin B＝2sin Acos B， ∴2sin(A＋B)－sin B＝2sin Acos B，∴2cos Asin B＝sin B. ∵B∈(0，π)，∴sin B≠0， ∴cos A＝. 又∵A∈(0，π)，∴A＝. 由余弦定理得7＝b2＋3－2××b， 即b2－3b－4＝0，(b－4)(b＋1)＝0，∴b＝4或b＝－1(舍去)， ∴S△ABC＝bcsin A＝×4××＝. (2)由(1)知A＝.由正弦定理得，＝＝＝＝2， ∴b－c＝2 ＝2＝2sin. ∵△ABC是銳角三角形， ∴＜B＜，＜B－＜，＜sin＜， ∴b－c∈(，)

14、． 1.(2019·福建寧德5月質(zhì)檢)海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍洞．若要測量如圖所示的海洋藍洞的口徑(即A，B兩點間的距離)，現(xiàn)取兩點C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍洞的口徑為________． 80　[由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°， 所以∠DAC＝15°， 由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)． 在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°， 由正弦定理＝， 得BC＝

15、＝＝160sin 15°＝40(－)． 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000， 解得AB＝80. 故圖中海洋藍洞的口徑為80.] 2.如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c＝4，b＝2,2ccos C＝b，D，E分別為線段BC上的點，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE. (1)求線段AD的長； (2)求△ADE的面積． [解]　(1)因為c＝4，b＝2,2ccos C＝b， 所以cos C＝＝. 由余弦定理得cos C＝＝＝， 所以a＝4，即BC＝4. 在△ACD中，CD＝2，AC＝2， 所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，所以AD＝. (2)因為AE是∠BAC的平分線， 所以＝＝＝2， 又＝，所以＝2， 所以CE＝BC＝，DE＝2－＝. 又因為cos C＝， 所以sin C＝＝. 又S△ADE＝S△ACD－S△ACE， 所以S△ADE＝×DE×AC×sin C＝. 8