2021高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓58 圓錐曲線中的定點、定值問題 理 北師大版

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1、課后限時集訓58 圓錐曲線中的定點、定值問題 建議用時：45分鐘 1．(2019·大連模擬)已知動圓E經(jīng)過定點D(1,0)，且與直線x＝－1相切，設(shè)動圓圓心E的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的方程； (2)設(shè)過點P(1,2)的直線l1，l2分別與曲線C交于A，B兩點，直線l1，l2的斜率存在，且傾斜角互補，證明：直線AB的斜率為定值． [解]　(1)由已知，動點E到定點D(1,0)的距離等于E到直線x＝－1的距離，由拋物線的定義知E點的軌跡是以D(1,0)為焦點，以x＝－1為準線的拋物線，故曲線C的方程為y2＝4x. (2)證明：由題意直線l1，l2的斜率存在，傾斜角互補，得斜率

2、互為相反數(shù)，且不等于零． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直線l1的方程為y＝k(x－1)＋2，k≠0. 直線l2的方程為y＝－k(x－1)＋2， 由 得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0， Δ＝16(k－1)2>0，已知此方程一個根為1， ∴x1×1＝＝， 即x1＝， 同理x2＝＝， ∴x1＋x2＝，x1－x2＝－＝－， ∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2] ＝k(x1＋x2)－2k＝k·－2k＝， ∴kAB＝＝＝－1， ∴直線AB的斜率為定值－1. 2．(2019·廣州模擬)已知橢圓C：＋＝1若直線l：y＝kx

3、＋m與橢圓C相交于A，B兩點(A，B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標． [解]　由 ，消去y，并整理得：(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， 由Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0， 得3＋4k2－m2>0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2) ∴x1＋x2＝－，x1·x2＝ ∴y1·y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.∵以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0)，且·＝0，即y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， 所以＋＋＋4＝0， 整

4、理得：7m2＋16mk＋4k2＝0， 解得m1＝－2k，m2＝－， 且滿足3＋4k2－m2>0. 當m＝－2k時，l：y＝k(x－2)，直線過定點(2,0)，與已知矛盾； 當m＝－時，l：y＝k，直線過定點. 綜上可知，直線l過定點，定點坐標為. 3．(2019·南昌模擬)已知圓O：x2＋y2＝4，點F(1,0)，P為平面內(nèi)一動點，以線段FP為直徑的圓內(nèi)切于圓O，設(shè)動點P的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的方程； (2)M，N是曲線C上的動點，且直線MN經(jīng)過定點.問：在y軸上是否存在定點Q，使得∠MQO＝∠NQO？若存在，請求出定點Q的坐標；若不存在，請說明理由． [解]　(1

5、)設(shè)PF的中點為S，切點為T，連接OS，ST，則|OS|＋|SF|＝|OT|＝2. 取F′(－1,0)，連接F′P(圖略)， 則|F′P|＋|FP|＝2(|OS|＋|SF|)＝4. 所以點P的軌跡是以F′，F(xiàn)為焦點、長軸長為4的橢圓，其中a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3. 所以曲線C的方程為＋＝1. (2)假設(shè)存在滿足題意的定點Q.設(shè)Q(0，m)，當直線的斜率存在時直線MN的方程為y＝kx＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 聯(lián)立得方程組 消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋4kx－11＝0. 由題意知Δ>0，∴x1＋x2＝，x1x2＝. 由∠MQO＝∠NQO，得直線MQ與直線NQ的斜率之和為0， ∴＋＝＋ ＝＝0， ∴2kx1x2＋(x1＋x2) ＝2k·＋· ＝＝0， 當k≠0時，m＝6，所以存在定點(0,6)，使得∠MQO＝∠NQO；當k＝0時，定點(0,6)也符合題意． 易知直線MN的斜率不存在時，定點Q(0,6)也符合題意． ∴存在符合題意的定點Q，且定點Q的坐標為(0,6)． 綜上，存在定點(0,6)使得∠MQO＝∠NQO. 3