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專題三 閱讀理解型問題
閱讀理解題通常是給出一段文字，或陳述某個數學命題的解題過程，或設計一個新的數學情境，要求學生在閱讀理解的基礎上，進行判斷概括或遷移運用，從而解決題目中提出的問題．這類問題的考查目標既有基礎知識，又涉及閱讀理解能力、自習能力、書面表達能力、隨機應變能力和知識遷移運用能力等.2016年貴陽中考首次考查了閱讀理解幾何綜合應用問題．預計2017貴陽中考還會考查此類型題目，復習時應加大訓練力度．
,中考重難點突破)
閱讀解題過程，模仿解題策略
【經典導例】
【例1】(2016貴陽中考)
(1)閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE(或將△ACD繞著點D逆時針旋轉180得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷．
中線AD的取值范圍是________；
(2)問題解決：
如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE＋CF＞EF；
(3)問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140，以C為頂點作一個70角，角的兩邊分別交AB，AD于E，F兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數量關系，并加以證明．
【解析】本題屬于閱讀理解題，解題方法主要是數學中“轉化”思想的運用．對于(2)延長FD至點M，使DM＝DF，連接EM，BM，利用全等三角形性質和線段垂直平分線性質把線段BE，CF，EF轉化到△BEM中來研究；對于(3)要延長AB至點N，使BN＝DF，連接CN，先證明△NBC≌△FDC，得CN＝CF，∠NCB＝∠FCD.再根據已知條件證明△NCE≌△FCE，得EN＝EF，則有BE＋BN＝EN，所以有BE＋DF＝EF.
【學生解答】解：(1)2
EM，∴BE＋CF>EF；(3)BE＋DF＝EF.理由：延長AB至點N，使BN＝DF，連接CN.在△NBC和△FDC中，CB＝CD，BN＝DF.∵∠NBC＋∠ABC＝180，∠D＋∠ABC＝180，∴∠NBC＝∠D，∴△NBC≌△FDC，∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD.∵∠BCD＝140，∠ECF＝70，∴∠BCE＋∠FCD＝70，∴∠NCE＝70，在△NCE和△FCE中，CN＝CF，∠ECF＝∠NCE＝70，CE＝CE，∴△NCE≌△FCE，∴EN＝EF.∵BE＋BN＝EN，∴BE＋DF＝EF.
1．(張家界中考)閱讀材料：解分式不等式<0，解：根據實數的除法法則：同號兩數相除得正數，異號兩數相除得負數，因此，原不等式可轉化為：①或②解①得：無解，解②得：－20.
解：(1)根據實數的除法法則：同號兩數相除得正數，異號兩數相除得負數，因此原不等式可轉化為：①或②解①得：無解，解②得：－2.53，解②得：x<－2，所以原不等式的解集是：x>3或x<－2.
2．(2016蘭州中考)在數學課上，老師請同學們思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？
小敏在思考問題時，有如下思路：連接AC.
結合小敏的思路作答：
(1)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2)，則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由；
參考小敏思考問題的方法解決以下問題：
(2)如圖2，在(1)的條件下，若連接AC，BD.
①當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結論并證明；
②當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結論．
解：(1)四邊形EFGH還是平行四邊形，理由如下：連接AC.∵E，F分別是AB，BC的中點，∴EF∥AC，EF＝AC.∵G，H分別是CD，AD的中點，∴GH∥AC，GH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形；(2)①當AC＝BD時，四邊形EFGH是菱形，理由如下：由(1)可知四邊形EFGH是平行四邊形，當AC＝BD時，FG＝BD，EF＝AC，∴FG＝EF，∴四邊形EFGH是菱形；②當AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形．
3．(2016郴州中考)設a，b是任意兩個實數，規(guī)定a與b之間的一種運算“⊕”為：a⊕b＝
例如：1⊕(－3)＝＝－3，(－3)⊕2＝(－3)－2＝－5，
(x2＋1)⊕(x－1)＝.(因為x2＋1>0)
參照上面材料，解答下列問題：
(1)2⊕4＝__2__，(－2)⊕4＝__－6__；
(2)若x>，且滿足(2x－1)⊕(4x2－1)＝(－4)⊕(1－4x)，求x的值．
解：∵x>，∴2x－1>0，∴(2x－1)⊕(4x2－1)＝＝2x＋1.又－4<0，∴(－4)⊕(1－4x)＝－4－(1－4x)＝－5＋4x，∴(2x－1)⊕(4x2－1)＝(－4)⊕(1－4x)化為：2x＋1＝－5＋4x，解得x＝3，∴x的值為3.
閱讀新定義，新定理，解決新問題
【經典導例】
【例2】(2014蘭州中考)給出定義，若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．
(1)在你學過的特殊四邊形中，寫出兩種勾股四邊形的名稱；
(2)如圖，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉60得到△DBE，連接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30.
①求證：△BCE是等邊三角形；
②求證：DC2＋BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．
【解析】(1)根據定義和特殊四邊形的性質，則有矩形或正方形或直角梯形；
(2)①首先證明△ABC≌△DBE，得出AC＝DE，BC＝BE，進一步得出△BCE為等邊三角形；②利用等邊三角形的性質，進一步得出△DCE是直角三角形，問題得解．
【學生解答】解：(1)學習過的特殊四邊形中，符合條件的四邊形有：矩形、正方形或直角梯形；(2)①由旋轉的性質可知△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE，∵∠CBE＝60，∴△BCE是等邊三角形；②∵△BCE是等邊三角形，∴∠BCE＝60，CE＝BC.∵∠DCB＝30，∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝30＋60＝90.∴△DCE是直角三角形，∴DC2＋CE2＝DE2，又∵AC＝DE，CE＝BC，∴DC2＋BC2＝AC2.即四邊形ABCD是勾股四邊形．
4．(2016衢州中考)如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
(1)概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；
(2)性質探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數量關系．猜想結論(要求用文字語言敘述)，寫出證明過程；(先畫出圖形，寫出已知、求證)
(3)問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．
解：(1)四邊形ABCD是垂美四邊形．證明：∵AB＝AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；(2)猜想結論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．如圖2，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E，求證：AD2＋BC2＝AB2＋CD2，證明：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90，由勾股定理得，AD2＋BC2＝AE2＋DE2＋BE2＋CE2，AB2＋CD2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2，∴AD2＋BC2＝AB2＋CD2；(3)連接CG，BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90，∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，∴△GAB≌△CAE，∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC＋∠AME＝90，∴∠ABG＋∠BMC＝90，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由(2)得，CG2＋BE2＝CB2＋GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，∴GE2＝CG2＋BE2－CB2＝73，∴GE＝.
5．(2016寧波中考)從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線于對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．
(1)如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40，∠B＝60，求證：CD為△ABC的完美分割線；
(2)在△ABC中，∠A＝48，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數；
(3)如圖2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．
解：(1)∵∠A＝40，∠B＝60，∴∠ACB＝80，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40，∴∠ACD＝∠A＝40，∴△ACD為等腰三角形，∵∠DCB＝∠A＝40，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割線；(2)①當AD＝CD時(如圖①)，∠ACD＝∠A＝48，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96；②當AD＝AC時(如圖②)，∠ACD＝∠ADC＝＝66，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114；③當AC＝CD時(如圖③)，∠ADC＝∠A＝48，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48，∵∠ADC>∠BCD，矛盾，舍去，∴∠ACB＝96或114；
(3)由已知得AC＝AD＝2，∵△BCD∽△BAC，∴＝，設BD＝x，∴()2＝x(x＋2)，解得x＝－1，∵x＞0，∴x＝－1，∵△BCD∽△BAC，∴＝＝，∴CD＝2＝(－1)＝－.
6．(2016咸寧中考)閱讀理解：
我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形. 如圖1，一個矩形發(fā)生變形后成為一個平行四邊形. 設這個平行四邊形相鄰兩個內角中較小的一個內角為α，我們把的值叫做這個平行四邊形的變形度.
(1)若矩形發(fā)生變形后的平行四邊形有一個內角是120，則這個平行四邊形的變形度是________；
猜想證明：
(2)設矩形的面積為S1，其變形后的平行四邊形面積為S2，試猜想S1, S2，之間的數量關系，并說明理由；
拓展探究：
(3)如圖2，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，且AB2＝AEAD，這個矩形發(fā)生變形后為平行四邊形A1B1C1D1，E1為E的對應點，連接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面積為4(m＞0)，平行四邊形A1B1C1D1的面積為2(m＞0)，試求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度數．
解：(1)；(2)＝，理由如下：如圖1，設矩形的長和寬分別為a，b，其變形后的平行四邊形高為h，則S1＝ab，S2＝ah，sinα＝，∴＝＝，＝，∴＝；(3)由AB2＝AEAD，可得A1B＝A1E1A1D1，即＝.又∠B1A1E1＝∠D1A1B1，∴△B1A1E1∽△D1A1B1，∴∠A1B1E1＝∠A1D1B1.∵A1D1∥B1C1，∴∠A1E1B1＝∠C1B1E1，∴∠A1E1B1＋∠A1D1B1＝∠C1B1E1＋∠A1B1E1＝∠A1B1C1，由(2)＝，可知＝＝2，∴sin∠A1B1C1＝，∠A1B1C1＝30，∴∠A1E1B1＋∠A1D1B1＝30.
中考數學命題研究 第三編 綜合專題闖關篇 專題三 閱讀理解型問題試題
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