九年級數學上學期期中試卷（含解析） 蘇科版3

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江蘇省蘇州市常熟市2016-2017學年九年級（上）期中數學試卷 一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分） 1．下列方程為一元二次方程的是（　?。? A．3x﹣2=0 B．x2﹣2x﹣3 C．x2﹣4x﹣1=0 D．xy+1=0 2．樣本方差的計算式S2= [（x1﹣30）2+（x2﹣30）]2+…+（xn﹣30）2]中，數字20和30分別表示樣本中的（　?。? A．眾數、中位數 B．方差、標準差 C．樣本中數據的個數、平均數 D．樣本中數據的個數、中位數 3．當用配方法解一元二次方程x2﹣3=4x時，下列方程變形正確的是（　　） A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣2）2=4 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=7 4．已知x1，x2是關于x的方程x2+ax﹣2b=0的兩實數根，且x1+x2=﹣2，x1?x2=1，則ba的值是（　?。? A． B．﹣ C．4 D．﹣1 5．已知⊙O的直徑為10cm，點P不在⊙O外，則OP的長（　?。? A．小于5cm B．不大于5cm C．小于10cm D．不大于10cm 6．下列命題中，真命題是（　　） A．相等的圓心角所對的弧相等 B．面積相等的兩個圓是等圓 C．三角形的內心到各頂點的距離相等 D．各角相等的圓內接多邊形是正多邊形 7．如圖，AB是⊙O的直徑，直線PA與⊙O相切于點A，PO交⊙O于點C，連接BC．若∠P=40，則∠ABC的度數為（　?。? A．20 B．25 C．40 D．50 8．如圖，在扇形AOB中∠AOB=90，正方形CDEF的頂點C是的中點，點D在OB上，點E在OB的延長線上，當正方形CDEF的邊長為2時，則陰影部分的面積為（　?。? A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4 9．如圖，⊙O的半徑為4，△ABC是⊙O的內接三角形，連接OB、OC．若∠BAC與∠BOC互補，則弦BC的長為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 10．如圖，等邊△ABC的周長為6π，半徑是1的⊙O從與AB相切于點D的位置出發(fā)，在△ABC外部按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，則⊙O自轉了（　?。? A．2周 B．3周 C．4周 D．5周 　 二、填空題（本大題共10小題，每空3分，共30分）： 11．樣本﹣3、0、5、6、9的極差是　　． 12．已知關于x的方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m=0是一元二次方程，則m=　?。? 13．直徑為10cm的⊙O中，弦AB=5cm，則弦AB所對的圓周角是　　． 14．已知圓錐的母線長是4cm，側面展開圖的面積是18π cm2，則此圓錐的底面半徑是　?。? 15．一個直角三角形的兩邊長分別為3，4，則此三角形的外接圓半徑是　?。? 16．某樓盤2014年房價為每平方米8100元，經過兩年連續(xù)漲價后，2016年房價為每平方米12100元．設該樓盤這兩年平均每年房價上漲的百分率為x，根據題意可列方程　?。? 17．某中學隨機地調查了50名學生，了解他們一周在校的體育鍛煉時間，結果如下表所示： 時間（小時） 5 6 7 8 人數 10 15 20 5 則這50名學生這一周在校的平均體育鍛煉時間是　　小時． 18．設m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的兩個實數根，則m2+3m+n=　　． 19．如圖，給定一個半徑長為2的圓，圓心O到水平直線l的距離為d，即OM=d．我們把圓上到直線l的距離等于1的點的個數記為m．如d=0時，l為經過圓心O的一條直線，此時圓上有四個到直線l的距離等于1的點，即m=4，由此可知：當m=2時，d的取值范圍是　?。? 20．如圖，在半徑為2的⊙O中，AB=2，CD=2，AB與CD交于點E，延長AC、DB交于點F，則∠F=　?。? 　 三、解答題（本大題共8小題，共70分） 21．（6分）先化簡，再求值：（1﹣），其中x滿足x2+3x﹣4=0． 22．（10分）解下列方程： （1）x2﹣6x﹣3=0； （2）3（x﹣2）2=x2﹣4． 23．（8分）關于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0 （1）求證：無論k為何值，方程總有實數根． （2）設x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的兩個根，記S=x1x2﹣x1﹣x2，S的值能為1嗎？若能，求出此時k的值；若不能，請說明理由． 24．（8分）在⊙O中，AB為直徑，C為⊙O上一點． （1）如圖①，過點C作⊙O的切線，與AB的延長線相交于點P，若∠CAB=28，求∠P的大小； （2）如圖②，D為上一點，且OD經過AC的中點E，連接DC并延長，與AB的延長線相交于點P，若∠CAB=10，求∠P的大?。? 25．（8分）如圖，把長為40cm，寬30cm的長方形硬紙板，剪掉2個小正方形和2個小長方形（陰影部分即剪掉的部分），將剩余的部分拆成一個有蓋的長方體盒子，設剪掉的小正方形邊長為xcm（紙板的厚度忽略不計） （1）長方體盒子的長、寬、高分別為多少？（單位：cm） （2）若折成的一個長方體盒于表面積是950cm2，求此時長方體盒子的體積． 26．（9分）如圖1，在平面直角坐標系xoy中，M是x軸正半軸上一點，⊙M與x軸的正半軸交于A，B兩點，A在B的左側，且OA，OB的長是方程x2﹣12x+27=0的兩根，ON是⊙M的切線，N為切點，N在第四象限． （1）求⊙M的直徑的長． （2）如圖2，將△ONM沿ON翻轉180至△ONG，求證△OMG是等邊三角形． （3）求直線ON的解析式． 27．（9分）如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦．AB與CD交于點M，將沿CD翻折后，點A與圓心O重合，延長OA至P，使AP=OA，連接PC （1）求CD的長； （2）求證：PC是⊙O的切線； （3）點G為的中點，在PC延長線上有一動點Q，連接QG交AB于點E．交于點F（F與B、C不重合）．問GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由． 28．（12分）平面直角坐標系中，A（0，4），點P從原點O開始向x軸正方向運動，設P點橫坐標為m，以點P為圓心，PO為半徑作⊙P交x 軸另一點為C，過點A作⊙P的切線交 x軸于點B，切點為Q． （1）如圖1，當B點坐標為（3，0）時，求m； （2）如圖2，當△PQB為等腰三角形時，求m； （3）如圖3，連接AP，作PE⊥AP交AB于點E，連接CE，求證：CE是⊙P的切線； （4）若在x軸上存在點M（8，0），在點P整個運動過程中，求MQ的最小值（直接寫出答案）． 　  2016-2017學年江蘇省蘇州市常熟市九年級（上）期中數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分） 1．下列方程為一元二次方程的是（　?。? A．3x﹣2=0 B．x2﹣2x﹣3 C．x2﹣4x﹣1=0 D．xy+1=0 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】根據一元二次方程的定義進行解答． 【解答】解：A、該方程屬于一元一次方程，故本選項錯誤； B、x2﹣2x﹣3不是方程，故本選項錯誤； C、該方程符合一元二次方程的定義，故本選項正確； D、該方程中含有2個未知數，屬于二元二次方程，故本選項錯誤； 故選：C． 【點評】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 　 2．樣本方差的計算式S2= [（x1﹣30）2+（x2﹣30）]2+…+（xn﹣30）2]中，數字20和30分別表示樣本中的（　?。? A．眾數、中位數 B．方差、標準差 C．樣本中數據的個數、平均數 D．樣本中數據的個數、中位數 【考點】方差． 【分析】根據方差的計算公式中各數據所表示的意義回答即可． 【解答】解：由方差的計算公式可知：20表示的是樣本數據的數量，而30表示的是樣本數據的平均數． 故選C． 【點評】考查了方差，在方差公式：S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]中，n表示的是樣本的數量，表示的是樣本的平均數． 　 3．當用配方法解一元二次方程x2﹣3=4x時，下列方程變形正確的是（　　） A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣2）2=4 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=7 【考點】解一元二次方程-配方法． 【分析】原方程變形為x2﹣4x=3，再在兩邊都加上那個22，即可得． 【解答】解：x2﹣4x=3， x2﹣4x+4=3+4，即（x﹣2）2=7， 故選：D． 【點評】本題考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：先把二次系數變?yōu)?，即方程兩邊除以a，然后把常數項移到方程右邊，再把方程兩邊加上一次項系數的一半的平方． 　 4．已知x1，x2是關于x的方程x2+ax﹣2b=0的兩實數根，且x1+x2=﹣2，x1?x2=1，則ba的值是（　?。? A． B．﹣ C．4 D．﹣1 【考點】根與系數的關系． 【分析】根據根與系數的關系和已知x1+x2和x1?x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可． 【解答】解：∵x1，x2是關于x的方程x2+ax﹣2b=0的兩實數根， ∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1?x2=﹣2b=1， 解得a=2，b=﹣， ∴ba=（﹣）2=． 故選：A． 【點評】此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法． 　 5．已知⊙O的直徑為10cm，點P不在⊙O外，則OP的長（　　） A．小于5cm B．不大于5cm C．小于10cm D．不大于10cm 【考點】點與圓的位置關系． 【分析】先求出圓的半徑，再根據點與圓的位置關系即可得出結論． 【解答】解：∵⊙O的直徑為10cm， ∴⊙O的半徑為5cm． ∵點P不在⊙O外， ∴點P在圓上或圓內， ∴OP≤5cm． 故選B． 【點評】本題考查的是點與圓的位置關系，熟知點與圓的三種位置關系是解答此題的關鍵． 　 6．下列命題中，真命題是（　?。? A．相等的圓心角所對的弧相等 B．面積相等的兩個圓是等圓 C．三角形的內心到各頂點的距離相等 D．各角相等的圓內接多邊形是正多邊形 【考點】命題與定理． 【分析】利用圓周角定理，等圓的定義、三角形的內心的性質及正多邊形的定義分別判斷后即可確定正確的選項． 【解答】解：A、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤，是假命題； B、面積相等的兩個圓的半徑相等，是等圓，故正確，是真命題； C、三角形的內心到三角形各邊的距離相等，故錯誤，是假命題； D、各角相等的圓內接多邊形可能是矩形，故錯誤，是假命題， 故選B． 【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解圓周角定理，等圓的定義、三角形的內心的性質及正多邊形的定義，屬于基礎定義，難度不大． 　 7．如圖，AB是⊙O的直徑，直線PA與⊙O相切于點A，PO交⊙O于點C，連接BC．若∠P=40，則∠ABC的度數為（　　） A．20 B．25 C．40 D．50 【考點】切線的性質． 【分析】利用切線的性質和直角三角形的兩個銳角互余的性質得到圓心角∠PAO的度數，然后利用圓周角定理來求∠ABC的度數． 【解答】解：如圖，∵AB是⊙O的直徑，直線PA與⊙O相切于點A， ∴∠PAO=90． 又∵∠P=40， ∴∠POA=50， ∴∠ABC=∠POA=25． 故選：B． 【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理．圓的切線垂直于經過切點的半徑． 　 8．如圖，在扇形AOB中∠AOB=90，正方形CDEF的頂點C是的中點，點D在OB上，點E在OB的延長線上，當正方形CDEF的邊長為2時，則陰影部分的面積為（　?。? A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4 【考點】扇形面積的計算；正方形的性質． 【分析】連結OC，根據勾股定理可求OC的長，根據題意可得出陰影部分的面積=扇形BOC的面積﹣三角形ODC的面積，依此列式計算即可求解． 【解答】解：∵在扇形AOB中∠AOB=90，正方形CDEF的頂點C是的中點， ∴∠COD=45， ∴OC==4， ∴陰影部分的面積=扇形BOC的面積﹣三角形ODC的面積 =π42﹣（2）2 =2π﹣4． 故選：A． 【點評】考查了正方形的性質和扇形面積的計算，解題的關鍵是得到扇形半徑的長度． 　 9．如圖，⊙O的半徑為4，△ABC是⊙O的內接三角形，連接OB、OC．若∠BAC與∠BOC互補，則弦BC的長為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 【考點】垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形． 【分析】首先過點O作OD⊥BC于D，由垂徑定理可得BC=2BD，又由圓周角定理，可求得∠BOC的度數，然后根據等腰三角形的性質，求得∠OBC的度數，利用余弦函數，即可求得答案． 【解答】解：過點O作OD⊥BC于D， 則BC=2BD， ∵△ABC內接于⊙O，∠BAC與∠BOC互補， ∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180， ∴∠BOC=120， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=（180﹣∠BOC）=30， ∵⊙O的半徑為4， ∴BD=OB?cos∠OBC=4=2， ∴BC=4． 故選：B． 【點評】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質以及三角函數等知識．注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用． 　 10．如圖，等邊△ABC的周長為6π，半徑是1的⊙O從與AB相切于點D的位置出發(fā)，在△ABC外部按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，則⊙O自轉了（　　） A．2周 B．3周 C．4周 D．5周 【考點】直線與圓的位置關系；等邊三角形的性質． 【分析】該圓運動可分為兩部分：在三角形的三邊運動以及繞過三角形的三個角，分別計算即可得到圓的自傳周數． 【解答】解：圓在三邊運動自轉周數： =3， 圓繞過三角形外角時，共自轉了三角形外角和的度數：360，即一周； 可見，⊙O自轉了3+1=4周． 故選：C． 【點評】本題考查了圓的旋轉與三角形的關系，要充分利用等邊三角形的性質及圓的周長公式解答． 　 二、填空題（本大題共10小題，每空3分，共30分）： 11．樣本﹣3、0、5、6、9的極差是　12?。? 【考點】極差． 【分析】根據極差的公式：極差=最大值﹣最小值．找出所求數據中最大的值9，最小值﹣3，再代入公式求值． 【解答】解：由題意可知，數據中最大的值為9，最小值為﹣3，所以極差為9﹣（﹣3）=12． 故答案為：12． 【點評】本題考查了極差的定義，極差反映了一組數據變化范圍的大小，求極差的方法是用一組數據中的最大值減去最小值． 　 12．已知關于x的方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m=0是一元二次方程，則m=　﹣1?。? 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】根據一元二次方程的定義列出關于m的方程組，求出m的值即可． 【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m=0是關于x的一元二次方程， ∴，解得m=﹣1． 故答案為：﹣1． 【點評】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程是解答此題的關鍵． 　 13．直徑為10cm的⊙O中，弦AB=5cm，則弦AB所對的圓周角是　30或150　． 【考點】圓周角定理；含30度角的直角三角形；垂徑定理． 【分析】連接OA、OB，根據等邊三角形的性質，求出∠AOB的度數，再根據圓周定理求出∠C的度數，再根據圓內接四邊形的性質求出∠D的度數． 【解答】解：連接OA、OB， ∵AB=OB=OA， ∴∠AOB=60， ∴∠C=30， ∴∠D=180﹣30=150． 故答案為：30或150． 【點評】本題考查了圓周角定理和圓內接四邊形的性質，作出輔助線是解題的關鍵． 　 14．已知圓錐的母線長是4cm，側面展開圖的面積是18π cm2，則此圓錐的底面半徑是　?。? 【考點】圓錐的計算． 【分析】圓錐的側面積=底面周長母線長2． 【解答】解：設底面半徑為R，則底面周長=2πR，圓錐的側面展開圖的面積=2πR4=18π， ∴R=， 故答案為：． 【點評】本題考查了圓錐的計算，利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解． 　 15．一個直角三角形的兩邊長分別為3，4，則此三角形的外接圓半徑是　2或?。? 【考點】三角形的外接圓與外心． 【分析】直角三角形的外接圓圓心是斜邊的中點，那么半徑為斜邊的一半，分兩種情況：①4為斜邊長；②3和4為兩條直角邊長，由勾股定理易求得此直角三角形的斜邊長，進而可求得外接圓的半徑． 【解答】解：由勾股定理可知： ①當直角三角形的斜邊長為4，這個三角形的外接圓半徑為2； ②當兩條直角邊長分別為16和12，則直角三角形的斜邊長==5， 因此這個三角形的外接圓半徑為． 故答案為：2或． 【點評】本題考查的是直角三角形的外接圓半徑，重點在于理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點為圓心，斜邊長的一半為半徑的圓． 　 16．某樓盤2014年房價為每平方米8100元，經過兩年連續(xù)漲價后，2016年房價為每平方米12100元．設該樓盤這兩年平均每年房價上漲的百分率為x，根據題意可列方程　8100（1+x）2=12100?。? 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】首先根據題意可得2016年的房價=2015年的房價（1+增長率），2015年的房價=2014年的房價（1+增長率），由此可得方程． 【解答】解：設這兩年平均房價年平均增長率為x，根據題意得： 8100（1+x）2=12100， 故答案為：8100（1+x）2=12100． 【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關鍵是掌握增長率問題的計算公式：變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a（1x）2=b． 　 17．某中學隨機地調查了50名學生，了解他們一周在校的體育鍛煉時間，結果如下表所示： 時間（小時） 5 6 7 8 人數 10 15 20 5 則這50名學生這一周在校的平均體育鍛煉時間是　6.4　小時． 【考點】加權平均數． 【分析】根據平均數的計算方法是求出所有數據的和，然后除以數據的總個數進行計算． 【解答】解： =6.4． 故答案為：6.4． 【點評】此題考查了加權平均數，用到的知識點是加權平均數的計算公式，根據加權平均數的計算公式列出算式是解題的關鍵． 　 18．設m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的兩個實數根，則m2+3m+n=　2016?。? 【考點】根與系數的關系． 【分析】先利用一元二次方程根的定義得到m2=﹣2m+2018，則m2+3m+n可化簡為2018+m+n，再根據根與系數的關系得到m+n=﹣2，然后利用整體代入的方法計算． 【解答】解：∵m為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的實數根， ∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018， ∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n， ∵m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的兩個實數根， ∴m+n=﹣2， ∴m2+3m+n=2018﹣2=2016． 【點評】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程根的定義． 　 19．如圖，給定一個半徑長為2的圓，圓心O到水平直線l的距離為d，即OM=d．我們把圓上到直線l的距離等于1的點的個數記為m．如d=0時，l為經過圓心O的一條直線，此時圓上有四個到直線l的距離等于1的點，即m=4，由此可知：當m=2時，d的取值范圍是　1＜d＜3　． 【考點】點到直線的距離． 【分析】根據直線與圓的位置關系和直線與圓的交點個數以及命題中的數據分析即可得到答案． 【解答】解：當d=3時，m=1； 當d=1時，m=3； ∴當1＜d＜3時，m=2， 故答案為：1＜d＜3． 【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，解題的關鍵是了解直線與圓的位置關系與d與r的數量關系． 　 20．如圖，在半徑為2的⊙O中，AB=2，CD=2，AB與CD交于點E，延長AC、DB交于點F，則∠F=　75?。? 【考點】圓周角定理． 【分析】作輔助線，根據直徑所對的圓周角是90，得到直角△ABH和直角△CDG，利用勾股定理計算DG和BH的長，得到∠CGD=45，∠HAB=30，再利用四點共圓的性質得∠DCF=∠DGA，再根據同弧所對的圓周角相等和三角形的內角和求出∠F的度數． 【解答】解：作直徑CG、AH，交⊙O于G、H，連接AG、DG、BH， ∴∠CDG=∠ABH=90， ∵AB=2，CD=2，CG=AH=4， 由勾股定理得：DG===2， BH===2， ∴DG=CD，BH=AH， ∴∠CGD=45，∠HAB=30， ∴∠AHB=60， ∵A、C、D、G四點共圓， ∴∠DCF=∠DGA=∠AGC+∠CGD=∠AGC+45， ∵∠AHB=∠AGC+∠CDF，∠CDF=∠FAB， ∴∠AHB=∠AGC+∠FAB=60， 在△DCF中，∠F=180﹣∠DCF﹣∠CDF， =180﹣∠AGC﹣45﹣∠FAB， =180﹣45﹣60， =75， 故答案為：75． 【點評】本題考查了圓周角定理和四點共圓的性質，熟知在同圓或等圓中：①直徑所對的圓周角是90，②同弧所對的圓周角相等，圓內接四邊形的對角互補；本題還運用勾股定理求邊長，利用邊的特殊關系得到等腰直角三角形和30的直角三角形，從而得出結論． 　 三、解答題（本大題共8小題，共70分） 21．先化簡，再求值：（1﹣），其中x滿足x2+3x﹣4=0． 【考點】分式的化簡求值． 【分析】先算括號里面的，再算除法，最后求出x的值代入進行計算即可． 【解答】解：原式=， 解x2+3x﹣4=0得x1=﹣4，x2=1． 因為x≠1， 所以當x=﹣4時，原式=． 【點評】本題考查的是分式的化簡求值，分式中的一些特殊求值題并非是一味的化簡，代入，求值．許多問題還需運用到常見的數學思想，如化歸思想（即轉化）、整體思想等，了解這些數學解題思想對于解題技巧的豐富與提高有一定幫助． 　 22．（10分）（2016秋?常熟市期中）解下列方程： （1）x2﹣6x﹣3=0； （2）3（x﹣2）2=x2﹣4． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）利用配方法解方程； （2）先變形得3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）x2﹣6x+9=12， （x﹣3）2=12， x﹣3=2， 所以x1=3+2，x2=3﹣2； （2）3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=0， （x﹣2）（3x﹣6﹣x﹣2）=0， 所以x1=2，x2=4． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．也考查了配方法解一元二次方程． 　 23．關于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0 （1）求證：無論k為何值，方程總有實數根． （2）設x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的兩個根，記S=x1x2﹣x1﹣x2，S的值能為1嗎？若能，求出此時k的值；若不能，請說明理由． 【考點】根與系數的關系；根的判別式． 【分析】（1）分二次項系數為0和非0兩種情況考慮，當k﹣1=0時，原方程為一元一次方程，解方程可得出此時方程有實數根；當k﹣1≠0時，根據根的判別式△=b2﹣4ac，可得出△=4（k﹣1）2+4＞0，進而可得出方程有兩個不相等的實數根，綜上即可得出結論． （2）假設能，根據根與系數的關系可得出、，將S進行變形代入數據即可得出分式方程，解分式方程得出k值，經檢驗后即可得出結論． 【解答】（1）證明：①當k﹣1=0即k=1時，方程為一元一次方程2x=2， x=1有一個解； ②當k﹣1≠0即k≠1時，方程為一元二次方程， ∵△=（2k）2﹣42（k﹣1）=4k2﹣8k+8=4（k﹣1）2+4＞0， ∴方程有兩個不相等的實數根． 綜合①②得：不論k為何值，方程總有實根． （2）解：假設能，∵x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的兩個根， ∴，， ∴S=x1x2﹣x1﹣x2=x1x2﹣（x1+x2）=1，即， 整理得：2+2k=k﹣1，解得：k=﹣3． 經檢驗：k=﹣3是分式方程的解． ∴S的值能為1，此時k的值為﹣3． 【點評】本題考查了根與系數的關系、根的判別式以及解分式方程，熟練掌握根與系數的關系以及根的判別式是解題的關鍵． 　 24．在⊙O中，AB為直徑，C為⊙O上一點． （1）如圖①，過點C作⊙O的切線，與AB的延長線相交于點P，若∠CAB=28，求∠P的大??； （2）如圖②，D為上一點，且OD經過AC的中點E，連接DC并延長，與AB的延長線相交于點P，若∠CAB=10，求∠P的大?。? 【考點】切線的性質． 【分析】（1）首先連接OC，由OA=OC，即可求得∠A的度數，然后由圓周角定理，求得∠POC的度數，繼而求得答案； （2）由AE=CE，OD為半徑，可得OD⊥AC，繼而求得答案． 【解答】解：（1）連接OC， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA=28， ∴∠POC=56， ∵CP是⊙O的切線， ∴∠OCP=90， ∴∠P=34； （2）∵AE=CE，OD為半徑， ∴OD⊥AC， ∵∠CAB=10， ∴∠AOE=80， ∴∠DCA=40， ∵∠P=∠DCA﹣∠CAB， ∴∠P=30． 【點評】此題考查了切線的性質以及等腰三角形的性質．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵． 　 25．如圖，把長為40cm，寬30cm的長方形硬紙板，剪掉2個小正方形和2個小長方形（陰影部分即剪掉的部分），將剩余的部分拆成一個有蓋的長方體盒子，設剪掉的小正方形邊長為xcm（紙板的厚度忽略不計） （1）長方體盒子的長、寬、高分別為多少？（單位：cm） （2）若折成的一個長方體盒于表面積是950cm2，求此時長方體盒子的體積． 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】（1）根據所給出的圖形可直接得出長方體盒子的長、寬、高； （2）根據圖示，可得2（x2+20x）=3040﹣950，求出x的值，再根據長方體的體積公式列出算式，即可求出答案． 【解答】解：（1）長方體盒子的長是：（30﹣2x）cm； 長方體盒子的寬是（40﹣2x）2=20﹣x（cm） 長方體盒子的高是xcm； （2）根據圖示，可得2（x2+20x）=3040﹣950， 解得x1=5，x2=﹣25（不合題意，舍去）， 長方體盒子的體積V=（30﹣25）5（20﹣5）=20515=1500（cm3）． 答：此時長方體盒子的體積為1500cm3． 【點評】此題考查了一元二次方程的應用，用到的知識點是長方體的表面積和體積公式，關鍵是根據圖形找出等量關系列出方程，要注意把不合題意的解舍去． 　 26．如圖1，在平面直角坐標系xoy中，M是x軸正半軸上一點，⊙M與x軸的正半軸交于A，B兩點，A在B的左側，且OA，OB的長是方程x2﹣12x+27=0的兩根，ON是⊙M的切線，N為切點，N在第四象限． （1）求⊙M的直徑的長． （2）如圖2，將△ONM沿ON翻轉180至△ONG，求證△OMG是等邊三角形． （3）求直線ON的解析式． 【考點】圓的綜合題． 【分析】（1）首先解一元二次方程的得出OA，OB的長，進而得出OM的長； （2）利用翻折變換的性質得出MN=GN=3，OG=OM=6，進而得出答案； （3）首先求出CM的長，進而得出CN的長，即可得出OC的長，求出N點坐標，即可得出ON的解析式． 【解答】解：（1）解方程x2﹣12x+27=0， （x﹣9）（x﹣3）=0， 解得：x1=9，x2=3， ∵A在B的左側， ∴OA=3，OB=9， ∴AB=OB﹣OA=6， ∴OM的直徑為6； （2）由已知得：MN=GN=3，OG=OM=6， ∴OM=OG=MN=6， ∴△OMG是等邊三角形． （3）如圖2，過N作NC⊥OM，垂足為C， 連結MN，則MN⊥ON， ∵△OMG是等邊三角形． ∴∠CMN=60，∠CNM=30， ∴CM=MN=3=， 在Rt△CMN中， CN===， ∴， ∴N的坐標為， 設直線ON的解析式為y=kx， ∴， ∴， ∴直線ON的解析式為． 【點評】此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式以及勾股定理和等邊三角形的性質等知識，根據已知得出N點坐標是解題關鍵． 　 27．如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦．AB與CD交于點M，將沿CD翻折后，點A與圓心O重合，延長OA至P，使AP=OA，連接PC （1）求CD的長； （2）求證：PC是⊙O的切線； （3）點G為的中點，在PC延長線上有一動點Q，連接QG交AB于點E．交于點F（F與B、C不重合）．問GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由． 【考點】圓的綜合題． 【分析】（1）連接OC，根據翻折的性質求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可； （2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90，再根據圓的切線的定義證明即可； （3）連接GA、AF、GB，根據等弧所對的圓周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根據兩組角對應相等兩三角相似求出△AGE和△FGA相似，根據相似三角形對應邊成比例可得=，從而得到GE?GF=AG2，再根據等腰直角三角形的性質求解即可． 【解答】（1）解：如圖，連接OC， ∵沿CD翻折后，點A與圓心O重合， ∴OM=OA=2=1，CD⊥OA， ∵OC=2， ∴CD=2CM=2=2=2； （2）證明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM=CD=，∠CMP=∠OMC=90， ∴PC===2， ∵OC=2，PO=2+2=4， ∴PC2+OC2=（2）2+22=16=PO2， ∴∠PCO=90， ∴PC是⊙O的切線； （3）解：GE?GF是定值，證明如下： 如圖，連接GA、AF、GB， ∵點G為的中點， ∴=， ∴∠BAG=∠AFG， 又∵∠AGE=∠FGA， ∴△AGE∽△FGA， ∴=， ∴GE?GF=AG2， ∵AB為直徑，AB=4， ∴∠BAG=∠ABG=45， ∴AG=2， ∴GE?GF=8． 【點評】本題是圓的綜合題型，主要利用了翻折變換的性質，垂徑定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圓的切線的定義，相似三角形的判定與性質，難點在于（3）作輔助線構造出相似三角形． 　 28．（12分）（2016秋?常熟市期中）平面直角坐標系中，A（0，4），點P從原點O開始向x軸正方向運動，設P點橫坐標為m，以點P為圓心，PO為半徑作⊙P交x 軸另一點為C，過點A作⊙P的切線交 x軸于點B，切點為Q． （1）如圖1，當B點坐標為（3，0）時，求m； （2）如圖2，當△PQB為等腰三角形時，求m； （3）如圖3，連接AP，作PE⊥AP交AB于點E，連接CE，求證：CE是⊙P的切線； （4）若在x軸上存在點M（8，0），在點P整個運動過程中，求MQ的最小值（直接寫出答案）． 【考點】圓的綜合題． 【分析】（1）如圖1中，由△PQB∽△AOB， =，由此即可解決問題． （2）如圖2中，設OP=PQ=BQ=x，則PB=x，列出方程即可解決問題． （3）如圖3中，連接PQ．只要證明△EPC≌△EPQ，推出∠ECP=∠PQE，由此即可證明． （4）以A為圓心OA為半徑畫圓交AM于點Q，此時MQ最小（兩點之間線段最短），設QM=x，在Rt△AOM中，根據OA2+OM2=AM2，列出方程即可解決問題． 【解答】解：（1）如圖1中，連接PQ． ∵OP⊥OA， ∴AO是⊙P切線，∵AQ是⊙P切線， ∴AO=AQ=4， ∵OA=4，0B=3， ∴AB==5， ∴BQ=AB﹣AQ=1， ∵∠PBQ=∠OBA，∠PQB=∠AOB=90， ∴△PQB∽△AOB， ∴=， ∴=， ∴PB=， ∴m=OP=OB﹣PB=3﹣=． （2）如圖2中，連接PQ． ∵△PQB是等腰直角三角形， ∴OP=PQ=BQ，設OP=PQ=BQ=x，則PB=x， 則有x+x=4， ∴x=4﹣4． ∴m=4﹣4． （3）如圖3中，連接PQ． ∵∠APE=90，AQ是切線， ∴∠AQQP=90， ∴∠EPQ+∠APQ=90，∠PAQ+∠APQ=90， ∴∠EPQ=∠PAQ， ∵∠EPC+∠APO=90，∠APO+∠PAO=90， ∴∠EPC=∠PAO， ∵AO、AQ是切線， ∴∠PAO=∠PAQ， ∴∠EPC=∠EPQ， 在△EPC和△EPQ中， ， ∴△EPC≌△EPQ， ∴∠ECP=∠PQE=90， ∴EC是⊙P的切線． （4）如圖4中， 以A為圓心OA為半徑畫圓交AM于點Q，此時MQ最?。▋牲c之間線段最短），設QM=x， 在Rt△AOM中，∵OA2+OM2=AM2， ∴42+82=（4+x）2， 解得x=4﹣4或﹣4﹣4（舍棄）， ∴MQ的最小值為4﹣4． 【點評】本題考查圓的綜合題、切線長定理、全等三角形的判定和性質全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，學會利用兩點之間線段最短解決問題最小值問題，屬于中考壓軸題．