初一上冊數(shù)學知識要點.docx

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（2）有理數(shù)大小比較的法則： ??? ①正數(shù)都大于0；? ??? ②負數(shù)都小于0；? ??? ③正數(shù)大于一切負數(shù)；? ??? ④兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而小． 【規(guī)律方法】有理數(shù)大小比較的三種方法 1．法則比較：正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)．兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小． 2．數(shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù)． 3．作差比較： 若a-b＞0，則a＞b； 若a-b＜0，則a＜b； 若a-b=0，則a=b 1）有理數(shù)加法法則： ①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加． ②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0． ③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)． （在進行有理數(shù)加法運算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法則．在應用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”．） （2）相關(guān)運算律 交換律：a+b=b+a；? 結(jié)合律（a+b）+c=a+（b+c）． 1）有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)． 即：a-b=a+（-b）? （2）方法指引： ①在進行減法運算時，首先弄清減數(shù)的符號； ②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號（減號變加號）； 二是減數(shù)的性質(zhì)符號（減數(shù)變相反數(shù)）； 【注意】：在有理數(shù)減法運算時，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因為減法沒有交換律． ???????? 減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應依法則進行計算． 1）有理數(shù)加減混合運算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法．? （2）方法指引： ①在一個式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省略括號的和的形式．? ②轉(zhuǎn)化成省略括號的代數(shù)和的形式，就可以應用加法的運算律，使計算簡化． 1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)． 一般地，a?1a=1 （a≠0），就說a（a≠0）的倒數(shù)是1a． （2）方法指引： ①倒數(shù)是除法運算與乘法運算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運算而產(chǎn)生的． ②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，而0 沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同． 【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法? 求一個數(shù)的相反數(shù) 求一個數(shù)的相反數(shù)時，只需在這個數(shù)前面加上“-”即可 求一個數(shù)的倒數(shù) 求一個整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個整數(shù)分之一 求一個分數(shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置 注意：0沒有倒數(shù)． 1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘． （2）任何數(shù)同零相乘，都得0．??? （3）多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0． （4）方法指引： ①運用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘． ②多個因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號當先，這樣做使運算既準確又簡單． 1）有理數(shù)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，即：a÷b=a?1b? （b≠0） （2）方法指引： （1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0． （2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號得正，異號得負，并把絕對值相除”．如果有了分數(shù)，則采用“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右． 1）有理數(shù)乘方的定義：求n個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方． 乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時，也可以讀作a的n次冪．） （2）乘方的法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0． （3）方法指引： ①有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值； ②由于乘方運算比乘除運算又高一級，所以有加減乘除和乘方運算，應先算乘方，再做乘除，最后做加減． 偶次方具有非負性． 任意一個數(shù)的偶次方都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0． 1）有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字． （2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法． （3）規(guī)律方法總結(jié)： “精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)中哪個相對更精確一些． 1）科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法．【科學記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】 （2）規(guī)律方法總結(jié)： ①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n． ②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負號． 用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定． 【規(guī)律方法】用科學記數(shù)法表示有理數(shù)x的規(guī)律 x的取值范圍 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a|＜10 整數(shù)的位數(shù)-1 |x|＜1 a×10-n 第一位非零數(shù)字前所有0的個數(shù)（含小數(shù)點前的0） 1）科學記數(shù)法a×10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a的小數(shù)點向右移動n位所得到的數(shù)．若科學記數(shù)法表示較小的數(shù)a×10-n，還原為原來的數(shù)，需要把a的小數(shù)點向左移動n位得到原數(shù)． （2）把一個數(shù)表示成科學記數(shù)法的形式及把科學記數(shù)法還原是兩個互逆的過程，這也可以作為檢查用科學記數(shù)法表示一個數(shù)是否正確的方法． 1）用科學記數(shù)法a×10n（1≤a＜10，n是正整數(shù)）表示的數(shù)的有效數(shù)字應該有首數(shù)a來確定，首數(shù)a中的數(shù)字就是有效數(shù)字； （2）用科學記數(shù)法a×10n（1≤a＜10，n是正整數(shù)）表示的數(shù)的精確度的表示方法是：先把數(shù)還原，再看首數(shù)的最后一位數(shù)字所在的位數(shù)，即為精確到的位數(shù)． 例如：近似數(shù)4.10×105的有效數(shù)字是4，1，0；把數(shù)還原為410000后，再看首數(shù)4.10的最后一位數(shù)字0所在的位數(shù)是千位，即精確到千位． 1）有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算． （2）進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化． 【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運算的四種運算技巧 1．轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)進行約分計算． 2．湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的兩個數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組求解． 3．分拆法：先將帶分數(shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分數(shù)的和的形式，然后進行計算 4．巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便 1）計算器的面板是由鍵盤和顯示器組成． （2）開機鍵和關(guān)機鍵各是AC/ON，OFF，在使用計算器時要按AC/ON鍵，停止使用時要按OFF鍵． （3）顯示器是用來顯示計算時輸入的數(shù)據(jù)和計算結(jié)果的裝置．鍵上的功能是第一功能，直接輸入，下面對應的是第二功能，需要切換成才能使用． （4）開方運算按用到乘方運算鍵x2的第二功能鍵”和的第二功能鍵“”． （5）對于開平方運算的按鍵順序是：2ndfx2被開方數(shù)ENTE． （6）對于開立方運算的按鍵順序是：32ndf∧被開方數(shù)ENTE． 7）部分標準型具備數(shù)字存儲功能，它包括四個按鍵：MRC、M-、M+、MU．鍵入數(shù)字后，按M+將數(shù)字讀入內(nèi)存，此后無論進行多少步運算，只要按一次MRC即可讀取先前存儲的數(shù)字，按下M-則把該數(shù)字從內(nèi)存中刪除，或者按二次MRC． 注意：由于計算器的類型不一樣操作方式也不盡相同，可以參考說明書進行操作． 計算器包括標準型和科學型兩種，其中科學型使用方法如下： 1）鍵入數(shù)字時，按下相應的數(shù)字鍵，如果按錯可用（DEL）鍵消去一次數(shù)值，再重新輸入正確的數(shù)字 （2）直接輸入數(shù)字后，按下對應的功能鍵，進行第一功能相應的計算． （3）按下（-）鍵可輸入負數(shù)，即先輸入（-）號再輸入數(shù)值． 　　　 （4）開方運算按用到乘方運算鍵x2的第二功能鍵”和的第二功能鍵“”． （5）對于開平方運算的按鍵順序是：2ndfx2被開方數(shù)ENTE或直接按鍵，再輸入數(shù)字后按“=”即可． （6）對于開立方運算的按鍵順序是：32ndf∧被開方數(shù)ENTE或直接按x3，再輸入數(shù)字后按“=”即可 代數(shù)式：代數(shù)式是由運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子．單獨的一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式．帶有“＜（≤）”“＞（≥）”“=”“≠”等符號的不是代數(shù)式 例如：ax+2b，-13，2b23，a+2等． 注意：①不包括等于號（=）、不等號（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、約等號≈． ②可以有絕對值．例如：|x|，|-2.25|等 1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式． （2）列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義．?列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．? ②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．?③注意運算順序．列代數(shù)式時，一般應在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當運用. ⑤正確進行代換．列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換． 【規(guī)律方法】列代數(shù)式應該注意的四個問題 1．在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量． 2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫． 3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分數(shù)要把它化成假分數(shù)． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分數(shù)的形式 探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律． （1）探尋數(shù)列規(guī)律：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法． （2）利用方程解決問題．當問題中有多個未知數(shù)時，可先設出其中一個為x，再利用它們之間的關(guān)系，設出其他未知數(shù)，然后列方程 圖形的變化類的規(guī)律題 首先應找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題． 1）代數(shù)式的：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值． （2）代數(shù)式的求值：求代數(shù)式的值可以直接代入、計算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值． 題型簡單總結(jié)以下三種： ?①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡； ? ②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡； ? ③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡． 整式 1）概念：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式． 他們都有次數(shù)，但是多項式?jīng)]有系數(shù)，多項式的每一項是一個單項式，含有字母的項都有系數(shù)． （2）規(guī)律方法總結(jié)： ①對整式概念的認識，凡分母中含有字母的代數(shù)式都不屬于整式，在整式范圍內(nèi)用“+”或“-”將單項式連起來的就是多項式，不含“+”或“-”的整式絕對不是多項式，而單項式注重一個“積”字． ②對于“數(shù)”或“形”的排列規(guī)律問題，用先從開始的幾個簡單特例入手，對比、分析其中保持不變的部分及發(fā)展變化的部分，以及變化的規(guī)律，尤其變化時與序數(shù)幾的關(guān)系，歸納出一般性的結(jié)論． 單項式 1）單項式的定義：數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項式，單獨的一個數(shù)或字母也是單項式． 用字母表示的數(shù)，同一個字母在不同的式子中可以有不同的含義，相同的字母在同一個式子中表示相同的含義． （2）單項式的系數(shù)、次數(shù) 單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，一個單項式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù)． 在判別單項式的系數(shù)時，要注意包括數(shù)字前面的符號，而形如a或-a這樣的式子的系數(shù)是1或-1，不能誤以為沒有系數(shù)，一個單項式的次數(shù)是幾，通常稱這個單項式為幾次單項式 多項式 1）幾個單項式的和叫做多項式，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數(shù)項．多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)． （2）多項式的組成元素的單項式，即多項式的每一項都是一個單項式，單項式的個數(shù)就是多項式的項數(shù)，如果一個多項式含有a個單項式，次數(shù)是b，那么這個多項式就叫b次a項式． 1）定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項叫做同類項． 同類項中所含字母可以看成是數(shù)字、單項式、多項式等． （2）注意事項： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指數(shù)也相同，兩者缺一不可； ②同類項與系數(shù)的大小無關(guān)； ③同類項與它們所含的字母順序無關(guān)； ④所有常數(shù)項都是同類項． 1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項． （2）合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變． （3）合并同類項時要注意以下三點： ①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同系數(shù)的代數(shù)項；字母和字母指數(shù)； ②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)會減少，達到化簡多項式的目的； ③“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字母和字母的指數(shù)不變 1）去括號法則：如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反． （2）去括號規(guī)律：①a+（b+c）=a+b+c，括號前是“+”號，去括號時連同它前面的“+”號一起去掉，括號內(nèi)各項不變號；②a-（b-c）=a-b+c，括號前是“-”號，去括號時連同它前面的“-”號一起去掉，括號內(nèi)各項都要變號． 說明：①去括號法則是根據(jù)乘法分配律推出的；②去括號時改變了式子的形式，但并沒有改變式子的值． （3）添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變號，如果括號前面是負號，括號括號里的各項都改變符號． 添括號與去括號可互相檢驗． 1）幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接；然后去括號、合并同類項． （2）整式的加減實質(zhì)上就是合并同類項． （3）整式加減的應用： ①認真審題，弄清已知和未知的關(guān)系； ②根據(jù)題意列出算式； ③計算結(jié)果，根據(jù)結(jié)果解答實際問題． 【規(guī)律方法】整式的加減步驟及注意問題 1．整式的加減的實質(zhì)就是去括號、合并同類項．一般步驟是：先去括號，然后合并同類項． 2．去括號時，要注意兩個方面：一是括號外的數(shù)字因數(shù)要乘括號內(nèi)的每一項；二是當括號外是“-”時，去括號后括號內(nèi)的各項都要改變符號． 給出整式中字母的值，求整式的值的問題，一般要先化簡，再把給定字母的值代入計算，得出整式的值，不能把數(shù)值直接代入整式中計算． 1）方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫方程． 方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點①等式；②含有未知數(shù)． （2）列方程的步驟： ①設出字母所表示的未知數(shù)； ②找出問題中的相等關(guān)系； ③列出含有未知數(shù)的等式----方程． 審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程． （1）“總量=各部分量的和”是列方程解應用題中一個基本的關(guān)系式，在這一類問題中，表示出各部分的量和總量，然后利用它們之間的等量關(guān)系列方程． （2）“表示同一個量的不同式子相等”是列方程解應用題中的一個基本相等關(guān)系，也是列方程的一種基本方法．通過對同一個量從不同的角度用不同的式子表示，進而列出方程． 1）等式的性質(zhì) 性質(zhì)1、等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式； 性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式． （2）利用等式的性質(zhì)解方程 利用等式的性質(zhì)對方程進行變形，使方程的形式向x=a的形式轉(zhuǎn)化． 應用時要注意把握兩關(guān)： ①怎樣變形； ②依據(jù)哪一條，變形時只有做到步步有據(jù)，才能保證是正確的． 1）方程的解：解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是兩個不同的概念，方程的解是指使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，具有名詞性．而解方程是求方程解的過程，具有動詞性． （2）規(guī)律方法總結(jié)： 無論是給出方程的解求其中字母系數(shù)，還有判斷某數(shù)是否為方程的解，這兩個方向的問題，一般都采用代入計算是方法 1）解一元一次方程的一般步驟： 去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化． （2）解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號，且括號外的項在乘括號內(nèi)各項后能消去分母，就先去括號． （3）在解類似于“ax+bx=c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（a+b）x=c．使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax=b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想．將ax=b系數(shù)化為1時，要準確計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分數(shù)時；二要準確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負． 解含絕對值符號的一元一次方程要根據(jù)絕對值的性質(zhì)和絕對值符號內(nèi)代數(shù)式的值分情況討論，即去掉絕對值符號得到一般形式的一元一次方程，再求解． 例如：解方程|x|=2 ? 解：去掉絕對值符號? x=2或-x=2 方程的解為x1=2或x2=-2． 定義：如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程叫做同解方程． （或者說，如果第一個方程的解都是第二個方程的解，并且第二個方程的解也都是第一個方程的解，那么這兩個方程叫做同解方程．） （一）、一元一次方程解應用題的類型有：（1）探索規(guī)律型問題；（2）數(shù)字問題；（3）銷售問題（利潤=售價-進價，利潤率=利潤進價×100%）；（4）工程問題（①工作量=人均效率×人數(shù)×時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和=工作總量）；（5）行程問題（路程=速度×時間）；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題； （10）水流航行問題（順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）． （二）、利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設、列、解、答 列一元一次方程解應用題的五個步驟 1．審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系． 2．設：設未知數(shù)（x），根據(jù)實際情況，可設直接未知數(shù)（問什么設什么），也可設間接未知數(shù)． 3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程． 4．解：解方程，求得未知數(shù)的值． 5．答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句 1）幾何圖形：從實物中抽象出的各種圖形叫幾何圖形．幾何圖形分為立體圖形和平面圖形． （2）立體圖形：有些幾何圖形（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等）的各部分不都在同一個平面內(nèi)，這就是立體圖形． （3）重點和難點突破： 結(jié)合實物，認識常見的立體圖形，如：長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等．能區(qū)分立體圖形與平面圖形，立體圖形占有一定空間，各部分不都在同一平面內(nèi)． 1）體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點． （2）從運動的觀點來看 點動成線，線動成面，面動成體．點、線、面、體組成幾何圖形，點、線、面、體的運動組成了多姿多彩的圖形世界． （3）從幾何的觀點來看 點是組成圖形的基本元素，線、面、體都是點的集合． （4）長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體，幾何體簡稱體． （5）面有平面和曲面之分，如長方體由6個平面組成，球由一個曲面組成． 1）平面圖形： 一個圖形的各部分都在同一個平面內(nèi)，如：線段、角、三角形、正方形、圓等． （2）重點難點突破： 通過以前學過的平面圖形：三角形、長方形、正方形、梯形、圓，了解它們的共性是在同一平面內(nèi)． 1）直線、射線、線段的表示方法 ①直線：用一個小寫字母表示，如：直線l，或用兩個大寫字母（直線上的）表示，如直線AB． ②射線：是直線的一部分，用一個小寫字母表示，如：射線l；用兩個大寫字母表示，端點在前，如：射線OA．注意：用兩個字母表示時，端點的字母放在前邊． ③線段：線段是直線的一部分，用一個小寫字母表示，如線段a；用兩個表示端點的字母表示，如：線段AB（或線段BA）． （2）點與直線的位置關(guān)系：①點經(jīng)過直線，說明點在直線上；②點不經(jīng)過直線，說明點在直線外． 1）直線公理：經(jīng)過兩點有且只有一條直線． ????????? 簡稱：兩點確定一條直線． （2）經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條，過兩點就唯一確定，過三點就不一定了． 線段公理 兩點的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短． 簡單說成：兩點之間，線段最短． 1）兩點間的距離 連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離． （2）平面上任意兩點間都有一定距離，它指的是連接這兩點的線段的長度，學習此概念時，注意強調(diào)最后的兩個字“長度”，也就是說，它是一個量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖形．線段的長度才是兩點的距離．可以說畫線段，但不能說畫距離． 1）比較兩條線段長短的方法有兩種：度量比較法、重合比較法． 就結(jié)果而言有三種結(jié)果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD． （2）線段的中點：把一條線段分成兩條相等的線段的點． （3）線段的和、差、倍、分及計算 做一條線段等于已知線段，可以通過度量的方法，先量出已知線段的長度，再利用刻度尺畫條等于這個長度的線段，也可以利用圓規(guī)在射線上截取一條線段等于已知線段． 如圖，AC=BC，C為AB中點，AC=12AB，AB=2AC，D 為CB中點，則CD=DB=12CB=14AB，AB=4CD，這就是線段的和、差、倍、分． 1）角的定義：有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊． （2）角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．角還可以用一個希臘字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯數(shù)字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當始邊與終邊成一條直線時形成平角，當始 邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． 1）鐘面一周平均分60格，相鄰兩格刻度之間的時間間隔是1分鐘，時針1分鐘走112格，分針1分鐘走1格．鐘面上每一格的度數(shù)為360°÷12=30°． （2）計算鐘面上時針與分針所成角的度數(shù)，一般先從鐘面上找出某一時刻分針與時針所處的位置，確定其夾角，再根據(jù)表面上每一格30°的規(guī)律，計算出分針與時針的夾角的度數(shù)． （3）鐘面上的路程問題 分針：60分鐘轉(zhuǎn)一圈，每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為：360°÷60=6° 時針：12小時轉(zhuǎn)一圈，每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為：360°÷12÷60=0.5°． 1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向為基準，來描述物體所處的方向． （2）用方位角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故描述方位角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．（注意幾個方向的角平分線按日常習慣，即東北，東南，西北，西南．） （3）畫方位角 以正南或正北方向作方位角的始邊，另一邊則表示對象所處的方向的射線． 1）度、分、秒是常用的角的度量單位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． （2）具體換算可類比時鐘上的時、分、秒來說明角的度量單位度、分、秒之間也是60進制，將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉(zhuǎn)化為高級單位時除以60．同時，在進行度、分、秒的運算時也應注意借位和進位的方法 1）角平分線的定義 從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線． （2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線 3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動手實踐 ① AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射線OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB． （2）度、分、秒的加減運算．在進行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進位，相減時，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除運算．①乘法：度、分、秒分別相乘，結(jié)果逢60要進位．②除法：度、分、秒分別去除，把每一次的余數(shù)化作下一級單位進一步去除 1）余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角． （2）補角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角．即其中一個角是另一個角的補角． （3）性質(zhì)：等角的補角相等．等角的余角相等． （4）余角和補角計算的應用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)． 注意：余角（補角）與這兩個角的位置沒有關(guān)系．不論這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應的關(guān)系． 1）七巧板是由下面七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形（兩塊小形三角形、一塊中形三角形和兩塊大形三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形． 2）用這七塊板可以拼搭成幾何圖形，如三角形、平行四邊形、不規(guī)則的多角形等；也可以拼成各種具體的人物形象，或者動物或者是一些中、英文字符號． （3）制作七巧板的方法：①首先，在紙上畫一個正方形，把它分為十六個小方格．②再從左上角到右下角畫一條線．③在上面的中間連一條線到右面的中間．④再在左下角到右上角畫一條線，碰到第二條線就可以停了．⑤從剛才的那條線的尾端開始一條線，畫到最下面四份之三的位置，從左邊開始數(shù)，碰到線就可停．⑥最后，把它們涂上不同的顏色并跟著黑線條剪開，你就有一副全新的七巧板了 科學型計算器 計算器上面的函數(shù)區(qū)，三行二列的鍵（．，，，）就是度分秒轉(zhuǎn)換的鍵． 輸入數(shù)值，如輸入30.5，先按=，再按（．，，，）鍵，就顯示出30°30′0″． 如果要輸入30°30′0″，先輸入30在“度”的位置按一下，再輸入30在“分”的位置再按一下，最后輸入0，在“秒”的位置再按一下就可以得到30°30′0″．若要轉(zhuǎn)化為度，則按=，再按（．，，，）鍵，就顯示出30.5° 1）在統(tǒng)計調(diào)查中，我們利用調(diào)查問卷收集數(shù)據(jù)，利用表格整理數(shù)據(jù)，利用統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù)，通過分析表和圖來了解情況． （2）統(tǒng)計圖通常有條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，折線統(tǒng)計圖． （3）設計調(diào)查問卷分以下三步：①確定調(diào)查目的；②選擇調(diào)查對象；③設計調(diào)查問題． （4）統(tǒng)計調(diào)查的一般過程： ①問卷調(diào)查法-----收集數(shù)據(jù)； ②列統(tǒng)計表-----整理數(shù)據(jù)； ③畫統(tǒng)計圖-----描述數(shù)據(jù)． 1、統(tǒng)計調(diào)查的方法有全面調(diào)查（即普查）和抽樣調(diào)查． 2、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的優(yōu)缺點：①全面調(diào)查收集的到數(shù)據(jù)全面、準確，但一般花費多、耗時長，而且某些調(diào)查不宜用全面調(diào)查．②抽樣調(diào)查具有花費少、省時的特點，但抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)系到對總體估計的準確程度． 3、如何選擇調(diào)查方法要根據(jù)具體情況而定．一般來講：通過普查可以直接得到較為全面、可靠的信息，但花費的時間較長，耗費大，且一些調(diào)查項目并不適合普查．其一，調(diào)查者能力有限，不能進行普查．如：個體調(diào)查者無法對全國中小學生身高情況進行普查．其二，調(diào)查過程帶有破壞性．如：調(diào)查一批燈泡的使用壽命就只能采取抽樣調(diào)查，而不能將整批燈泡全部用于實驗．其三，有些被調(diào)查的對象無法進行普查．如：某一天，全國人均講話的次數(shù)，便無法進行普查． 統(tǒng)計表可以將大量數(shù)據(jù)的分類結(jié)果清晰，一目了然地表達出來． 統(tǒng)計調(diào)查所得的原始資料，經(jīng)過整理，得到說明社會現(xiàn)象及其發(fā)展過程的數(shù)據(jù)，把這些數(shù)據(jù)按一定的順序排列在表格中，就形成“統(tǒng)計表”．統(tǒng)計表是表現(xiàn)數(shù)字資料整理結(jié)果的最常用的一種表格． 統(tǒng)計表是由縱橫交叉線條所繪制的表格來表現(xiàn)統(tǒng)計資料的一種形式 1）扇形統(tǒng)計圖是用整個圓表示總數(shù)用圓內(nèi)各個扇形的大小表示各部分數(shù)量占總數(shù)的百分數(shù)．通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．用整個圓的面積表示總數(shù)（單位1），用圓的扇形面積表示各部分占總數(shù)的百分數(shù)． （2）扇形圖的特點：從扇形圖上可以清楚地看出各部分數(shù)量和總數(shù)量之間的關(guān)系． （3）制作扇形圖的步驟 ①根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)先算出各部分在總體中所占的百分數(shù)，再算出各部分圓心角的度數(shù)，公式是各部分扇形圓心角的度數(shù)=部分占總體的百分比×360° ②按比例取適當半徑畫一個圓；按扇形圓心角的度數(shù)用量角器在圓內(nèi)量出各個扇形的圓心角的度數(shù)； ④在各扇形內(nèi)寫上相應的名稱及百分數(shù)，并用不同的標記把各扇形區(qū)分開來． 1）定義：條形統(tǒng)計圖是用線段長度表示數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的矩形直條，然后按順序把這些直條排列起來． （2）特點：從條形圖可以很容易看出數(shù)據(jù)的大小，便于比較． （3）制作條形圖的一般步驟： ①根據(jù)圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線． ②在水平射線上，適當分配條形的位置，確定直條的寬度和間隔． ③在與水平射線垂直的射線上，根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長度表示多少． ④按照數(shù)據(jù)大小，畫出長短不同的直條，并注明數(shù)量 1）定義：折線圖是用一個單位表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點，然后把各點用線段依次連接起來．以折線的上升或下降來表示統(tǒng)計數(shù)量增減變化． （2）特點：折線圖不但可以表示出數(shù)量的多少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量的增減變化情況． （3）繪制折線圖的步驟 ①根據(jù)統(tǒng)計資料整理數(shù)據(jù)． ②先畫縱軸，后畫橫軸，縱、橫都要有單位，按紙面的大小來確定用一定單位表示一定的數(shù)量． ③根據(jù)數(shù)量的多少，在縱、橫軸的恰當位置描出各點，然后把各點用線段順序連接起來． 統(tǒng)計圖的選擇：即根據(jù)常用的幾種統(tǒng)計圖反映數(shù)據(jù)的不同特征結(jié)合實際來選擇． （1）扇形統(tǒng)計圖的特點： ①用扇形的面積表示部分在總體中所占的百分比．②易于顯示每組數(shù)據(jù)相對于總數(shù)的大?。? （2）條形統(tǒng)計圖的特點： ①條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目中的具體數(shù)目．②易于比較數(shù)據(jù)之間的差別． （3）折線統(tǒng)計圖的特點： ①能清楚地反映事物的變化情況．②顯示數(shù)據(jù)變化趨勢． 根據(jù)具體問題選擇合適的統(tǒng)計圖，可以使數(shù)據(jù)變得清晰直觀．不恰當?shù)膱D不僅難以達到期望的效果，有時還會給人們以誤導．因此要想準確地反映數(shù)據(jù)的不同特征，就要選擇合適的統(tǒng)計圖 1）根據(jù)調(diào)查項目和調(diào)查目的，設計出用于記錄數(shù)據(jù)的統(tǒng)計表格或?qū)y(tǒng)計表格中缺少的數(shù)據(jù)進行完善．表格要求簡明，覆蓋所有調(diào)查數(shù)據(jù)． （2）象形統(tǒng)計圖是表現(xiàn)統(tǒng)計數(shù)字大小和變動的各種圖形總稱．其中有條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、象形圖等．在統(tǒng)計學中把利用統(tǒng)計圖形表現(xiàn)統(tǒng)計資料的方法叫做統(tǒng)計圖示法．其特點是：形象具體、簡明生動、通俗易懂、一目了然．其主要用途有：表示現(xiàn)象間的對比關(guān)系；揭露總體結(jié)構(gòu)；檢查計劃的執(zhí)行情況；揭示現(xiàn)象間的依存關(guān)系，反映總體單位的分配情況；說明現(xiàn)象在空間上的分布情況．一般采用直角坐標系．橫坐標用來表示事物的組別或自變量x，縱坐標常用來表示事物出現(xiàn)的次數(shù)或因變量y；或采用角度坐標（如圓形圖）、地理坐標（如地形圖）等．按圖尺的數(shù)字性質(zhì)分類，有實數(shù)圖、累積數(shù)圖、百分數(shù)圖、對數(shù)圖、坐標圖、指數(shù)圖等；其結(jié)構(gòu)包括圖名、圖目（圖中的標題）、圖尺（坐標單位）、各種圖線（基線、輪廓線、指導線等）、圖注（圖例說明、資料來源等）等. 21 .