《高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題二 函數(shù)與導數(shù) 第2講 函數(shù)的應用練習 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題二 函數(shù)與導數(shù) 第2講 函數(shù)的應用練習 理（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第2講 函數(shù)的應用
1．(2016天津)已知函數(shù)f(x)＝sin2＋sin ωx－ (ω>0，x∈R)．若f(x)在區(qū)間(π，2π)內沒有零點，則ω的取值范圍是( )
A. B.∪
C. D.∪
答案 D
解析 f(x)＝＋sin ωx－
＝(sin ωx－cos ωx)＝sin.
因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(π，2π)內沒有零點，
所以>2π－π，所以>π，所以0<ω<1.
當x∈(π，2π)時，ωx－∈，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(π，2π)內有零點，則ωπ－
0，且a≠1)在R上單調遞減，且關于x的方程|f(x)|＝2－x恰有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是( )
A. B.
C.∪ D.∪
答案 C
解析 由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上遞減，得02，即a>時，由x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x(其中x<0)，得x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中x<0)，則Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，
解得a＝或a＝1(舍去)；
當1≤3a≤2，即≤a≤時，由圖象可知，符合條件．
綜上所述，a∈∪.
故選C.
3．(2016山東)已知函數(shù)f(x)＝ 其中m>0，若存在實數(shù)b，使得關于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是________．
答案 (3，＋∞)
解析 如圖，
當x≤m時，f(x)＝|x|；當x>m時，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)為增函數(shù)，若存在實數(shù)b，使方程f(x)＝b有三個不同的根，則m2－2mm＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.
4．(2016四川)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．
答案
解析 由題可知，因為三棱錐每個面都是腰為2的等腰三角形，由正視圖可得俯視圖(如圖)，且三棱錐高為h＝1，
則體積V＝Sh＝1＝.
1.求函數(shù)零點所在區(qū)間、零點個數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見題型，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).
2.函數(shù)的實際應用以二次函數(shù)、分段函數(shù)模型為載體，主要考查函數(shù)的最值問題.
熱點一 函數(shù)的零點
1．零點存在性定理
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．
2．函數(shù)的零點與方程根的關系
函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點的橫坐標．
例1 (1)已知實數(shù)a>1,01,00，
由零點存在性定理可知f(x)在區(qū)間(－1,0)上存在零點．
(2)當x>2時，g(x)＝x－1，f(x)＝(x－2)2；
當0≤x≤2時，g(x)＝3－x，f(x)＝2－x；
當x<0時，g(x)＝3－x2，f(x)＝2＋x.
由于函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)就是方程f(x)－g(x)＝0的根的個數(shù)．
當x>2時，方程f(x)－g(x)＝0可化為x2－5x＋5＝0，其根為x＝或x＝(舍去)；
當0≤x≤2時，方程f(x)－g(x)＝0可化為2－x＝3－x，無解；
當x<0時，方程f(x)－g(x)＝0可化為x2＋x－1＝0，其根為x＝或x＝(舍去)．
所以函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)為2.
思維升華 函數(shù)零點(即方程的根)的確定問題，常見的有：(1)函數(shù)零點值大致存在區(qū)間的確定；(2)零點個數(shù)的確定；(3)兩函數(shù)圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定．解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數(shù)形結合法，尤其是方程兩端對應的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結合法求解．
跟蹤演練1 (1)函數(shù)f(x)＝lg x－的零點所在的區(qū)間是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,10)
(2)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數(shù)為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 (1)C (2)B
解析 (1)∵f(2)＝lg 2－<0，f(3)＝lg 3－>0，
∴f(2)f(3)<0，
故f(x)的零點在區(qū)間(2,3)內．
(2)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點即2x|log0.5x|－1＝0的解，即|log0.5x|＝x的解，作出函數(shù)g(x)＝|log0.5x|和函數(shù)h(x)＝x的圖象．
由圖象可知，兩函數(shù)圖象共有兩個交點，故函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1有2個零點．
熱點二 函數(shù)的零點與參數(shù)的范圍
解決由函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結合思想，構建關于參數(shù)的方程或不等式求解．
例2 (1)對任意實數(shù)a，b定義運算“?”：a?b＝設f(x)＝(x2－1)?(4＋x)，若函數(shù)y＝f(x)＋k的圖象與x軸恰有三個不同的交點，則k的取值范圍是( )
A．(－2,1) B．[0,1]
C．[－2,0) D．[－2,1)
答案 D
解析 解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，
所以f(x)＝
函數(shù)y＝f(x)＋k的圖象與x軸恰有三個不同的交點轉化為函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線y＝－k恰有三個不同的交點．
如圖，所以－1<－k≤2，故－2≤k<1.
(2)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．
①若g(x)＝m有零點，求m的取值范圍；
②確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根．
解?、佟遟(x)＝x＋≥2＝2e(x>0)，當且僅當x＝時取等號，∴當x＝e時，g(x)有最小值2e.
∴g(x)＝m有零點，只需m≥2e.
∴當m∈[2e，＋∞)時，g(x)＝m有零點．
②若g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根，則函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點．
如圖，作出函數(shù)g(x)＝x＋(x>0)的大致圖象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1
＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
∴其對稱軸為x＝e，f(x)max＝m－1＋e2.
若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個交點，則m－1＋e2>2e，即當m>－e2＋2e＋1時，g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根．
∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
思維升華 (1)方程f(x)＝g(x)根的個數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)圖象交點的個數(shù)；(2)關于x的方程f(x)－m＝0有解，m的范圍就是函數(shù)y＝f(x)的值域．
跟蹤演練2 (1)已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點，則a的取值范圍是_________________．
(2)(2015湖南)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是________．
答案 (1)(－∞，2ln 2－2] (2)(0,2)
解析 (1)f′(x)＝ex－2，當x∈(－∞，ln 2)時，f′(x)<0；當x∈(ln 2，＋∞)時，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(ln 2)＝2－2ln 2＋a.由于所以f(x)有零點當且僅當2－2ln 2＋a≤0，所以a≤2ln 2－2.
(2)將函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b的零點個數(shù)問題轉化為函數(shù)y＝|2x－2|的圖象與直線y＝b的交點個數(shù)問題，數(shù)形結合求解．
由f(x)＝|2x－2|－b＝0，
得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐標系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示．
則當00)時，銷售量q(x)(單位：百臺)與x的關系滿足：若x不超過20，則q(x)＝；若x大于或等于180，則銷售量為零；當200，f(x)單調遞增，
當80180時，f(x)＝0.
答 當x等于80元時，總利潤取得最大值240 000元．
思維升華 (1)關于解決函數(shù)的實際應用問題，首先要耐心、細心地審清題意，弄清各量之間的關系，再建立函數(shù)關系式，然后借助函數(shù)的知識求解，解答后再回到實際問題中去．
(2)對函數(shù)模型求最值的常用方法：單調性法、基本不等式法及導數(shù)法．
跟蹤演練3 (1)國家規(guī)定個人稿費納稅辦法為：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按超過部分的14%納稅；超過4 000元的按全稿酬的11%納稅．某人出版了一本書共納稅420元，則他的稿費為( )
A．3 000元 B．3 800元
C．3 818元 D．5 600元
(2)某租賃公司擁有汽車100輛．當每輛車的月租金為3 000元時，可全部租出．當每輛車的月租金每增加50元時，未出租的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元，要使租賃公司的月收益最大，則每輛車的月租金應定為________元．
答案 (1)B (2)4 050
解析 (1)假設個人稿費為x元，所繳納稅費為y元，由已知條件可知y為x的函數(shù)，且滿足y＝
共納稅420元，
所以有0.14(x－800)＝420?x＝3 800，故選B.
(2)設每輛車的月租金為x(x>3 000)元，則租賃公司月收益為y＝(100－)(x－150)－50，整理得y＝－＋162x－21 000＝－(x－4 050)2＋307 050.
所以當x＝4 050時，y取最大值為307 050，即當每輛車的月租金定為4 050元時，租賃公司的月收益最大為307 050元.
1．f(x)＝2sin πx－x＋1的零點個數(shù)為( )
A．4 B．5
C．6 D．7
押題依據(jù) 函數(shù)的零點是高考的一個熱點，利用函數(shù)圖象的交點確定零點個數(shù)是一種常用方法．
答案 B
解析 令2sin πx－x＋1＝0，則2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，則f(x)＝2sin πx－x＋1的零點個數(shù)問題就轉化為兩個函數(shù)h(x)與g(x)圖象的交點個數(shù)問題．h(x)＝2sin πx的最小正周期為T＝＝2，畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，因為h(1)＝g(1)，h()>g()，g(4)＝3>2，g(－1)＝－2，所以兩個函數(shù)圖象的交點一共有5個，所以f(x)＝2sin πx－x＋1的零點個數(shù)為5.
2．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－2x恰有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．[－1,1) B．[0,2]
C．(－2,2] D．[－1,2)
押題依據(jù) 利用函數(shù)零點個數(shù)可以得到函數(shù)圖象的交點個數(shù)，進而確定參數(shù)范圍，較好地體現(xiàn)了數(shù)形結合思想．
答案 D
解析 g(x)＝f(x)－2x＝要使函數(shù)g(x)恰有三個不同的零點，只需g(x)＝0恰有三個不同的實數(shù)根，
所以或
所以g(x)＝0的三個不同的實數(shù)根為x＝2(x>a)，x＝－1(x≤a)，x＝－2(x≤a)．
再借助數(shù)軸，可得－1≤a<2.
所以實數(shù)a的取值范圍是[－1,2)，故選D.
3．函數(shù)y＝ln(x＋1)與y＝的圖象交點的橫坐標所在的區(qū)間為( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
押題依據(jù) 確定圖象交點橫坐標的范圍和函數(shù)零點存在性定理相結合，本題轉化思想應用靈活．
答案 B
解析 令f(x)＝ln(x＋1)－，因為f(2)＝ln 3－>0，f(1)＝ln 2－1<0，又函數(shù)f(x)在(1,2)上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內有零點，此零點即函數(shù)y＝ln(x＋1)與y＝的圖象交點的橫坐標．
4．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________m.
押題依據(jù) 函數(shù)的實際應用是高考的必考點，函數(shù)的最值問題是應用問題考查的熱點．
答案 20
解析 如圖，
過A作AH⊥BC交于點H，交DE于點F，易知＝＝＝?AF＝x?FH＝40－x，則S＝x(40－x)≤()2，當且僅當40－x＝x，即x＝20時取等號，所以滿足題意的邊長x為20 m.
A組 專題通關
1．函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的區(qū)間是(e≈2.718 28)( )
A. B.
C．(1,2) D．(2,3)
答案 A
解析 ∵f(x)＝ex＋x－2，
∴f(0)＝1－2＝－1<0，f＝－>0，
∴f(0)f<0，
∴函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的區(qū)間是.
2．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有( )
A．2個 B．3個
C．4個 D．5個
答案 B
解析 依題意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根據(jù)零點的存在性定理可知，f(x)在區(qū)間(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一個零點，故函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有3個．
3．函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 當x≤0時，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
當x>0時，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以已知函數(shù)有2個零點．故選C.
4．若函數(shù)f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3的零點有且只有一個，則實數(shù)a等于( )
A.或－ B．－
C. D．以上都不對
答案 C
解析 令|x|＝t，原函數(shù)的零點有且只有一個，即方程t2＋2at＋4a2－3＝0只有一個0根或一個0根、一個負根，∴4a2－3＝0，解得a＝或－，經(jīng)檢驗，a＝滿足題意．
5．已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝若關于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3個不同的實根x1，x2，x3，則x＋x＋x等于( )
A．13 B.
C．5 D.
答案 C
解析 作出f(x)的圖象，如圖所示．
由圖象知，只有當f(x)＝1時有3個不同的實根；
∵關于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3個不同的實根x1，x2，x3，
∴必有f(x)＝1，從而x1＝1，x2＝2，x3＝0，
故可得x＋x＋x＝5，故選C.
6．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①圖象關于(1,0)點對稱；②f(－1＋x)＝f(－1－x)；③當x∈[－1,1]時，f(x)＝則函數(shù)y＝f(x)－|x|在區(qū)間[－3,3]上的零點的個數(shù)為( )
A．5 B．6
C．7 D．8
答案 A
解析 因為f(－1＋x)＝f(－1－x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱，又函數(shù)f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，如圖所示，畫出f(x)以及g(x)＝()|x|在[－3,3]上的圖象，由圖可知，兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)為5，所以函數(shù)y＝f(x)－()|x|在區(qū)間[－3,3]上的零點的個數(shù)為5，故選A.
7．若函數(shù)f(x)＝有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (0,1]
解析 當x>0時，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，
則當x≤0時，
函數(shù)f(x)＝2x－a有一個零點，
令f(x)＝0得a＝2x，
因為0<2x≤20＝1，所以00，b>0)的函數(shù)因其圖象類似于漢字中的“囧”字，故生動地稱為“囧函數(shù)”，若當a＝1，b＝1時的“囧函數(shù)”與函數(shù)y＝lg|x|的交點個數(shù)為n，則n＝________.
答案 4
解析 由題意知，當a＝1，b＝1時，
y＝＝
在同一坐標系中畫出“囧函數(shù)”與函數(shù)y＝lg|x|的圖象如圖所示，易知它們有4個交點．
9．某駕駛員喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)隨時間x(小時)變化的規(guī)律近似滿足表達式f(x)＝《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應的處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不超過0.02毫克/毫升．此駕駛員至少要過______小時后才能開車．(不足1小時部分算1小時，結果精確到1小時)
答案 4
解析 因為0≤x≤1，所以－2≤x－2≤－1，
所以5－2≤5x－2≤5－1，而5－2>0.02，
又由x>1，得x≤，
得x≤，所以x≥4.
故至少要過4小時后才能開車．
10．隨著機構改革工作的深入進行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員2a人(140<2a<420，且a為偶數(shù))，每人每年可創(chuàng)利b萬元．據(jù)評估，在經(jīng)營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利0.01b萬元，但公司需付下崗職員每人每年0.4b萬元的生活費，并且該公司正常運轉所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的，為獲得最大的經(jīng)濟效益，該公司應裁員多少人？
解 設裁員x人，可獲得的經(jīng)濟效益為y萬元，則
y＝(2a－x)(b＋0.01bx)－0.4bx
＝－[x2－2(a－70)x]＋2ab.
依題意得2a－x≥2a，
所以0，即1400(其中f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù))．
則方程f(x)＝|sin x|在[－2π，2π]上的根的個數(shù)為( )
A．4 B．6
C．8 D．10
答案 C
解析 由(1)知，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；
由(2)知，f(x＋π)＝1－f(x)，
故f(x＋2π)＝1－f(x＋π)＝1－[1－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是周期函數(shù)，其周期為2π.
由(3)知，函數(shù)f(x)的圖象在y＝0與y＝1之間．
由(4)知，當x∈時，f′(x)<0，
故函數(shù)f(x)在上單調遞減；
當x∈時，f′(x)>0，
故函數(shù)f(x)在上單調遞增．
綜上，當x∈[0，π]時，f(x)＝|1－x|，畫出函數(shù)f(x)和y＝|sin x|在[－2π，2π]上的圖象，如圖所示，兩函數(shù)在[－2π，2π]上共有8個交點，所以方程f(x)＝|sin x|在[－2π，2π]上共有8個零點，故選C.
12．(2015北京)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程．下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是( )
A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米
B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油量最多
C．甲車以80千米/時的速度行駛1小時，消耗10升汽油
D．某城市機動車最高限速80千米/時．相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油
答案 D
解析 根據(jù)圖象所給數(shù)據(jù)，逐個驗證選項．
根據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項A錯；以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故選項B錯；甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升，行駛1小時，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項C錯；最高限速80千米/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項D對．
13．偶函數(shù)f(x)滿足f(1－x)＝f(1＋x)，且在x∈[0,1]時，f(x)＝，若直線kx－y＋k＝0(k>0)與函數(shù)f(x)的圖象有且僅有三個交點，則k的取值范圍是__________．
答案 (，)
解析 因為f(1－x)＝f(1＋x)，
所以函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，又f(x)是偶函數(shù)，所以f(x－1)＝f(1＋x)，即有f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期為2的函數(shù)．
由y＝，得x2－2x＋y2＝0，
即(x－1)2＋y2＝1，
畫出函數(shù)f(x)和直線y＝k(x＋1)的示意圖．
因為直線kx－y＋k＝0(k>0)與函數(shù)f(x)的圖象有且僅有三個交點，所以根據(jù)示意圖易知，0.當x>0，a≥2時，函數(shù)y＝f(x)與y＝a|x|有一個交點；當x>0,01時，函數(shù)y＝f(x)與y＝a|x|有兩個交點；當x<0，a＝1時，函數(shù)y＝f(x)與y＝a|x|有三個交點；當x<0,0
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高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略
專題二
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第2講
函數(shù)的應用練習
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數(shù)學
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復習
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專題
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導數(shù)
應用
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