（浙江專用）2020版高考數學一輪總復習 專題6 數列 6.2 等差數列檢測

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1、6.2　等差數列 挖命題 【考情探究】 考點 內容解讀 5年考情 預測熱度 考題示例 考向 關聯(lián)考點 等差數列的有關概念及運算 1.理解等差數列的概念. 2.掌握等差數列的通項公式. 3.掌握等差數列的前n項和公式. 4.了解等差數列與一次函數之間的關系. 2016浙江,6 等差數列的概念 三角形面積 ★★★ 2015浙江,3 等差數列的通項公式、 前n項和 等比數列 2014浙江文,19 等差數列的前n項和 等差數列的性質及應用 能利用等差數列的性質解決有關問題. 2017浙江,6 等差數列的前n項和 充分條件與必要條件 ★★★

2、 分析解讀　　1.等差數列知識屬于常考內容. 2.考查等差數列定義、性質、通項公式、前n項和公式等知識. 3.靈活運用通項公式、前n項和公式處理最值問題、存在性問題是高考的熱點. 4.以數列為背景,考查學生歸納、類比的能力. 5.預計2020年高考試題中,等差數列的概念、性質、通項公式、前n項和公式的考查必不可少.復習時要足夠重視. 破考點 【考點集訓】 考點一　等差數列的有關概念及運算 1.(2018浙江紹興高三3月適應性模擬,13)設Sn為等差數列{an}的前n項和,滿足S2=S6,-=2,則a1=　　　　,公差d=　　　　.? 答案　-14;4 2.(2018浙江稽

3、陽聯(lián)誼學校高三聯(lián)考,13)《九章算術》是我國古代著名的數學著作,其中有一道數列問題:“今有良馬與駑馬發(fā)長安,至齊,齊去長安三千里.良馬初日行一百九十三里,日增一十三里,駑馬初日行九十七里,日減半里,良馬先至齊,復還迎駑馬,問幾日相逢及各行幾何?”請研究本題,并給出下列結果:兩馬同時出發(fā)后第9天,良馬日行　　　　里,從長安出發(fā)后第　　　　天兩馬第一次相遇.? 答案　297;16 考點二　等差數列的性質及應用 1.(2018浙江嵊州高三期末質檢,7)設等差數列{an}的前n項的和為Sn,若a6<0,a7>0,且a7>|a6|,則(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.S11

4、+S12<0 B.S11+S12>0 C.S11·S12<0 D.S11·S12>0 答案　C　 2.(2018浙江高考模擬訓練沖刺卷一,13)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,且a1>0,S8=S11,則a10=　　　　;使Sn取到最大值的n為　　　　　.? 答案　0;9或10 煉技法 【方法集訓】 方法1　等差數列中“基本量法”解題的方法 1.(2018浙江新高考調研卷一(諸暨中學),5)已知公差不為0的等差數列{an}的首項a1=3,若a2,a3,a6成等比數列,則{an}前n項和的最大值為(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.3 B. -1 C.

5、-5 D.-3 答案　A　 2.(2018浙江杭州地區(qū)重點中學期中,14)設等差數列{an}的首項為a1,公差為d,前n項和為Sn,且S5·S6=-15,則d的取值范圍是　　　　　　　　;若a1=-7,則d的值為　　　　.? 答案　(-∞,-2]∪[2,+∞);3或 方法2　等差數列的判定方法 1.(2018浙江杭州地區(qū)重點中學第一學期期中,4)已知數列{an}是等差數列,則數列{bn}一定為等差數列的是(　　) A.bn=|an| B.bn= C.bn=-an D.bn= 答案　C　 2.(2017浙江金華十校調研,6)若等差數列{an}的公差為d,前n項和為Sn,記bn=,

6、則(　　) A.數列{bn}是等差數列,且公差為d B.數列{bn}是等差數列,且公差為2d C.數列{an+bn}是等差數列,且公差為d D.數列{an-bn}是等差數列,且公差為 答案　D　 過專題 【五年高考】 A組　自主命題·浙江卷題組 考點一　等差數列的有關概念及運算 1.(2016浙江,6,5分)如圖,點列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且 |AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*, |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*. (P≠Q表示點P與Q不重合) 若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn

7、+1的面積,則(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.{Sn}是等差數列 B.{}是等差數列 C.{dn}是等差數列 D.{}是等差數列 答案　A　 2.(2015浙江,3,5分)已知{an}是等差數列,公差d不為零,前n項和是Sn.若a3,a4,a8成等比數列,則(　　) A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0 答案　B　 3.(2014浙江文,19,14分)已知等差數列{an}的公差d>0.設{an}的前n項和為Sn,a1=1,S2·S3=36. (1)求d及Sn; (2)求m,

8、k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65. 解析　(1)由題意知(2a1+d)(3a1+3d)=36, 將a1=1代入上式解得d=2或d=-5. 因為d>0,所以d=2.從而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*). (2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1), 所以(2m+k-1)(k+1)=65. 由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故 所以 評析　本題主要考查等差數列的概念、通項公式、求和公式等基礎知識,同時考查運算求解能力. 考點二　等差數列的性質及應用 　(2017浙江,6,4分)已知等差

9、數列{an}的公差為d,前n項和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　C　 B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 考點一　等差數列的有關概念及運算 1.(2018課標全國Ⅰ理,4,5分)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.-12 B.-10 C.10 D.12 答案　B　 2.(2017課標全國Ⅰ理,4,5分)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,

10、則{an}的公差為(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案　C　 3.(2017課標全國Ⅲ理,9,5分)等差數列{an}的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數列,則{an}前6項的和為(　　) A.-24 B.-3 C.3 D.8 答案　A　 4.(2016課標全國Ⅰ,3,5分)已知等差數列{an}前9項的和為27,a10=8,則a100=(　　) A.100 B.99 C.98 D.97 答案　C　 5.(2018北京理,9,5分)設{an}是等差數列,且a1=3,a2+a5=36,則{an}的通項公式為　　　　.? 答案　an=6n-3 6.(201

11、7課標全國Ⅱ理,15,5分)等差數列{an}的前n項和為Sn,a3=3,S4=10,則=　　　　.? 答案　 7.(2016江蘇,8,5分)已知{an}是等差數列,Sn是其前n項和.若a1+=-3,S5=10,則a9的值是　　　　.? 答案　20 8.(2016北京,12,5分)已知{an}為等差數列,Sn為其前n項和.若a1=6,a3+a5=0,則S6=　　　　.? 答案　6 9.(2018北京文,15,13分)設{an}是等差數列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2. (1)求{an}的通項公式; (2)求++…+. 解析　(1)設{an}的公差為d. 因為a2+

12、a3=5ln 2, 所以2a1+3d=5ln 2. 又a1=ln 2,所以d=ln 2. 所以an=a1+(n-1)d=nln 2. (2)因為=eln 2=2,==eln 2=2, 所以{}是首項為2,公比為2的等比數列. 所以++…+=2×=2(2n-1). 10.(2016山東,18,12分)已知數列{an}的前n項和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數列,且an=bn+bn+1. (1)求數列{bn}的通項公式; (2)令cn=,求數列{cn}的前n項和Tn. 解析　(1)由題意知,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=6n+5. 當n=1時,a1=S1=11,所以a

13、n=6n+5. 設數列{bn}的公差為d. 由即 可解得b1=4,d=3. 所以bn=3n+1. (2)由(1)知cn==3(n+1)·2n+1. 又Tn=c1+c2+…+cn, 得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1], 2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2], 兩式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2] =3× =-3n·2n+2. 所以Tn=3n·2n+2. 方法總結　若某數列的通項是等差數列與等比數列的通項的積或商,則該數列的前n項和可以采用錯位相減法求解,注意相減后的項數容易

14、出錯. 評析　本題主要考查了等差數列及前n項和,屬中檔題. 11.(2014大綱全國,18,12分)等差數列{an}的前n項和為Sn.已知a1=10,a2為整數,且Sn≤S4. (1)求{an}的通項公式; (2)設bn=,求數列{bn}的前n項和Tn. 解析　(1)由a1=10,a2為整數知,等差數列{an}的公差d為整數. 又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0, 于是10+3d≥0,10+4d≤0. 解得-≤d≤-. 因此d=-3. 故數列{an}的通項公式為an=13-3n.(6分) (2)bn==.(8分) 于是Tn=b1+b2+…+bn = ==.(12分)

15、 評析　本題考查了等差數列的定義及其前n項和、裂項相消法求數列前n項和.第(1)問的解題關鍵在于分析已知條件“a2為整數”“Sn≤S4”中隱含的條件;第(2)問,對通項公式bn進行裂項相消的過程中易漏了系數而導致錯解. 考點二　等差數列的性質及應用 1.(2015北京,6,5分)設{an}是等差數列.下列結論中正確的是(　　) A.若a1+a2>0,則a2+a3>0 B.若a1+a3<0,則a1+a2<0 C.若0 D.若a1<0,則(a2-a1)(a2-a3)>0 答案　C　 2.(2015重慶,2,5分)在等差數列{an}中,若a2=4,a4=2

16、,則a6=　(　　) A.-1 B.0 C.1 D.6 答案　B　 3.(2015廣東,10,5分)在等差數列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=　　　　.? 答案　10 4.(2014北京,12,5分)若等差數列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當n=　　　　時,{an}的前n項和最大.? 答案　8 5.(2014江蘇,20,16分)設數列{an}的前n項和為Sn.若對任意的正整數n,總存在正整數m,使得Sn=am,則稱{an}是“H數列”. (1)若數列{an}的前n項和Sn=2n(n∈N*),證明:{an}是“H數列”;

17、(2)設{an}是等差數列,其首項a1=1,公差d<0.若{an}是“H數列”,求d的值; (3)證明:對任意的等差數列{an},總存在兩個“H數列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立. 解析　(1)證明:由已知得,當n≥1時,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是對任意的正整數n,總存在正整數m=n+1,使得Sn=2n=am. 所以{an}是“H數列”. (2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因為{an}是“H數列”,所以存在正整數m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因為d<0,所以m-2<0,故m=1.從而d

18、=-1. 當d=-1時,an=2-n,Sn=是小于2的整數,n∈N*.于是對任意的正整數n,總存在正整數m=2-Sn=2-,使得Sn=2-m=am,所以{an}是“H數列”. 因此d的值為-1. (3)證明:設等差數列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*). 令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),則an=bn+cn(n∈N*), 下證{bn}是“H數列”. 設{bn}的前n項和為Tn,則Tn=a1(n∈N*).于是對任意的正整數n,總存在正整數m=,使得Tn=bm.所以{bn}是“H數列”. 同理可證{cn}也是“H數列

19、”. 所以,對任意的等差數列{an},總存在兩個“H數列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*). 評析　本題主要考查數列的概念、等差數列等基礎知識,考查探究能力及推理論證能力. C組　教師專用題組 考點　等差數列的有關概念及運算 1.(2014福建,3,5分)等差數列{an}的前n項和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等于(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.8 B.10 C.12 D.14 答案　C　 2.(2014遼寧,8,5分)設等差數列{an}的公差為d.若數列{}為遞減數列,則(　　) A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D

20、.a1d>0 答案　C　 3.(2015安徽,13,5分)已知數列{an}中,a1=1,an=an-1+ (n≥2),則數列{an}的前9項和等于　　　　.? 答案　27 4.(2017課標全國Ⅰ,17,12分)記Sn為等比數列{an}的前n項和.已知S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通項公式; (2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數列. 解析　本題考查等差、等比數列. (1)設{an}的公比為q,由題設可得 解得q=-2,a1=-2. 故{an}的通項公式為an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn==-+(-1)n·. 由于Sn+2+

21、Sn+1=-+(-1)n· =2=2Sn, 故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數列. 方法總結　等差、等比數列的常用公式: (1)等差數列: 遞推關系式:an+1-an=d,常用于等差數列的證明. 通項公式:an=a1+(n-1)d. 前n項和公式:Sn==na1+d. (2)等比數列: 遞推關系式:=q(q≠0),常用于等比數列的證明. 通項公式:an=a1·qn-1. 前n項和公式:Sn= (3)在證明a,b,c成等差、等比數列時,還可以利用等差中項:=b或等比中項:a·c=b2來證明. 5.(2015福建,17,12分)等差數列{an}中,a2=4,a4+a7=1

22、5. (1)求數列{an}的通項公式; (2)設bn=+n,求b1+b2+b3+…+b10的值. 解析　(1)設等差數列{an}的公差為d. 由已知得 解得 所以an=a1+(n-1)d=n+2. (2)由(1)可得bn=2n+n. 所以b1+b2+b3+…+b10 =(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10) =(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10) =+ =(211-2)+55=211+53=2 101. 評析　本題主要考查等差數列、等比數列、數列求和等基礎知識,考查運算求解能力. 【三年模擬】 一、選擇題(每小題4分,共1

23、2分) 1.(2019屆浙江名校協(xié)作體高三聯(lián)考,9)已知公差為d的等差數列{an}的前n項和為Sn,若存在正整數n0,對任意正整數m,使得·<0恒成立,則下列結論不一定成立的是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.a1d<0 B.|Sn|有最小值 C.·>0 D.·>0 答案　C　 2.(2018浙江溫州高三質量檢查,5)已知數列{an}滿足=25·,且a2+a4+a6=9,則lo(a5+a7+a9)=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.-3 B.3 C.- D. 答案　A　 3.(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期中,5)已知等差數列{a

24、n},Sn表示前n項的和,a5+a11>0,a6+a9<0,則滿足Sn<0的正整數n的最大值是(　　) A.12 B.13 C.14 D.15 答案　C　 二、填空題(單空題4分,多空題6分,共16分) 4.(2019屆鎮(zhèn)海中學期中考試,16)已知數列{an}為等差數列,其前n項和為Sn,且2a1+3a3=S6,現給出以下結論:①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S19=0.其中正確的是　　　　(填序號).? 答案?、佗邰? 5.(2018浙江諸暨高三上學期期末,11)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,若a3=5,S3=12,則公差d=　　　　;通項公式an=　　　

25、　.? 答案　1;n+2 6.(2018浙江名校協(xié)作體,12)已知{an}是公差為-2的等差數列,Sn為其前n項和,若a2+1,a5+1,a7+1成等比數列,則a1=　　　　,當n=　　　　時,Sn有最大值.? 答案　19;10 三、解答題(共45分) 7.(2019屆衢州、湖州、麗水三地教學質量檢測,20)設正項數列{an}的前n項和為Sn,a1=2,且1+,3,1-成等差數列(n∈N*). (1)求數列{an}的通項公式; (2)證明:-1<++…+≤- (n∈N*). 解析　(1)由題意知-=4,=4,(2分) 所以數列{}是以4為首項,4為公差的等差數列,所以=4n,

26、 又an>0,所以Sn>0,所以Sn=2.(4分) 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2-2, 當n=1時,a1=2也滿足上式, 所以an=2-2(n∈N*).(6分) (2)由(1)知Sn=2,所以==>=-.(8分) 所以++…+>-1.(10分) 又因為=<=-(n≥2).(12分) 當n≥2時,++…+≤+-1=-.(14分) 當n=1時上式也成立, 所以-1<++…+≤- (n∈N*).(15分) 8.(2019屆金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考,20)已知數列{an}中,a1=2,a2=6,且滿足=2(n≥2且n∈N*). (1)求證:{an+1-an}為等差數列

27、; (2)令bn=-,設數列{bn}的前n項和為Sn,求{S2n-Sn}的最大值. 解析　(1)證明:由題意可得an+1+an-1=2an+2(n≥2),則(an+1-an)-(an-an-1)=2, 所以{an+1-an}是公差為2的等差數列. (2)當n≥2時,an=(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=2n+…+4+2=2·=n(n+1). 當n=1時,a1=2滿足上式. ∴an=n(n+1). bn=-=-,∴Sn=10-, ∴S2n=10-, 設Mn=S2n-Sn=10-, ∴Mn+1=10-, ∴Mn+1-Mn=10-=10-=-, 當n=1時,Mn

28、+1-Mn=M2-M1=->0,即M1M3>M4>…, ∴(Mn)max=M2=10×-1=, ∴{S2n-Sn}的最大值為S4-S2=. 9.(2018浙江金麗衢十二校第三次聯(lián)考(5月),22)有一列數a0,a1,a2,a3,…,對任意的m,n∈N,m≥n,滿足2am+2an-2n=am+n+am-n,且已知a1=2. (1)求a0,a2,a3 ; (2)證明:對一切n∈N*,數列{an+1-an}為等差數列; (3)若對一切n∈N*,λ>++…+恒成立,求λ的最小值. 解析　(1)令m=n=0,得a0=0, 令m=n=1,得a2=6, 令m=2,n=1,得a3=12. (2)證明:令n=1,得2am+4-2=am+1+am-1,即(am+1-am)=(am-am-1)+2.所以數列{an+1-an}是公差為2的等差數列. (3)因為an+1-an=(a1-a0)+n×2=2(n+1), 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a1-a0)+a0=2n+2(n-1)+…+2+0=n(n+1). 所以++…+=++…+=1-,要使λ>1-恒成立,λ的最小值為1. 14