7、所以a的最大值是，故選A.
4．(2017·高考全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(x＋)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A．f(x)的一個(gè)周期為－2π
B．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱
C．f(x＋π)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝
D．f(x)在(，π)單調(diào)遞減
解析：選D.根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)f(x)的最小正周期為2π，所以函數(shù)的一個(gè)周期為－2π，A正確；當(dāng)x＝時(shí)，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正確；f(x＋π)＝cos＝cos，當(dāng)x＝時(shí)，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正確；函數(shù)f(x)＝cos在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D不正確．所以選D.
5．(2016·高考全國卷
8、Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－為f(x)的零點(diǎn)，x＝為y＝f(x)圖象的對(duì)稱軸，且f(x)在單調(diào)，則ω的最大值為( )
A．11 B．9
C．7 D．5
解析：選B.因?yàn)閤＝－為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，x＝為y＝f(x)圖象的對(duì)稱軸，所以＝＋(k∈Z，T為周期)，得T＝(k∈Z)．又f(x)在單調(diào)，所以T≥，k≤，又當(dāng)k＝5時(shí)，ω＝11，φ＝－，f(x)在不單調(diào)；當(dāng)k＝4時(shí)，ω＝9，φ＝，f(x)在單調(diào)，滿足題意，故ω＝9，即ω的最大值為9.
6．(2017·高考全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
解析：依題意，f(x)＝si
9、n2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－＋1，因?yàn)閤∈，所以cos x∈[0，1]，因此當(dāng)cos x＝時(shí)，f(x)max＝1.
答案：1
[山東省學(xué)習(xí)指導(dǎo)意見]
1．任意角的三角函數(shù)
(1)了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化．
(2)理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦和正切)的定義．
(3)會(huì)用誘導(dǎo)公式，理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式．
2．三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
(1)能畫出y＝sin x、y＝cos x、y＝tan x的圖象．
(2)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大和最小值、圖象與x軸交點(diǎn)等)，了解三角函數(shù)的周期性．
(3)了
10、解y＝Asin(ωx＋φ)的實(shí)際意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象．知道參數(shù)A、ω、φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響．
(4)會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．
三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系
[考法全練]
1．角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4，y)，且sin θ＝－，則tan θ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：選C.因?yàn)榻铅鹊慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(4，y)，sin θ＝－<0，所以角θ為第四象限角，所以cos θ＝＝，所以tan θ＝＝－，故選C.
2．若sin＝－，且
11、α∈，則tan(π－α)＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：選A.由sin＝cos α＝－，且α∈，
得sin α＝＝，
所以tan(π－α)＝－tan α
＝－＝－＝.
3．已知θ∈，則 ＝____________．
解析：因?yàn)?＝＝＝|sin θ－cos θ|，又θ∈，所以原式＝sin θ－cos θ.
答案：sin θ－cos θ
4．若tan α＝cos α，則＋cos4α＝____________．
解析：tan α＝cos α?＝cos α?sin α＝cos2α，故＋cos4α＝＋cos4α＝sin α＋＋cos4α＝sin α＋＋sin2α＝si
12、n2α＋sin α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.
答案：2
5．(2019·福建模擬改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊交單位圓O于點(diǎn)P(a，b)，且a＋b＝，則ab＝________，cos＝________．
解析：由題知sin α＝b，cos α＝a.因?yàn)閍＋b＝，所以sin α＋cos α＝.兩邊平方可得sin2 α＋cos2 α＋2sin αcos α＝，所以1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝.所以sin αcos α＝ab＝，所以cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－.
答
13、案： －
(1)三角函數(shù)的定義
若角α的終邊過點(diǎn)P(x，y)，則sin α＝，cos α＝，
tan α＝(其中r＝)．
(2)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的步驟
利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)—脫周—化銳．特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定．
[注意] “奇變偶不變，符號(hào)看象限”．
(3)基本關(guān)系
sin2x＋cos2x＝1，tan x＝.
[技能] 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求函數(shù)值時(shí)，要注意確定符號(hào)．
三角函數(shù)的圖象與解析式
[典型例題]
命題角度一 由“圖”定“式”
(一題多解)(2019·成都市第二次診斷性檢測(cè))將函數(shù)f
14、(x)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象．若函數(shù)g(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為( )
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝－cos
C．f(x)＝cos
D．f(x)＝sin
【解析】 法一：根據(jù)函數(shù)g(x)的圖象可知A＝1，T＝＋＝，T＝π＝，ω＝2，所以g(x)＝sin(2x＋φ)，所以g＝sin＝0，所以＋φ＝π＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z，又因?yàn)閨φ|<，所以φ＝，所以g(x)＝sin，將g(x)＝sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，即可得到函數(shù)f(x)的圖象，所以函數(shù)f(
15、x)的解析式為f(x)＝g＝sin＝sin＝cos.
法二：根據(jù)g(x)的圖象可知g＝g＝1，因?yàn)閒(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，即可得到g(x)的圖象，
所以f＝f＝1，對(duì)于A，f＝sin≠1，不符合題意；對(duì)于B，f＝－cos 0＝－1≠1，不符合題意；對(duì)于C，f＝cos 0＝1，符合題意；對(duì)于D，f＝sin≠1，不符合題意．
【答案】 C
由“圖”定“式”找“對(duì)應(yīng)”
由三角函數(shù)的圖象求解析式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中參數(shù)的值，關(guān)鍵是把握函數(shù)圖象的特征與參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其基本依據(jù)就是“五點(diǎn)法”作圖．
(1)最值定A，B：根據(jù)給定的函數(shù)圖象確定最值
16、，設(shè)最大值為M，最小值為m，則M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.記住三角函數(shù)的周期T的相關(guān)結(jié)論：
①兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離等于.
②兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離等于.
③對(duì)稱中心與相鄰對(duì)稱軸的距離等于.
(3)點(diǎn)坐標(biāo)定φ：一般運(yùn)用代入法求解φ值，在求解過程中，可以代入圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)(此時(shí)A，ω，B已知)，也可代入圖象與直線y＝B的交點(diǎn)(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)．注意在確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口，即“峰點(diǎn)”“谷點(diǎn)”與三個(gè)“中心點(diǎn)”，利用“中心點(diǎn)”時(shí)要注意其所在單調(diào)區(qū)間的單調(diào)性，避免
17、產(chǎn)生增解．
命題角度二 圖象變換
(1)(一題多解)(2019·廣州市調(diào)研測(cè)試)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍得到y(tǒng)＝sin的圖象，則f(x)＝( )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
(2)若ω>0，函數(shù)y＝cos的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)y＝sin ωx的圖象重合，則ω的最小值為( )
A． B．
C． D．
【解析】 (1)法一：由題設(shè)知，f＝sin.設(shè)x＋＝t，則x＝2t－，所以f(t)＝sin＝sin.故f(x)＝sin.故選B.
法二：由題設(shè)知，先將函數(shù)y＝sin的圖象上
18、所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度即得函數(shù)f(x)的圖象，故f(x)＝sin＝sin.故選B.
(2)函數(shù)y＝cos的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y＝cos＝cos，其圖象與函數(shù)y＝sin ωx＝cos，k∈Z的圖象重合，所以－＋2kπ＝－＋，k∈Z，所以ω＝－6k＋，k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值為，故選B.
【答案】 (1)B (2)B
三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律
由函數(shù)y＝sin x的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法．
(1)函數(shù)圖象的平移法則是“左加右減、上加下減”，但是左右平移變換
19、只是針對(duì)x作的變換．
(2)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象向左(右)平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后，其圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)＝sin[ω(x±k)＋φ]，而不是g(x)＝sin(ωx±k＋φ)．
命題角度三 三角函數(shù)圖象的應(yīng)用
(1)(多選)(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|sin x|·|cos x|，則下列說法正確的是( )
A．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱
B．f(x)的最小正周期為
C．(π，0)是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
D．f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減
(2)已知函數(shù)f(x)＝4sincos x＋，若函數(shù)g(x)＝f(x)－m在上有兩個(gè)
20、不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____________．
【解析】 (1)f(x)＝|sin x|·|cos x|＝|sin 2x|，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，f(x)的最小正周期為，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，f(x)的圖象無對(duì)稱中心，故C不正確．
(2)方程g(x)＝0同解于f(x)＝m，在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)＝2sin在上的圖象，如圖所示，由圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)m∈[，2)時(shí)，方程f(x)＝m有兩個(gè)不同的解．
【答案】 (1)ABD (2)[，2)
巧用圖象解決三角方程或不等式問題
解決與三角函數(shù)相關(guān)的方程以
21、及不等式問題，最基本的方法就是作出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象，然后結(jié)合函數(shù)的圖象的特征確定方程的解或不等式的解集．準(zhǔn)確作出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象是解決問題的關(guān)鍵，尤其是作出函數(shù)在指定區(qū)間上的圖象，需要準(zhǔn)確把握函數(shù)圖象的端點(diǎn)值以及最值．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(2019·高考天津卷)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函數(shù)，且f(x)的最小正周期為π，將y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)．若g＝，則f＝( )
A．－2 B．－
C． D．2
解析：選C.由f(x)為奇函數(shù)可得φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所
22、以φ＝0，所以g(x)＝Asinωx.由g(x)的最小正周期為2π，可得＝2π，故ω＝2，g(x)＝Asin x．g＝Asin ＝，所以A＝2，所以f(x)＝2sin 2x，故f＝2sin ＝.
2．(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)的部分圖象如圖所示，則f(2 019)的值為________．
解析：由題圖易知，函數(shù)f(x)的最小正周期T＝4×＝6，所以ω＝＝，所以f(x)＝Asin，將(0，1)代入，可得Asin φ＝1，所以f(2 019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝Asin＝－Asin φ＝－1.
答案：－
23、1
三角函數(shù)的性質(zhì)
[典型例題]
(1)(一題多解)(2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱軸完全相同，則下列關(guān)于g(x)的說法正確的是( )
A．最大值為3
B．在上單調(diào)遞減
C．是g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
D．直線x＝－是g(x)圖象的一條對(duì)稱軸
(2)(一題多解)(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍為( )
A． B．
C． D．
【解析】 (1)通解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2sin(ω>0)和函數(shù)
24、g(x)＝3cos(2x＋φ)＋1(|φ|<)的圖象的對(duì)稱軸完全相同，所以兩個(gè)函數(shù)的周期一定相同，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin，由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝＋(k∈Z)，所以cos＝±1(k∈Z)，所以對(duì)任意k∈Z均存在m∈Z，使得kπ＋＋φ＝mπ.因?yàn)閨φ|<，所以<＋φ<，所以＋φ＝π，所以φ＝，所以g(x)＝3cos＋1，所以g(x)的最大值為4，所以A錯(cuò)誤．令2nπ≤2x＋≤2nπ＋π，n∈Z，得nπ－≤x≤nπ＋，n∈Z，所以B錯(cuò)誤．因?yàn)間＝3cos＋1＝1，所以是g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，所以C錯(cuò)誤．因?yàn)間＝3cos＋1＝4，所以直線x＝
25、－為函數(shù)g(x)圖象的一條對(duì)稱軸，所以D正確．故選D.
優(yōu)解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2sin(ωx－)(ω>0)和函數(shù)g(x)＝3cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱軸完全相同，所以兩個(gè)函數(shù)的周期一定相同，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin，所以f(－)＝2sin＝－2，又－2為函數(shù)f(x)的最小值，所以直線x＝－為函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，所以直線x＝－為函數(shù)g(x)圖象的一條對(duì)稱軸，故選D.
(2)法一：由題意，得，則，又ω>0，所以，k∈Z，所以k＝0，則0<ω≤，故選B.
法二：取ω＝1，則f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，當(dāng)k
26、＝1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，與函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增矛盾，故ω≠1，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)知選B.
【答案】 (1)D (2)B
三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用要注意以下兩點(diǎn)：首先要將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再對(duì)比y＝sin x的性質(zhì)，即把ωx＋φ看成一個(gè)整體處理，但是一定要注意ω>0，否則易出錯(cuò)；其次一定要結(jié)合圖象進(jìn)行分析．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(一題多解)(2019·武昌區(qū)調(diào)研考試)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期為2π，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．(k∈Z)
B.(k∈Z)
C．(k∈Z)
D.(k∈
27、Z)
解析：選B.法一：因?yàn)閒(x)＝2＝2sin ，f(x)的最小正周期為2π，所以ω＝＝1，所以f(x)＝2sin，
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．故選B.
法二：因?yàn)閒(x)＝2
＝－2cos，f(x)的最小正周期為2π，所以ω＝＝1，所以f(x)＝－2cos，
由2kπ≤x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)，故選B.
2．(2019·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(0<ω<1，|
28、φ|<)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，1)，且關(guān)于直線x＝對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的是( )
A．f(x)在上是減函數(shù)
B．若x＝x0是f(x)圖象的對(duì)稱軸，則一定有f′(x0)≠0
C．f(x)≥1的解集是，k∈Z
D．f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是
解析：選D.由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，1)，得sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝，則f(x)＝2sin.因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，所以存在m∈Z使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝，則f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A錯(cuò)誤；若x＝x0
29、是f(x)圖象的對(duì)稱軸，則f(x)在x＝x0處取得極值，所以一定有f′(x0)＝0，故B錯(cuò)誤；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閒＝0，所以是其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故D正確．選D.
3．(多選)已知函數(shù)f(x)＝，則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A．f(x)的周期是
B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}
C．直線x＝是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸
D．f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，k∈Z
解析：選ABC.函數(shù)f(x)＝的周期T＝＝2π，故A錯(cuò)誤；函數(shù)f(x)＝的值域?yàn)閇0，＋∞)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)x＝時(shí)，x－＝≠，k∈Z，即直線x＝不是f(x)圖象的對(duì)稱軸，故
30、C錯(cuò)誤；令kπ－0，ω>0)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為6，P是該函數(shù)圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)，則該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是( )
A．(1，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
解析：選C.由題意可得函數(shù)f(x)的最小正周期T＝6，則ω＝＝＝.
結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)可得A＝2，且×＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
得φ＝2kπ－π(k∈Z)，所以f(x)＝2sin＝－2sinx(k∈Z)．
令x＝k′π(k
31、′∈Z)，得x＝3k′(k′∈Z)，
取k′＝1可得該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(3，0)．
三角函數(shù)的值域與最值問題
[典型例題]
(1)已知將函數(shù)f(x)＝2sincos x＋的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則g(x)在上的值域?yàn)? )
A． B．
C． D．
(2)(2019·高考全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝sin－3cos x的最小值為________．
【解析】 (1)因?yàn)閒(x)＝2cos x＋＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin，所以g(x)＝sin＝sin.因?yàn)椋躼≤，所以0≤2x＋≤
32、，則－≤sin≤1，故－≤g(x)≤1.故選C.
(2)因?yàn)閒(x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x
＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，則t∈[－1，1]，所以f(x)＝－2t2－3t＋1.
又函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸t＝－∈[－1，1]，且開口向下，
所以當(dāng)t＝1時(shí)，f(x)有最小值－4.
【答案】 (1)C (2)－4
有關(guān)三角函數(shù)的值域與最值問題的解題策略
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數(shù)，要根據(jù)三角恒等變換把函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再借助三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定值域與最值．
33、
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)去求解．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sin x±cos x，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)去求解．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(2019·濟(jì)南市模擬考試)若函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)在[0，π]上的值域?yàn)椋瑒tω的最小值為( )
A． B．
C． D．
解析：選A.因?yàn)?≤x≤π，ω>0，所以－≤ωx－≤ωπ－.又f(x)的值域?yàn)?，所以ωπ－≥，所以ω≥，故選A.
2．函數(shù)f(x)＝2sin2＋2sin·cos在區(qū)間上的最小值為________．
解析
34、：由題意得，f(x)＝1－cos＋sin＝1＋sin 2x＋cos 2x＝1＋sin.
因?yàn)椤躼≤，
所以≤2x＋≤，
所以－1≤sin≤－，
所以1－≤1＋sin≤0，所以函數(shù)f(x)在上的最小值為1－.
答案：1－
一、選擇題
1．(2019·高考全國卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則ω＝( )
A．2 B．
C．1 D．
解析：選A.依題意得函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝2×(－)＝π，解得ω＝2，選A.
2．(2019·昆明市診斷測(cè)試)函數(shù)y＝sin圖象的一條對(duì)稱軸的方程為( )
A．x＝
35、B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：選D.由題意，令2x－＝＋kπ(k∈Z)，得對(duì)稱軸方程為x＝＋(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)y＝sin圖象的一條對(duì)稱軸的方程為x＝.故選D.
3．(2019·廣東省七校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D.，k∈Z
解析：選B.由－＋kπ<－<＋kπ，k∈Z，得2kπ－
36、．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
解析：選B.因?yàn)閥＝cos 2x－sin 2x＝2cos＝2cos，所以要得到函數(shù)y＝2cos 2x的圖象，可以將函數(shù)y＝cos 2x－sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，故選B.
5．(2019·石家莊市模擬(一))已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)A(0，)，B，則函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸為( )
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
解析：選D.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)的圖象過點(diǎn)A(0，)，所以2cos
37、 φ＝，即cos φ＝，所以φ＝2kπ±(k∈Z)．因?yàn)閨φ|<，所以φ＝±，由函數(shù)f(x)的圖象知<0，又ω>0，所以φ<0，所以φ＝－，所以f(x)＝2cos(ωx－)．因?yàn)閒(x)＝2cos(ωx－)的圖象過點(diǎn)B，所以cos＝0，所以＝mπ＋(m∈Z)，所以ω＝6m＋4(m∈Z)．因?yàn)棣?0，>，所以0<ω<6，所以ω＝4，所以f(x)＝2cos.因?yàn)閤＝時(shí)，f(x)＝2，所以x＝為函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，故選D.
6．(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，
38、得到函數(shù)g(x)的圖象．若函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域是( )
A． B．(－1，1)
C．(0，2] D．(－1，2]
解析：選D.由f(x)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，得T＝π，又ω>0，所以＝π，解得ω＝2.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g(x)＝2sin的圖象．因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為偶函數(shù)，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，由|φ|<，解得φ＝－，所以f(x)＝2sin.
因?yàn)?
39、in在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的最大值為( )
A． B．1
C．2 D．4
解析：選C.法一：因?yàn)閤∈，所以ωx＋∈，因?yàn)閒(x)＝2sin在上單調(diào)遞增，所以＋≤，所以ω≤2，即ω的最大值為2，故選C.
法二：逐個(gè)選項(xiàng)代入函數(shù)f(x)進(jìn)行驗(yàn)證，選項(xiàng)D不滿足條件，選項(xiàng)A、B、C滿足條件f(x)在上單調(diào)遞增，所以ω的最大值為2，故選C.
8．(2019·福州市第一學(xué)期抽測(cè))已知函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上單調(diào)遞增，則m的最大值是( )
A． B．
C． D．π
解析：選C.由題意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，由－＋2kπ≤2x－≤
40、＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，k＝0時(shí)，－≤x≤，即函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0，m]上單調(diào)遞增，所以0f，則f(x)取最大值時(shí)x的值為( )
A．＋kπ，k∈Z B．＋kπ，k∈Z
C．＋kπ，k∈Z D．－＋kπ，k∈Z
解析：選C.由f＝f(x)得f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，即當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得最值，所以2×＋φ＝nπ＋，n∈Z，φ＝nπ＋，n∈Z.又f(π)>f ，所以sin(2π＋φ)>
41、sin(π＋φ)，即sin φ>－sin φ，得sin φ>0，所以n∈Z，且n為偶數(shù)．不妨取n＝0，即φ＝，當(dāng)f(x)取最大值時(shí)，2x＋＝2kπ＋，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，故選C.
10．(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)已知A是函數(shù)f(x)＝sin＋cos的最大值，若存在實(shí)數(shù)x1，x2使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，總有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，則A|x1－x2|的最小值為( )
A． B．
C． D．
解析：選B.f(x)＝sin＋cos＝sin 2 018x＋cos 2 018x＋cos 2 018x＋sin 2 018x＝sin 2 018x＋cos 2 018x＝2s
42、in，故A＝f(x)max＝2，f(x)的最小正周期T＝＝.又存在實(shí)數(shù)x1，x2使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，總有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，所以f(x2)＝f(x)max，f(x1)＝f(x)min，故A|x1－x2|的最小值為A×T＝，故選B.
11．(多選)已知函數(shù)f(x)＝sin4x－cos4x，則下列說法正確的是( )
A．f(x)的最小正周期為π
B．f(x)的最大值為2
C．f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
D．f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增
解析：選ACD.因?yàn)閒(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π，f(x)
43、的最大值為1.
因?yàn)閒(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因?yàn)閥＝cos 2x在上單調(diào)遞減，所以f(x)＝－cos 2x在上單調(diào)遞增，故選ACD.
12．(多選)已知函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)，若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．φ＝
B.是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
C．f(φ)＝－2
D．x＝－是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸
解析：選ABD.由題意得，平移后的函數(shù)g(x)＝f＝2sin的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則－＋φ＝＋kπ，k∈Z，因?yàn)?/p>
44、0<φ<π，所以φ＝，故A正確；f(x)＝2sin，由2x＋＝kπ，k∈Z，得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為－＋，k∈Z，故是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；f(φ)＝2sin＝2sin ＝2，故C不正確；由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，所以x＝－是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，故D正確．
13．(多選)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)g(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象．已知函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法正確的是( )
A．f(x)的最小正周期為π，最大值為2
B．f(x)的圖象關(guān)于
45、點(diǎn)中心對(duì)稱
C．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱
D．f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減
解析：選ACD.由圖可知，A＝2，T＝4×＝，所以ω＝＝3.
又由g＝2可得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，且|φ|<，所以φ＝－.
所以g(x)＝2sin，
所以f(x)＝2sin.
所以f(x)的最小正周期為π，最大值為2，選項(xiàng)A正確．
對(duì)于選項(xiàng)B，令2x＋＝k′π(k′∈Z)，得x＝－(k′∈Z)，所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為(k′∈Z)，由－＝，
得k′＝，不符合k′∈Z，B錯(cuò)誤．
對(duì)于選項(xiàng)C，令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝＋(k∈Z)
46、，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝，故C正確．
當(dāng)x∈[，]時(shí)，2x＋∈，所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)D正確．故選ACD.
二、填空題
14．已知函數(shù)f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)為奇函數(shù)，A(a，0)，B(b，0)是其圖象上兩點(diǎn)，若|a－b|的最小值是1，則f＝________．
解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)為奇函數(shù)，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝，所以f(x)＝－4sin ωx，又A(a，0)，B(b，0)是其圖象上兩點(diǎn)，且|a－b|的最小值是1，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sin
47、 πx，所以f＝－4sin ＝－2.
答案：－2
15．(2019·長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(二))定義在[0，π]上的函數(shù)y＝sin(ω>0)有零點(diǎn)，且值域M?，則ω的取值范圍是________．
解析：由0≤x≤π，得－≤ωx－≤ωπ－，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－.因?yàn)楹瘮?shù)y＝sin在[0，π]上有零點(diǎn)，所以0≤ωπ－，ω≥.因?yàn)橹涤騇?，所以ωπ－≤π＋，ω≤，從而≤ω≤.
答案：
16．(2019·蓉城名校第一次聯(lián)考)已知關(guān)于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是________．
解析：因?yàn)?sin2x－sin 2x＋m－1＝0，
所以1－
48、cos 2x－sin 2x＋m－1＝0，
所以cos 2x＋sin 2x－m＝0，
所以2sin＝m，即sin＝.
方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即y＝sin，x∈的圖象與y＝的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)．作出y＝sin，x∈及y＝的圖象如圖所示，則－1<<－，
即－20，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值為，則f＝________，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．
解析：函數(shù)f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值為，得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.所以f(x)＝sin＋.則f＝sin ＋＝.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z.
答案： ，k∈Z
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（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題一 三角函數(shù)與解三角形 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí)（含解析）
