2020屆高考數學總復習 第十二章 選修四 12-1 坐標系課時作業(yè) 文（含解析）新人教A版

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1、12-1 坐標系 課時作業(yè) A組——基礎對點練 1．在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求C1，C2的極坐標方程． (2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積． 【解析】(1)因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的極坐標方程為ρcos θ＝－2，C2的極坐標方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)法一：將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2

2、，ρ2＝， 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于C2的半徑為1，所以△C2MN的面積為. 法二：直線C3的直角坐標方程為x－y＝0，圓C2的圓心C2(1，2)到直線C3的距離d＝＝，圓C2的半徑為1， ∴|MN|＝2×＝，所以△C2MN的面積為. 2．(2019·合肥質檢)已知直線l的參數方程為(t為參數)．以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸的極坐標軸中，曲線C的方程為sin θ－ρ cos2θ＝0. (1)求曲線C的直線坐標方程． (2)寫出直線l與曲線C交點的一個極坐標． 【解析】(1)∵sin θ－ρcos2θ＝0， ∴ρsin θ－ρ2cos2θ＝0，即y－x2＝0

3、. (2)將 代入y－x2＝0， 得＋t－＝0，即t＝0. 從而交點坐標為(1，)． ∴交點的一個極坐標為. 3．在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數，t≠0)，其中0≤α<π.在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點的直角坐標． (2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值. 【解析】(1)曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0， 聯立 解得或 所以C2與C3交點的直角坐標為(0，0)和. (2)曲線C

4、1的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A的極坐標為(2sin α，α)，B的極坐標為(2cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4. 當α＝時，|AB|取得最大值，最大值為4. 4．在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t為參數，a>0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程． (2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 【解析】(1)消去參數t得到C1的普

5、通方程為x2＋(y－1)2＝a2，則C1是以(0，1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中， 得到C1的極坐標方程為 ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2， 得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 從而1－a2＝0， 解得a＝－1(舍去)或a＝1. 當a＝1時， 極點也為C1，C2的公共點，且在C3上． 所以a＝1. B組——能力提升練 1．設M，N分別是曲線ρ＋2s

6、in θ＝0和ρsin＝上的動點，求M，N的最小距離． 【解析】因為M，N分別是曲線ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的動點，即M，N分別是圓x2＋y2＋2y＝0和直線x＋y－1＝0上的動點，要求M，N兩點間的最小距離，即在直線x＋y－1＝0上找一點到圓x2＋y2＋2y＝0的距離最小，即圓心(0，－1)到直線x＋y－1＝0的距離減去半徑，故最小值為－1＝－1. 2．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4cos θ. (1)求出圓C的直角坐標方程． (2)已知圓C與x軸相交于A，B兩點，直線l：y＝2x關于點M(0，m)(m≠0

7、)對稱的直線為l′.若直線l′上存在點P使得∠APB＝90°，求實數m的最大值． 【解析】(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2－4x＝0，故圓C的直角坐標方程為x2＋y2－4x＝0. (2)l：y＝2x關于點M(0，m)對稱的直線l′的方程為y＝2x＋2m，而AB為圓C的直徑，故直線l′上存在點P使得∠APB＝90°的充要條件是直線l′與圓C有公共點，故≤2，解得－2－≤m≤－2，于是，實數m的最大值為－2. 3．(2019·珠海摸底)在直角坐標系xOy中，直線l過定點P且與直線OP垂直．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsi

8、n2θ－2cos θ＝0. (1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的參數方程． (2)設直線l與曲線C交于A，B兩點，求＋的值． 【解析】(1)曲線C的直角坐標方程為y2＝2x 直線l的參數方程為(t為參數)． (2)設A、B對應的參數分別為t1，t2 將直線l與曲線C的方程聯立得t2－8t＋4＝0 則t1，t2是方程的兩根 則 故t1，t2同正． ∴＋＝＝＝＝2. 4．(2019·武昌調考)在以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C1的極坐標方程為ρ＝2 sin θ，正方形ABCD的頂點都在C1上，且依次按逆時針方向排列，點A的極坐標為. (1)求點C的

9、直角坐標． (2)若點P在曲線C2：x2＋y2＝4上運動，求|PB|2＋|PC|2的取值范圍． 【解析】(1)點A的直角坐標為(1，1)． 由A，C關于y軸對稱， 則C(－1，1)． (2)易得B(0，2)，C(－1，1)． 曲線C1：ρ＝2sin θ的直角坐標方程為x2＋(y－1)2＝1. 設P(x，y)，x＝2cos θ，y＝2sin θ， 則|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－2)2＋(x＋1)2＋(y－1)2 ＝2x2＋2y2－6y＋2x＋6 ＝14＋2(x－3y) ＝14＋2(2cos θ－6sin θ) ＝14＋4(cos θ－3sinθ) ＝14＋4cos(θ＋φ)． 所以|PB|2＋|PC|2∈[14－4，14＋4]． 5