高中數(shù)學 第一章 統(tǒng)計 1_2_2 分層抽樣與系統(tǒng)抽樣第2課時分層抽樣教案 北師大版必修31

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第2課時　分層抽樣 導入新課　　　　　 思路1.中國共產黨第十八次代表大會的代表名額原則上是按各選舉單位的黨組織數(shù)、黨員人數(shù)進行分配的，并適當考慮前幾次代表大會代表名額數(shù)等因素．按照這一分配辦法，各選舉單位的代表名額，比十七大時都有增加．另外，按慣例，中央將確定一部分已經退出領導崗位的老黨員作為特邀代表出席大會．這種產生代表的方法是簡單隨機抽樣還是系統(tǒng)抽樣？教師點出課題：分層抽樣． 思路2.我們已經學習了兩種抽樣方法：簡單隨機抽樣和系統(tǒng)抽樣，本節(jié)課我們學習分層抽樣． 推進新課　　　　　 1．假設某地區(qū)有高中生2 400人，初中生10 900人，小學生11 000人，此地區(qū)教育部門為了了解本地區(qū)中小學的近視情況及其形成原因，要從本地區(qū)的學生中抽取1%的學生進行調查，你認為應當怎樣抽取樣本？ 2．想一想為什么這樣取各個學段的個體數(shù)？ 3．請歸納分層抽樣的定義． 4．請歸納分層抽樣的步驟． 5．分層抽樣時應如何分層？其適用于什么樣的總體？ 討論結果： 1．分別利用系統(tǒng)抽樣在高中生中抽取2 4001%＝24人，在初中生中抽取10 9001%＝109人，在小學生中抽取11 0001%＝110人．這種抽樣方法稱為分層抽樣． 2．含有個體多的層，在樣本中的代表也應該多，即樣本從該層中抽取的個體數(shù)也應該多．這樣的樣本才有更好的代表性． 3．一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣的方法叫分層抽樣． 4．分層抽樣的步驟： (1)分層：按某種特征將總體分成若干部分(層)； (2)按抽樣比確定每層抽取個體的個數(shù)； (3)各層分別按簡單隨機抽樣的方法抽取樣本； (4)綜合每層抽樣，組成樣本． 5．分層抽樣又稱類型抽樣，應用分層抽樣應遵循以下要求： (1)分層時將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復、不遺漏的原則，即保證樣本結構與總體結構一致性． (2)分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比與這層個體數(shù)量與總體容量的比相等． (3)當總體個體差異明顯時，采用分層抽樣． 思路1 例 某地農田分布在山地、丘陵、平原、洼地不同的地形上，要對這個地區(qū)的農作物產量進行調查，應當采用什么抽樣方法？ 解：顯然不同類型的農田之間的產量有較大差異，應當采用分層抽樣的方法，對不同類型的農田按其占總數(shù)的比例來抽取樣本． 點評：在每個層中進行抽樣時，大多數(shù)情況下是采用簡單隨機抽樣，有時也會用到其他的抽樣方法，這要根據(jù)問題的需要來決定. 變式訓練 1．某公司有1 000名員工，其中：高層管理人員占5%，屬于高收入者；中層管理人員占15%，屬于中等收入者；一般員工占80%，屬于低收入者．要對這個公司員工的收入情況進行調查，欲抽取100名員工，應當怎樣進行抽樣？ 解：我們可以采用分層抽樣的方法，按照收入水平分成三個層：高收入者、中等收入者、低收入者．可抽取5名高級管理人員、15名中層管理人員、80名一般員工，再對收入狀況分別進行調查． 2．某市有大型、中型與小型的商店共1 500家，它們的家數(shù)之比為1∶5∶9.要調查商店的每日零售額情況，要求抽取其中的15家商店進行調查，應當采用怎樣的抽樣方法？ 解：在這個問題中，商店有大型、中型和小型之分，商店的每日零售額直接受到商店規(guī)模的影響，如果采用簡單隨機抽樣的方法，可能使抽樣的結果不具有代表性．從題目中數(shù)據(jù)可以看出，最好是：從100家大型商店中抽出1個代表，從500家中型商店中抽出5個代表，從900家小型商店中抽出9個代表．因此，我們要對每個類型的商店分別進行抽樣. 思路2 例1 一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了了解這個單位職工與身體狀況有關的某項指標，要從中抽取100名職工作為樣本，若職工年齡與這項指標有關，應該怎樣抽??？ 分析：由于職工年齡與這項指標有關，所以應選取分層抽樣來抽取樣本． 解：用分層抽樣來抽取樣本，步驟是： (1)分層：按年齡將150名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲以上的職工． (2)確定每層抽取個體的個數(shù)．抽樣比為＝，則在不到35歲的職工中抽125＝25人；在35歲至49歲的職工中抽280＝56人；在50歲以上的職工中抽95＝19人． (3)在各層分別按抽簽法或隨機數(shù)表法抽取樣本． (4)綜合每層抽樣，組成樣本． 點評：本題主要考查分層抽樣及其實施步驟．如果總體中的個體有差異時，那么就用分層抽樣抽取樣本．用分層抽樣抽取樣本時，要把性質、結構相同的個體組成一層. 變式訓練 1．某市的3個區(qū)共有高中學生20 000人，且3個區(qū)的高中學生人數(shù)之比為2∶3∶5，現(xiàn)要從所有學生中抽取一個容量為200的樣本，調查該市高中學生的視力情況，試寫出抽樣過程． 分析：由于該市高中學生的視力有差異，按3個區(qū)分成三層，用分層抽樣來抽取樣本．在3個區(qū)分別抽取的學生人數(shù)之比也是2∶3∶5，所以抽取的學生人數(shù)分別是200＝40；200＝60；200＝100. 解：用分層抽樣來抽取樣本，步驟是： (1)分層：按區(qū)將20 000名高中生分成三層； (2)確定每層抽取個體的個數(shù)．在這3個區(qū)抽取的學生數(shù)目分別是40,60,100； (3)在各層分別按隨機數(shù)表法抽取樣本； (4)綜合每層抽樣，組成樣本． 2．某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，為了調查他們的身體狀況，從他們中抽取容量為36的樣本，最適合抽取樣本的方法是(　　)． A．簡單隨機抽樣 B．系統(tǒng)抽樣 C．分層抽樣 D．先從老年人中剔除1人，再用分層抽樣 解析：總人數(shù)為28＋54＋81＝163.樣本容量為36，由于總體由差異明顯的三部分組成，考慮用分層抽樣．若按36∶163取樣，無法得到整解，故考慮先剔除1人，抽取比例變?yōu)?6∶162＝2∶9，則中年人取12人，青年人取18人，先從老年人中剔除1人，老年人取6人，組成容量為36的樣本． 答案：D 例2 某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測．若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是(　　)． A．4 B．5 C．6 D．7 解析：抽樣比為＝，則抽取的植物油類食品種數(shù)是10＝2，則抽取的果蔬類食品種數(shù)是20＝4.故所抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是2＋4＝6. 答案：C 點評：如果A，B，C三層含有的個體數(shù)目分別是x，y，z，在A，B，C三層應抽取的個體數(shù)目分別是m，n，p，那么有x∶y∶z＝m∶n∶p；如果總體有N個個體，所抽取的樣本容量為n，某層所含個體數(shù)目為a，在該層抽取的樣本數(shù)目為b，那么有＝. 變式訓練 1．某校有學生2 000人，其中高三學生500人．為了解學生的身體素質情況，采用按年級分層抽樣的方法，從該校學生中抽取一個200人的樣本．則樣本中高三學生的人數(shù)為__________． 解析：因為抽樣比為＝，所以樣本中高三學生的人數(shù)為500＝50. 答案：50 2.甲校有3 600名學生，乙校有5 400名學生，丙校有1 800名學生，為統(tǒng)計三校學生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個容量為90人的樣本，應在這三校分別抽取學生(　　)． A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人 C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人 解析：因抽樣比是＝，故應在這三校分別抽取學生：3 600＝30人，5 400＝45人，1 800＝15人． 答案：B 1．某城區(qū)有農民、工人、知識分子家庭共計2 000戶，其中農民家庭1 800戶，工人家庭100戶．現(xiàn)要從中抽取容量為40的樣本，調查家庭收入情況，則在整個抽樣過程中，可以用到下列抽樣方法中的(　　)． ①簡單隨機抽樣?、谙到y(tǒng)抽樣　③分層抽樣 A．②③ B．①③ C．③ D．①②③ 解析：由于各家庭有明顯差異，所以首先應用分層抽樣的方法分別從農民、工人、知識分子三類家庭中抽出若干戶，即36戶、2戶、2戶．又由于農民家庭戶數(shù)較多，那么在農民家庭這一層宜采用系統(tǒng)抽樣；而工人、知識分子家庭戶數(shù)較少，宜采用簡單隨機抽樣法．故整個抽樣過程要用到①②③三種抽樣法． 答案：D 2．某地區(qū)有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．為了掌握各商店的營業(yè)情況，要從中抽取一個容量為20的樣本．若采用分層抽樣的方法，抽取的中型商店數(shù)是__________． 答案：5 3．某校500名學生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，為了研究血型與色弱的關系，需從中抽取一個容量為20的樣本，怎樣抽取樣本？ 分析：由于研究血型與色弱的關系，按血型分層，用分層抽樣抽取樣本．利用抽樣比確定抽取各種血型的人數(shù)． 解：用分層抽樣抽取樣本． ∵＝，即抽樣比為， ∴200＝8,125＝5,50＝2. 故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人． 抽樣步驟： (1)確定抽樣比； (2)按比例分配各層所要抽取的個體數(shù)，O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人； (3)用簡單隨機抽樣分別在各種血型中抽取樣本，直至取出容量為20的樣本． 某高級中學有學生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1,2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時，將學生統(tǒng)一隨機編號為1,2，…，270，并將整個編號依次分為10段．如果抽得號碼有下列四種情況： ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254； ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 關于上述樣本的下列結論中，正確的是(　　)． A．②③都不能為系統(tǒng)抽樣 B．②④都不能為分層抽樣 C．①④都可能為系統(tǒng)抽樣 D．①③都可能為分層抽樣 解析：如果按分層抽樣抽取時，在一年級抽取108＝4人，在二、三年級各抽取81＝3人，則在號碼段1,2，…，108中抽取4個號碼，在號碼段109,110，…，189中抽取3個號碼，在號碼段190,191，…，270中抽取3個號碼，①②③符合，于是①②③可能是分層抽樣，因為④不符合，所以④不可能是分層抽樣；如果按系統(tǒng)抽樣時，抽取出的號碼應該是“等距”的，①③符合，②④不符合．因此①③都可能為系統(tǒng)抽樣，②④都不能為系統(tǒng)抽樣． 答案：D 點評：根據(jù)樣本的號碼判斷抽樣方法時，要緊扣三類抽樣方法的特征．利用簡單隨機抽樣抽取出的樣本號碼沒有規(guī)律性；利用分層抽樣抽取出的樣本號碼有規(guī)律性，即在每一層抽取的號碼個數(shù)m等于該層所含個體數(shù)目與抽樣比的積，并且應該恰有m個號碼在該層的號碼段內；利用系統(tǒng)抽樣抽取出的樣本號碼也有規(guī)律性，其號碼按從小到大的順序排列，則所抽取的號碼是：l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k.其中，n為樣本容量，l是第一組中的號碼，k為分段間隔＝. 本節(jié)課學習了分層抽樣的定義及其實施步驟． 習題1—2　1,3. 本節(jié)課重視從學生的生活經驗和已有知識中學習數(shù)學和理解數(shù)學．首先為教科書內容選擇生活背景，讓學生體驗數(shù)學問題來源于生活實際；其次，大膽調用學生熟知的生活經驗，使數(shù)學學習變得易于理解掌握；最后，善于聯(lián)系生活實際有機改編教科書習題，讓學生在實踐活動中理解掌握知識，變“學了做”為“做中學”． 抽樣調查及其主要方法 抽樣調查可以分為兩類，即概率抽樣和非概率抽樣．概率抽樣是按照隨機原則進行抽樣，不加主觀因素，組成總體的每個單位都有被抽中的概率(非零概率)，可以避免樣本出現(xiàn)偏差，樣本對總體有很強的代表性．非概率抽樣是按主觀意向進行的抽樣(非隨機的)，組成總體的很大部分單位沒有被抽中的機會(零概率)，使調查很容易出現(xiàn)傾向性偏差． 現(xiàn)在被廣泛應用的抽樣調查是概率抽樣．因此，現(xiàn)在的抽樣調查是指概率抽樣，其定義為：抽樣調查，又稱抽樣推斷，是一種重要的、科學的非全面調查方法．它根據(jù)調查的目的和任務要求，按照隨機原則，從若干單位組成的事物總體中，抽取部分樣本單位來進行調查、觀察，用所得到的調查標志的數(shù)據(jù)來推斷總體． 抽樣調查按抽樣的組織形式劃分，有以下幾種主要方法： (1)簡單隨機抽樣(也叫純隨機抽樣，SPS抽樣)．也就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調查單位．特點是：每個樣本單位被抽中的概率相等，樣本的每個單位完全獨立，彼此之間無一定的關聯(lián)性和排斥性．簡單隨機抽樣是其他各種抽樣形式的基礎．通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法． (2)等距抽樣(也叫機械抽樣或系統(tǒng)抽樣，SYS抽樣)．是將總體各單位按一定標志或次序排列成為圖形或一覽表式(也就是通常所說的排隊)，然后按相等的距離或間隔抽取樣本單位．特點是：抽出的單位在總體中是均勻分布的，而且抽取的樣本可少于純隨機抽樣．等距抽樣既可以用同調查項目相關的標志排隊，也可以用同調查項目無關的標志排隊．等距抽樣是實際工作中應用較多的方法，目前我國城鄉(xiāng)居民收支等調查，都是采用這種方式． (3)類型抽樣(也叫分層抽樣，STR抽樣)．就是將總體單位按其屬性特征分成若干類型或層，然后在類型或層中隨機抽取樣本單位．特點是：由于通過劃類分層，增大了各類型中單位間的共同性，容易抽出具有代表性的調查樣本．該方法適用于總體情況復雜，各單位之間差異較大，單位較多的情況． (4)整群抽樣(又稱集團抽樣)．就是從總體中成群成組地抽取調查單位，而不是一個一個地抽取調查樣本．特點是：調查單位比較集中，調查工作的組織和進行比較方便．但調查單位在總體中的分布不均勻，準確性要差些．因此，在群間差異性不大或者不適宜單個地抽選調查樣本的情況下，可采用這種方式． (5)多階抽樣(又稱多級抽樣)．就是將調查分成兩個或兩個以上的階段進行抽樣．第一階段先將總體按照一定的規(guī)范分成若干抽樣單位，稱之為一級抽樣單位(或稱初級抽樣單位)，再把抽中的一級抽樣單位分成若干更小的二級抽樣單位，從抽中的二級抽樣單位再分三級抽樣單位，等等，這樣就形成一個多階段抽樣過程．特點是，在對超大而又復雜總體調查的抽樣中實施和管理更加方便，且不需要對每級抽樣單位編制完全的抽樣框． (6)二重抽樣(又稱兩相抽樣)．就是先抽取一個容量比較大的初始樣本，用初始樣本估計總體的某些參數(shù)或某些必要的信息作為分層的比例或再次抽樣的標志，然后將抽出的初始大樣本作為“總體”，從中抽取容量合適的樣本進行比較詳細的調查．特點是，適合用于對總體信息了解比較少的調查． (7)比率抽樣(PPS抽樣)．就是將總體按一種準確的標準劃分出容量不等的具有相同標志的單位在總體中不同比率分配的樣本量進行的抽樣．特點是，總體中含量大的部分被抽中的概率也大，可以提高樣本的代表性． 在抽樣調查的實際工作中，經常是要將幾種抽樣方法結合起來應用．比如，城市居民的收支調查，是將二重抽樣、多階段抽樣、分層抽樣、機械抽樣等多種方法結合起來使用． 在現(xiàn)實的商業(yè)性的市場調查中也有非概率抽樣的應用．如，配額抽樣、隨意抽樣、志愿者抽樣、判斷抽樣、修正的概率抽樣和滾雪球抽樣等，由于這些抽樣方法容易出現(xiàn)偏差，所以只在對共性特別強的群體的商業(yè)性調查中應用．