高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì) 4 數(shù)據(jù)的數(shù)字特征學(xué)案 北師大版必修31

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4　數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 1．能結(jié)合具體情境理解不同數(shù)字特征的意義，并能根據(jù)問(wèn)題的需要選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)字特征來(lái)表達(dá)數(shù)據(jù)的信息． 2．通過(guò)實(shí)例理解數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差． 1．眾數(shù) (1)定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)________的數(shù)稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． (2)特征：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能________個(gè)，也可能沒(méi)有，它反映了該組數(shù)據(jù)的________． 眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使其無(wú)法客觀地反映總體特征． 2．中位數(shù) (1)定義：一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排成一列，處于________位置的數(shù)稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． (2)特征：一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是________的，反映了該組數(shù)據(jù)的________． 中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線(xiàn)，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)． 【做一做1】某班50名學(xué)生右眼視力的檢查結(jié)果如下表所示： 視力 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5 人數(shù) 1 1 3 4 3 4 4 6 8 10 6 則該班學(xué)生右眼視力的眾數(shù)為_(kāi)_________，中位數(shù)為_(kāi)_________． 3．平均數(shù) (1)定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商叫做這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為＝________________. (2)特征：平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表該組數(shù)據(jù)的________．任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的變化，這是________和________都不具有的性質(zhì)．所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的________，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的________的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低． 【做一做2】對(duì)甲、乙二人的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行抽樣分析，各抽4門(mén)功課，得到的觀測(cè)值如下： 甲 65 82 80 85 乙 75 65 70 90 問(wèn)：甲、乙誰(shuí)的平均成績(jī)較好？ 4．標(biāo)準(zhǔn)差 (1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，通常用以下公式來(lái)計(jì)算 s＝________________________________________________________________________. 可以用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差． (2)特征：標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞________波動(dòng)的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度和離散程度的大小．標(biāo)準(zhǔn)差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較________；標(biāo)準(zhǔn)差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較______． 【做一做3】從某項(xiàng)綜合能力測(cè)試中抽取100人的成績(jī)?nèi)缦卤?，則這100人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為(　　)． 分?jǐn)?shù) 5 4 3 2 1 人數(shù) 20 10 30 30 10 A． B． C．3 D． 5．方差 (1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即 s2＝________________________________________________________________________. (2)特征：與標(biāo)準(zhǔn)差的作用________，描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。? (3)取值范圍：________. 數(shù)據(jù)組x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則數(shù)據(jù)組ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b為非零常數(shù))的平均數(shù)為a＋b，方差為a2s2，標(biāo)準(zhǔn)差為as. 【做一做4】下列能刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)離散程度的是(　　)． A．平均數(shù) B．方差 C．中位數(shù) D．眾數(shù) 6．極差 (1)定義：一組數(shù)據(jù)的最______值與最______值的差稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的極差． (2)特征：表示該組數(shù)據(jù)之間的差異情況． 極差利用了數(shù)據(jù)組中最大和最小的兩個(gè)值，對(duì)極值過(guò)于敏感．但由于只涉及兩個(gè)數(shù)據(jù)，便于得到，所以極差在實(shí)際中也經(jīng)常應(yīng)用． 【做一做5】一組數(shù)據(jù)3，－1，0，2，x的極差是5，則x＝__________. 平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差(方差)這兩個(gè)數(shù)字特征在實(shí)際問(wèn)題中如何應(yīng)用？ 剖析：平均數(shù)反映的是數(shù)據(jù)的平均水平，在實(shí)際應(yīng)用中，平均數(shù)常被理解為平均水平．標(biāo)準(zhǔn)差反映的是數(shù)據(jù)的離散程度的大小，反映了各個(gè)樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周?chē)某潭?，?biāo)準(zhǔn)差越小表明在樣本平均數(shù)的周?chē)郊?；反之，?biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的兩邊越分散．在實(shí)際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差常被理解為穩(wěn)定性，常常與平均數(shù)結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題． 例如，要從甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員中選一名參加2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)，如果你是教練，你會(huì)制定怎樣的選拔標(biāo)準(zhǔn)？制定怎樣的選拔方案？ 選拔標(biāo)準(zhǔn)是：要考慮射擊運(yùn)動(dòng)員的射擊水平即平均射擊環(huán)數(shù)，再就是考慮射擊運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮的穩(wěn)定性．當(dāng)射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)不相同時(shí)，選擇平均數(shù)較大的運(yùn)動(dòng)員；當(dāng)射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)相同時(shí)，選擇發(fā)揮穩(wěn)定(標(biāo)準(zhǔn)差較小)的運(yùn)動(dòng)員． 選拔方案：讓這兩名運(yùn)動(dòng)員在相同的環(huán)境中進(jìn)行相同次數(shù)的射擊，比如參加射擊世錦賽、世界杯、國(guó)際邀請(qǐng)賽、熱身賽或國(guó)內(nèi)比賽，并記錄每次射擊的環(huán)數(shù)．然后計(jì)算兩名運(yùn)動(dòng)員射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差，再根據(jù)選拔標(biāo)準(zhǔn)作出選擇． 題型一 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的應(yīng)用 【例題1】某公司30名職工的月工資(單位：元)如下： 職務(wù) 董事長(zhǎng) 副董事長(zhǎng) 董事 總經(jīng)理 經(jīng)理 管理員 職員 人數(shù) 1 1 2 1 2 3 20 工資 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 (1)求該公司職工的月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)． (2)假設(shè)副董事長(zhǎng)的工資從5 000元提升到20 000元，董事長(zhǎng)的工資從5 500元提升到30 000元，那么該公司職工的月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少？(精確到元) (3)你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司職工的月工資水平？結(jié)合此問(wèn)題談一談你的看法． 分析：根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念求解． 反思：平均數(shù)是將所有的數(shù)據(jù)都考慮進(jìn)去得到的量，它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)最常用的量，中位數(shù)可靠性較差，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，常用中位數(shù)表示該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．而眾數(shù)求法較簡(jiǎn)便，也經(jīng)常被用到．考查一組數(shù)據(jù)的特征時(shí)，這三個(gè)數(shù)字特征要結(jié)合在一起考慮． 大多情況下人們會(huì)把眼光僅停留在工資表中的最大值與最小值處，把最高工資作為一個(gè)單位工資的評(píng)價(jià)，這是一種錯(cuò)誤的評(píng)價(jià)方式． 題型二 標(biāo)準(zhǔn)差、方差的計(jì)算 【例題2】已知一個(gè)樣本為x,1，y,5，其中x，y是方程組的解，則這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是(　　)． A．2 B． C．5 D． 反思：深刻理解平均數(shù)、方差的計(jì)算公式，靈活應(yīng)用x＋y＝2和x2＋y2＝10進(jìn)行整體求解是提高解題速度的關(guān)鍵． 題型三 綜合應(yīng)用題 【例題3】對(duì)劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙二人在相同的條件下進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們最大速度(m/s)的數(shù)據(jù)如下： 甲：27,38,30,37,35,31； 乙：33,29,38,34,28,36. 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰(shuí)更優(yōu)秀． 分析：分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均值與方差，然后加以比較并作出判斷． 反思：判斷甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的優(yōu)劣，通常用平均數(shù)和方差作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)比較，當(dāng)平均數(shù)相同時(shí)，還應(yīng)考察他們的成績(jī)波動(dòng)情況(方差)，以達(dá)到判斷上的合理性和全面性． 1(2011廣東汕頭期中，6)若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是(　　)． A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92 2甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，現(xiàn)要檢驗(yàn)它們的運(yùn)行情況，統(tǒng)計(jì)10天中兩臺(tái)機(jī)床每天出的次品數(shù)分別為甲：0,1,0,2,2,0,3,1,2,4；乙：2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.則出次品數(shù)較少的為(　　)． A．甲 B．乙 C．相同 D．不能比較 3已知一個(gè)樣本中含有5個(gè)數(shù)據(jù)3,5,7,4,6，則樣本方差為(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 4已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差是a，那么另一組數(shù)據(jù)x1－2，x2－2，…，xn－2的方差是________． 5對(duì)甲、乙的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行抽樣分析，各抽5門(mén)功課，得到的觀測(cè)值如下： 甲 60 80 70 90 70 乙 80 60 70 80 75 問(wèn)：甲、乙誰(shuí)的平均成績(jī)較好？誰(shuí)的各門(mén)功課發(fā)展較平衡？ 答案： 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1．(1)最多　(2)不止一　集中趨勢(shì) 2．(1)中間　(2)唯一　集中趨勢(shì) 【做一做1】1.2　0.8 3．(1)　(2)平均水平　眾數(shù)　中位數(shù) 信息　極端值 【做一做2】解：甲＝(65＋82＋80＋85)＝78， 乙＝(75＋65＋70＋90)＝75， ∴甲的平均成績(jī)較好． 4．(1) (2)平均數(shù)　大　小 【做一做3】B　這100人的總成績(jī)?yōu)?20＋410＋330＋230＋110＝300，則平均成績(jī)?yōu)椋?，則這100人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為 ＝. 5．(1)[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]　(2)相同　(3)[0，＋∞) 【做一做4】B　方差能刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)離散程度的大?。? 6．(1)大　小 【做一做5】－2或4 典型例題領(lǐng)悟 【例題1】解：(1)平均數(shù)是 ＝2 050(元)，中位數(shù)是1 500元，眾數(shù)是1 500元． (2)平均數(shù)是 ≈3 367(元)， 中位數(shù)是1 500元，眾數(shù)是1 500元． (3)在這個(gè)問(wèn)題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司職工的月工資水平．因?yàn)楣局猩贁?shù)人的月工資與大多數(shù)人的月工資差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與職工整體月工資的偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司職工的月工資水平． 【例題2】D　∵x＋y＝2，x2＋y2＝10， ∴＝(x＋1＋y＋5)＝[(x＋y)＋6]＝2， s2＝[(x－2)2＋(1－2)2＋(y－2)2＋(5－2)2] ＝[(x2＋y2)－4(x＋y)＋18]＝20＝5， ∴s＝＝. 【例題3】解：甲＝(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33， s甲2＝[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2] ＝94≈15.7， 乙＝(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33， s乙2＝[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2] ＝76≈12.7. ∴甲＝乙，s甲2＞s乙2． 這說(shuō)明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更穩(wěn)定，故乙比甲更優(yōu)秀． 隨堂練習(xí)鞏固 1．A?。?0＋(－1－3＋3＋1＋6＋4＋0＋2)＝91.5.中位數(shù)＝＝91.5. 2．B　甲＝1.5，乙＝1.2. 3．B?。剑?， 則方差s2＝[(3－5)2＋(5－5)2＋(7－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2]＝2. 4．a(chǎn)　將一組數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)數(shù)，所得新數(shù)據(jù)的方差與原數(shù)據(jù)的方差相等． 5．解：甲＝(60＋80＋70＋90＋70)＝74； 乙＝(80＋60＋70＋80＋75)＝73. s甲2＝(142＋62＋42＋162＋42)＝104； s乙2＝(72＋132＋32＋72＋22)＝56. ∵甲＞乙，s甲2＞s乙2， ∴甲的平均成績(jī)較好，乙的各門(mén)功課發(fā)展較平衡．