高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 學(xué)業(yè)分層測評5 直角三角形的射影定理 新人教A版選修4-1

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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 學(xué)業(yè)分層測評5 直角三角形的射影定理 新人教A版選修4-1 (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．在△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，則AC∶BC的值是(　　) A．3∶2　　　　 B．9∶4 C.∶ D.∶ 【解析】　如圖，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝ADAB， BC2＝BDAB， 又∵AD＝3，BD＝2， ∴AB＝AD＋BD＝5， ∴AC2＝35＝15，BC2＝25＝10. ∴＝＝，即AC∶BC＝∶， 故選C. 【答案】　C 2.如圖149所示，在△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，D為垂足，若CD＝6，AD∶DB＝1∶2，則AD的值是(　　) 圖149 A．6 B．3 C．18 D．3 【解析】　由題意知 ∴AD2＝18， ∴AD＝3. 【答案】　B 3．一個直角三角形的一條直角邊為3 cm，斜邊上的高為2.4 cm，則這個直角三角形的面積為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07370021】 A．7.2 cm2 B．6 cm2 C．12 cm2 D．24 cm2 【解析】　長為3 cm的直角邊在斜邊上的射影為＝1.8(cm)，由射影定理知斜邊長為＝5(cm)， ∴三角形面積為52.4＝6(cm2)． 【答案】　B 4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC于點(diǎn)D，若＝，則等于(　　) A.　　 B. C.　　 D. 【解析】　如圖，由射影定理，得AC2＝CDBC，AB2＝BDBC， ∴＝＝2， 即＝， ∴＝. 【答案】　C 5．在Rt△ACB中，∠ACB＝90，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，則tan∠BCD的值是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07370022】 A. 　　　 B.　　　 C.　　　 D．2 【解析】　如圖，由射影定理得CD2＝ADBD. 又∵BD∶AD＝1∶4， 令BD＝x，則AD＝4x(x>0)， ∴CD2＝ADBD＝4x2，∴CD＝2x， 在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝. 【答案】　C 二、填空題 6．如圖1410，在矩形ABCD中，AE⊥BD，OF⊥AB.DE∶EB＝1∶3，OF＝a，則對角線BD的長為________． 圖1410 【解析】　∵OF＝a， ∴AD＝2a. ∵AE⊥BD， ∴AD2＝DEBD. ∵DE∶EB＝1∶3，∴DE＝BD， ∴AD2＝BDBD， ∴BD2＝4AD2＝44a2＝16a2，∴BD＝4a. 【答案】　4a 7．如圖1411，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3 cm，4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則BD＝______cm. 圖1411 【解析】　連接CD，則CD⊥A B. 由AC＝3 cm，BC＝4 cm，得AB＝5 cm. 由射影定理得BC2＝BDBA，即42＝5BD. 所以BD＝ cm. 【答案】　 8．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90，AC⊥BC，AB＝10 cm，AC＝6 cm，則此梯形的面積為________． 【解析】　如圖，過C點(diǎn)作CE⊥AB于E. 在Rt△ACB中， ∵AB＝10 cm，AC＝6 cm， ∴BC＝8 cm， ∴BE＝6.4 cm，AE＝3.6 cm， ∴CE＝＝4.8(cm)， ∴AD＝4.8 cm. 又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB， ∴DC＝AE＝3.6 cm. ∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)． 【答案】　32.64 cm2 三、解答題 9．已知直角三角形周長為48 cm，一銳角平分線分對邊為3∶5兩部分. (1)求直角三角形的三邊長； (2)求兩直角邊在斜邊上的射影的長． 【解】　(1)如圖，設(shè)CD＝3x，BD＝5x，則BC＝8x，過D作DE⊥AB， 由題意可得， DE＝3x，BE＝4x， ∴AE＋AC＋12x＝48. 又AE＝AC， ∴AC＝24－6x，AB＝24－2x， ∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2， 解得x1＝0(舍去)，x2＝2， ∴AB＝20，AC＝12，BC＝16， ∴三邊長分別為20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF⊥AB于F， ∴AC2＝AFAB， ∴AF＝＝＝(cm)． 同理BF＝＝＝(cm)． ∴兩直角邊在斜邊上的射影長分別為 cm， cm. 10．如圖1412所示，CD垂直平分AB，點(diǎn)E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，點(diǎn)F，G分別為垂足．求證：AFAC＝BGBE. 圖1412 【證明】　∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均為直角三角形，并且AD＝BD. 又∵DF⊥AC，DG⊥BE， ∴AFAC＝AD2，BGBE＝DB2. ∵AD2＝DB2，∴AFAC＝BGBE. [能力提升] 1．已知直角三角形中兩直角邊的比為1∶2，則它們在斜邊上的射影比為 (　　) A．1∶2　　　　 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 【解析】　設(shè)直角三角形兩直角邊長分別為1和2，則斜邊長為，∴兩直角邊在斜邊上的射影分別為和. 【答案】　C 2．已知Rt△ABC中，斜邊AB＝5 cm，BC＝2 cm，D為AC上一點(diǎn)，DE⊥AB交AB于E，且AD＝3.2 cm，則DE＝(　　) A．1.24 cm B．1.26 cm C．1.28 cm D．1.3 cm 【解析】　如圖，∵∠A＝∠A， ∴Rt△ADE∽Rt△ABC， ∴＝， DE＝＝＝1.28. 【答案】　C 3．如圖1413所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，則BC＝__________. 圖1413 【解析】　由射影定理得， AC2＝ADAB，BC2＝BDAB， ∴＝，即BC2＝. 又∵CD2＝ADBD，∴BD＝. ∴BC2＝＝＝64. ∴BC＝8. 【答案】　8 4．如圖1414，已知BD，CE是△ABC的兩條高，過點(diǎn)D的直線交BC和BA的延長線于G，H，交CE于F，且∠H＝∠BCE，求證：GD2＝FGGH. 圖1414 【證明】　∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH， ∴△BCE∽△BHG， ∴∠BEC＝∠BGH＝90， ∴HG⊥BC. ∵BD⊥AC，在Rt△BCD中， 由射影定理得，GD2＝BGCG.?、? ∵∠FGC＝∠BGH＝90，∠GCF＝∠H， ∴△FCG∽△BHG， ∴＝， ∴BGCG＝GHFG.?、? 由①②得，GD2＝GHFG.