2019-2020版高中數(shù)學 模塊復習課 第2課時 圓錐曲線的概念、標準方程與簡單幾何性質練習（含解析）新人教A版選修2-1

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1、第2課時　圓錐曲線的概念、標準方程與簡單幾何性質 課后篇鞏固提升 基礎鞏固 1.已知橢圓x29+y2n2=1(n>0)與雙曲線x24-y2m2=1(m>0)有相同的焦點,則動點P(n,m)的軌跡是(　　) A.橢圓的一部分 B.雙曲線的一部分 C.拋物線的一部分 D.圓的一部分 解析∵橢圓x29+y2n2=1與雙曲線x24-y2m2=1有相同的焦點,∴9-n2=4+m2,即m2+n2=5(00,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設A,B

2、到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為(　　) A.x24-y212=1 B.x212-y24=1 C.x23-y29=1 D.x29-y23=1 解析 由雙曲線的對稱性,不妨取漸近線y=bax.如圖所示,|AD|=d1,|BC|=d2,過點F作EF⊥CD于點E.由題易知EF為梯形ABCD的中位線,所以|EF|=12(d1+d2)=3.又因為點F(c,0)到y(tǒng)=bax的距離為|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因為e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以雙曲線的方程為x23-y29=1.故選C. 答案C 3.已知

3、點A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),AB=(3λ,4λ)(λ≠0),MA=-4MB,若拋物線y2=ax經過A和B兩點,則a的值為(　　) A.2 B.-2 C.-4 D.4 解析∵A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),AB=(3λ,4λ)(λ≠0), ∴直線AB的方程為y=43(x-1),與y2=ax聯(lián)立可得y2-34ay-a=0.∴y1+y2=34a,① y1y2=-a,② ∵MA=-4MB,∴y1=-4y2.③ 由①②③可得a=4.故選D. 答案D 4.如果過點M(-2,0)的直線l與橢圓x22+y2=1有公共點,那么直線l的斜率k的取值范圍是(

4、　　) A.-∞,-22 B.22,+∞ C.-12,12 D.-22,22 解析設過點M(-2,0)的直線l的方程為y=k(x+2), 聯(lián)立y=k(x+2),x22+y2=1,得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-2=0. ∵過點M(-2,0)的直線l與橢圓x22+y2=1有公共點,∴Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)≥0, 整理得k2≤12,解得-22≤k≤22, ∴直線l的斜率k的取值范圍是-22,22. 故選D. 答案D 5.已知圓C1:x2+y2=b2與橢圓C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0),若在橢圓C2上存在一點P,使得由點P所作的圓C1的兩

5、條切線互相垂直,則橢圓C2的離心率的取值范圍是(　　) A.22,32 B.12,1 C.32,1 D.22,1 解析設P(m,n),由題意知m2+n2=2b2,m2a2+n2b2=1, ∴e2m2=b2,又0<|m|b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,P是橢圓上一點,|PF1|=λ|PF2|12≤λ≤2,∠F1PF2=π2,則橢圓離心率的取值范圍為(　　) A.0,22 B.22,53 C.23,53 D.53,1 解析設F1(-c,0),F2(c,0)

6、,由橢圓的定義得,|PF1|+|PF2|=2a, 可設|PF2|=t,可得|PF1|=λt,即有(λ+1)t=2a.① 由∠F1PF2=π2,可得|PF1|2+|PF2|2=4c2, 即為(λ2+1)t2=4c2.② 由②÷①2,可得e2=λ2+1(λ+1)2. 令m=λ+1,可得λ=m-1, 即有λ2+1(λ+1)2=m2-2m+2m2=21m-122+12. 由12≤λ≤2,可得32≤m≤3,即13≤1m≤23, 則當m=2時,取得最小值12; 當m=32或m=3時,取得最大值59. 即有12≤e2≤59,解得22≤e≤53. 故選B. 答案B 7.(2018江蘇

7、高考)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為32c,則其離心率的值為　　　　　.? 解析因為雙曲線的右焦點F(c,0)到漸近線y=±bax的距離為|bc±0|a2+b2=bcc=b,所以b=32c.因為a2=c2-b2=c2-34c2=14c2,所以a=12c,e=2. 答案2 8.拋物線y2=-8x上到焦點距離等于6的點的坐標是　　　　　.? 解析∵拋物線方程為y2=-8x,可得2p=8,p2=2, ∴拋物線的焦點為F(-2,0),準線為x=2. 設拋物線上點P(m,n),到焦點F的距離等于6, 根據(jù)拋

8、物線的定義,得點P到F的距離等于P到準線的距離,即|PF|=-m+2=6,解得m=-4, ∴n2=8m=32,可得n=±42, 因此,點P的坐標為(-4,±42). 答案(-4,±42) 9.(2019全國Ⅰ高考)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點.若F1A=AB,F1B·F2B=0,則C的離心率為　　　　　.? 解析如圖, 由F1A=AB,得|F1A|=|AB|. 又|OF1|=|OF2|,得BF2∥OA,且|BF2|=2|OA|. 由F1B·F2B=0,得F1B⊥F2B.則O

9、A⊥F1A,|OB|=|OF1|=|OF2|. 故∠BOF2=∠AOF1=2∠OF1B,得∠BOF2=60°. 則ba=tan60°=3. 所以e=ca=1+ba2=1+3=2. 答案2 10. (2018江蘇高考)如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C過點3,12,焦點為F1(-3,0),F2(3,0),圓O的直徑為F1F2. (1)求橢圓C及圓O的方程; (2)設直線l與圓O相切于第一象限內的點P. ①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點,求點P的坐標; ②直線l與橢圓C交于A,B兩點.若△OAB的面積為267,求直線l的方程. 解(1)因為橢圓C的焦點為F1(-3

10、,0),F2(3,0), 可設橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0). 又點3,12在橢圓C上, 所以3a2+14b2=1,a2-b2=3,解得a2=4,b2=1. 因此,橢圓C的方程為x24+y2=1. 因為圓O的直徑為F1F2,所以其方程為x2+y2=3. (2)①設直線l與圓O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),則x02+y02=3, 所以直線l的方程為y=-x0y0(x-x0)+y0, 即y=-x0y0x+3y0. 由x24+y2=1,y=-x0y0x+3y0,消去y,得 (4x02+y02)x2-24x0x+36-4y02=0.(*) 因為

11、直線l與橢圓C有且只有一個公共點, 所以Δ=(-24x0)2-4(4x02+y02)(36-4y02)=48y02(x02-2)=0. 因為x0,y0>0,所以x0=2,y0=1. 因此,點P的坐標為(2,1). ②因為三角形OAB的面積為267, 所以12AB·OP=267,從而AB=427. 設A(x1,y1),B(x2,y2), 由(*)得,x1,2=24x0±48y02(x02-2)2(4x02+y02),所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+x02y02·48y02(x02-2)(4x02+y02)2. 因為x02+y02=3, 所以AB2=16(

12、x02-2)(x02+1)2=3249,即2x04-45x02+100=0, 解得x02=52(x02=20舍去),則y02=12,因此P的坐標為102,22. 綜上,直線l的方程為y=-5x+32. 能力提升 1.已知點A(0,1),拋物線C:y2=ax(a>0)的焦點為F,射線FA與拋物線相交于M,與其準線相交于點N,若|FM|∶|MN|=2∶5,則a=(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析依題意點F的坐標為a4,0,設M在準線上的射影為K, 由拋物線的定義知|MF|=|MK|, ∴|FM|∶|MN|=2∶5, 則|KN|∶|KM|=1∶2,kFN=0-1a4

13、-0=-4a,kFN=-12. ∴4a=2,求得a=2.故選A. 答案A 2.(2019全國Ⅲ高考)雙曲線C:x24-y22=1的右焦點為F,點P在C的一條漸近線上,O為坐標原點.若|PO|=|PF|,則△PFO的面積為(　　) A.324 B.322 C.22 D.32 解析由已知可得a=2,b=2, 則c=a2+b2=6,∴F(6,0). ∵|PO|=|PF|,∴xP=62. 又P在C的一條漸近線上,不妨設在漸近線y=22x上, ∴yP=22×62=32. ∴S△PFO=12|OF|·|yP|=12×6×32=324.故選A. 答案A 3.(2019全國Ⅲ高考)設F

14、1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形,則M的坐標為　　　　　.? 解析∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4. 由題意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8. ∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4. 設點M的坐標為(x0,y0)(x0>0,y0>0), 則S△MF1F2=12×|F1F2|×y0=4y0. 又S△MF1F2=12×4×82-22=415, ∴4y0=415,解得y0=15. 又點M在橢圓C上,∴x0236+(15)220=1, 解得x0=3或x0=-3(

15、舍去). ∴點M的坐標為(3,15). 答案(3,15) 4.(2018北京高考)已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),雙曲線N:x2m2-y2n2=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點,則橢圓M的離心率為　　　　;雙曲線N的離心率為　　　　.? 解析根據(jù)題意可畫出下圖,其中BD和AC為雙曲線的漸近線, ABF2CDF1是正六邊形. 由題意可知∠BOF2=π3,故雙曲線的漸近線BD的方程為y=nmx=3x,故雙曲線的離心率e1=m2+n2m=m2+(3m)2m=2. 設AB=x,由橢圓定義得|BF1|+|BF2|=3

16、x+x=2a,2c=2x,故e2=2c2a=2x(3+1)x=3-1. 答案3-1　2 5.(2018全國Ⅱ高考)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8. (1)求l的方程. (2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程. 解(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0). 設A(x1,y1),B(x2,y2). 由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)

17、=4k2+4k2. 由題設知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1. 因此l的方程為y=x-1. (2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5. 設所求圓的圓心坐標為(x0,y0),則 y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16. 解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6. 因此所求圓的方程為 (x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 6.已知橢圓M的對稱軸為坐標軸,離心率為22,且一個焦點坐標為(2,0). (1)求橢圓M的方程; (2)設直

18、線l與橢圓M相交于A,B兩點,以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中點P在橢圓M上,O為坐標原點,求點O到直線l的距離的最小值. 解(1)由題意可設橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0), ∴ca=22,c=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=2, ∴橢圓M的方程為x24+y22=1. (2)當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=kx+m,聯(lián)立y=kx+m,x2+2y2=4,化為(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)>0,化為2+4k2-m2>0, 設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). ∴x0=x1+x2=-4km1+2k2,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2. ∵點P在橢圓M上,∴x024+y022=1. ∴4k2m2(1+2k2)2+2m2(1+2k2)2=1,化為2m2=1+2k2,滿足Δ>0. 又點O到直線l的距離d=|m|1+k2=12+k21+k2 =1-12(1+k2)≥1-12=22. 當且僅當k=0時取等號. 當直線l無斜率時,由對稱性可知:點P一定在x軸上,從而點P的坐標為(±2,0),直線l的方程為x=±1,∴點O到直線l的距離為1. ∴點O到直線l的距離的最小值為22. 9