（新課改地區(qū)）2021版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第二章 函數(shù)及其應(yīng)用 2.3 函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性練習 新人教B版

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1、2.3 函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性 核心考點·精準研析 考點一　函數(shù)奇偶性的判斷? 1.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是 (　　) A.f(x)=　 B.f(x)=ex C.f(x)=cos x　 D.f(x)=ex-e-x 2.已知函數(shù)f(x)=3x-,則f(x) (　　) A.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù) C.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù) 3.若函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù),函數(shù)g(x)(x∈R)是偶函數(shù),則 (　　) A.函數(shù)f(g(x))是奇函數(shù) B.函數(shù)g(f(x))是奇函數(shù) C.函數(shù)f(x

2、)·g(x)是奇函數(shù) D.函數(shù)f(x)+g(x)是奇函數(shù) 4.已知定義在R上的函數(shù)f(x),對任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)+5,則下列命題正確的是 (　　) A.f(x)是奇函數(shù)　　 B.f(x)是偶函數(shù) C.f(x)+5是奇函數(shù)　 D.f(x)+5是偶函數(shù) 【解析】1.選D.對于A,定義域不關(guān)于原點對稱,故不是奇函數(shù);對于B, f(-x)=e-x=≠-f(x),故不是奇函數(shù);對于C,f(-x)=cos(-x)=cos x≠-f(x),故不是奇函數(shù);對于D,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),是奇函數(shù). 2.選A.因為

3、函數(shù)f(x)的定義域為R, f(-x)=3-x-=-3x=-f(x), 所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù). 因為函數(shù)y=在R上是減函數(shù), 所以函數(shù)y=-在R上是增函數(shù). 又因為y=3x在R上是增函數(shù), 所以函數(shù)f(x)=3x-在R上是增函數(shù). 3.選C.令h(x)=f(x)·g(x),因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),函數(shù)g(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),所以h(x)=f(x)·g(x)是奇函數(shù). 4.選C.取x1=x2=0,得f(0+0)-f(0)=f(0)+5,所以f(0)=-5.令

4、x1=x,x2=-x,則f[x+(-x)]-f(x)=f(-x)+5,所以f(0)-f(x)=f(-x)+5,所以f(-x)+5=-[f(x)+5],所以函數(shù)f(x)+5是奇函數(shù). 　判斷函數(shù)奇偶性的方法 (1)定義法:利用奇、偶函數(shù)的定義或定義的等價形式:=±1(f(x)≠0)判斷函數(shù)的奇偶性. (2)圖象法:利用函數(shù)圖象的對稱性判斷函數(shù)的奇偶性. (3)驗證法:即判斷f(x)±f(-x)是否為0. (4)性質(zhì)法:在公共定義域內(nèi)有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 考點二　函數(shù)的周期性及應(yīng)用? 【典例】1.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+5

5、)=f(x),且當x∈時,f(x)=x3-3x,則f(2 018)= (　　) A.2　　 B.-18　 C.18　 D.-2 2.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),若對于x≥0,都有f(x+2)=-,且當x∈[0,2)時,f(x)=log2(x+1),則f(-2 017)+f(2 019)的值為 (　　) A.0　 B.-4 C.-2 D.2 3.(2019·重慶模擬)已知奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱,當x∈[0,3]時,f(x)=-x,則f(-16)=________. ? 【解題導(dǎo)思】 序號 聯(lián)想解題 1 由f(x+5)=f(x),想到周

6、期函數(shù) 2 由f(x+2)=-,想到周期函數(shù) 3 由f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱,想到f(x)=f(6-x) 【解析】1.選D.因為f(x)滿足f(x+5)=f(x), 所以f(x)是周期為5的函數(shù), 所以f(2 018)=f(403×5+3) =f(3)=f(5-2)=f(-2), 因為f(x)是奇函數(shù),且當x∈時,f(x)=x3-3x, 所以f(-2)=-f(2)=-(23-3×2)=-2, 故f(2 018)=-2. 2.選A.當x≥0時,f(x+2)=-, 所以f(x+4)=f(x), 即4是f(x)(x≥0)的一個周期. 所以f(-2 017)=f(

7、2 017)=f(1)=log22=1, f(2 019)=f(3)=-=-1, 所以f(-2 017)+f(2 019)=0. 3.根據(jù)題意,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱, 則有f(x)=f(6-x), 又由函數(shù)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x), 則有f(x)=-f(x-6)=f(x-12), 則f(x)的最小正周期是12, 故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2. 答案:2 1.抽象函數(shù)的周期性 (1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中一個周期T=2a. (2)如果f(x+a)=(a≠0),

8、那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期T=2a. (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期T=2a. (4)如果f(x+a)=f(x-b),則T=|a+b|. (5)如果f(x)的圖象關(guān)于(a,0)對稱,且關(guān)于x=b對稱,則T=4|a-b|. (6)如果f(x)的圖象關(guān)于(a,0)對稱,且關(guān)于(b,0)對稱,則T=2|a-b|. 2.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a+x)=f(b-x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性,函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性,在使用這兩個關(guān)系時不要混淆. 1.(2020·菏

9、澤模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為π,且是奇函數(shù),f=1,則f的值為 (　　) A.1 B.-1 C.0 D.2 【解析】選B.因為函數(shù)f(x)的周期為π, 所以f=f=f, 因為f(x)為奇函數(shù),所以 f=-f=-1. 2.(2019·長春模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為6,且f(x)=則f(-7)+f(8)= (　　) A.11 B. C.7 D. 【解析】選A.根據(jù)f(x)的周期是6, 故f(-7)=f(-1)=-(-1)+1=4, f(8)=f(2)=f(-2)=-(-2)+1=7, 所以f(-7)+f(8)=11. 3.已

10、知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+4)=f(x-2).若當x∈[-3,0]時,f(x)=6-x,則f(919)=____________.? 【解析】因為f(x+4)=f(x-2), 所以f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2]即f(x+6)=f(x),所以f(x)是周期為6的周期函數(shù), 所以f(919)=f(153×6+1)=f(1). 又f(x)是定義在R上的偶函數(shù), 所以f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6. 答案:6 考點三　函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用? 命 題 精 解 讀 考什么:(1)求函數(shù)值、解析式或參數(shù)值,奇偶性與單調(diào)性、奇偶性與周期性交匯等

11、問題.(2)考查數(shù)學運算、數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng). 怎么考:函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性以及對稱性(奇偶性質(zhì)的擴展)等知識單獨或交匯考查. 學霸好方法 奇偶函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性: 奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性. 求函數(shù)值、解析式或參數(shù)值 【典例】1.(2019·全國卷Ⅱ)已知f(x)是奇函數(shù),且當x<0時,f(x)=-eax. 若f(ln 2)=8,則a=________.? 2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)=2x2-x,則當x>0時,f(x)= (　　) A.2x2-x　　 B

12、.2x2+x C.-2x2-x　 D.-2x2+x 【解析】1.因為ln 2>0,所以-ln 2<0, 由于f(x)是奇函數(shù),所以f(-ln 2)=-f(ln 2)=-8, 即-e(-ln 2)a=-8,解得a=-3. 答案:-3 2.選C.當x>0時,-x<0,f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù), 所以f(x)=-f(-x)=-2x2-x. 1.如何求奇偶函數(shù)對稱區(qū)間上的解析式? 提示:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出. 2.如何求奇偶函數(shù)對稱區(qū)間上的函數(shù)值? 提示:將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知

13、區(qū)間上的函數(shù)值求解. 奇偶性與單調(diào)性交匯問題 【典例】函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是 (　　) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 【解析】選D.由已知,得f(-1)=1,使-1≤f(x)≤1成立的x滿足-1≤x≤1,所以由-1≤x-2≤1得1≤x≤3,即使-1≤f(x-2)≤1成立的x滿足1≤x≤3. 解決與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式問題的關(guān)鍵是什么? 提示:利用題設(shè)條件,想辦法去掉“f”符號即可解決. 奇偶性與周期性交匯問題 【典例】(2018·全

14、國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= (　　) A.-50 B.0 C.2 D.50 【解析】選C.f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,滿足f(1-x)=f(1+x), 則f(x+4)=f(1-(x+3))=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1))=-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期為4的函數(shù). 又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)

15、=f(0)=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2. 如何求解項數(shù)較多的式子的值? 提示:因為多項式個數(shù)較多,可能與函數(shù)的周期性有關(guān),可依據(jù)題設(shè)條件,先探索函數(shù)的周期性,再去求解. 1.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x)= 則g(-8)= (　　) A.-2　 B.-3 C.2 D.3 【解析】選A.方法一:當x<0時,-x>0,且f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=log3(1-x), 所以f(x)=-log3(1-x). 因此g(x)=-log3(1-x),x<0, 故g(-8)=-log3

16、9=-2. 方法二:由題意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2. 2.(2020·石家莊模擬)已知f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù),若f(1)<1,f(5)=,則實數(shù)a的取值范圍為 (　　) A.(-1,4) B.(-2,1) C.(-1,2) D.(-1,0) 【解析】選A.因為函數(shù)f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù),所以f(5)=f(-1)=f(1),即<1,化簡得(a-4)(a+1)<0,解得-1

17、 即+=0, 所以a=-1. 答案:-1 1.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ex,則g(x)=(　　) A.ex-e-x B.(ex+e-x) C.(e-x-ex) D.(ex-e-x) 【解析】選D.由f(x)+g(x)=ex?、? 可得f(-x)+g(-x)=e-x. 又f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù), 可得f(x)-g(x)=e-x?、? 則兩式相減,可得g(x)=. 2.(2020·南昌模擬)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2-x)+f(x)=0,f(0)=,則f(10)等于________.? 【解析】因為f(2-x)+f(x)=0, 所以f(x)=-f(2-x), 又f(x)為偶函數(shù), 所以f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-2-2)] =f(x-4), 故f(x)的周期T=4,f(10)=f(4×2+2)=f(2). 又f(2-x)+f(x)=0, 令x=0得f(2)+f(0)=0, 所以f(2)=-. 故f(10)=-. 答案:- 9