（江蘇專用）2020版高考數(shù)學一輪復習 加練半小時 專題8 立體幾何 第60練 表面積與體積 文（含解析）

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1、第60練 表面積與體積 [基礎保分練] 1.母線長為1的圓錐的側面展開圖的圓心角等于π，則該圓錐的體積為________. 2.用平面α截球O所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為________. 3.如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為________. 4.長方體ABCD－A1B1C1D1的同一頂點的三條棱長分別為3,4,5，則該長方體的外接球表面積為________. 5.直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，側棱長等于底面三角形的斜邊長

2、，若其外接球的體積為，則該三棱柱體積的最大值為________. 6.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長最短為50cm，最長為80cm，則斜截圓柱的側面面積S＝________cm2. 7.在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為________. 8.(2019·江蘇省如東中學調研)在正四棱錐S—ABCD中，點O是底面中心，SO＝2，側棱SA＝2，則該棱錐的體積為________. 9.棱長為a的正方體有一內切球，該球的表面積為

3、________. 10.已知圓柱M的底面半徑與球O的半徑相同，且圓柱M與球O的表面積相等，則它們的體積之比V圓柱∶V球＝________. [能力提升練] 1.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高為6，AB＝4，點D為棱BB1的中點，則四棱錐C—A1ABD的表面積是________. 2.三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA＝，則該三棱錐外接球的表面積為________. 3.(2018·江蘇泰州中學月考)如圖所示的圖形是一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6cm，高為20c

4、m的圓錐體鉛錘，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降________cm. 4.菱形ABCD的邊長為2，且∠BAD＝60°，將三角形ABD沿BD折起，得到三棱錐A－BCD，則三棱錐A－BCD體積的最大值為________. 5.已知正四面體P－ABC的棱長為2，若M，N分別是PA，BC的中點，則三棱錐P－BMN的體積為________. 6.已知三棱錐P－ABC滿足PA⊥底面ABC，△ABC是邊長為4的等邊三角形，D是線段AB上一點，且AD＝3BD，球O為三棱錐P－ABC的外接球，過點D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為34π，則球O的表面積

5、為________. 答案精析 基礎保分練 1.π 2.4π 解析　如圖，設平面α截球O所得圓的圓心為O1，則OO1＝，O1A＝1， ∴球的半徑R＝OA＝＝， ∴球的體積V＝πR3＝4π. 3. 解析　三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，易知三棱錐A－B1BC1的高為，底面積為，故其體積為××＝. 4.50π 5.4 解析　設三棱柱底面直角三角形的直角邊為a，b，則棱柱的高h＝， 設外接球的半徑為r，則πr3＝， 解得r＝2， ∵上下底面三角形斜邊的中點連線的中點是該三棱柱的外接球的球心， ∴h＝2r＝4.∴h＝2，∴a2＋b2＝h2＝

6、8≥2ab， ∴ab≤4，當且僅當a＝b＝2時“＝”成立. ∴三棱柱的體積V＝Sh＝abh＝ab≤4. 6.2600π 7. 解析　如圖，過點D作BC的垂線，垂足為H.則由旋轉體的定義可知，該梯形繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體為一個圓柱挖去一個圓錐.其中圓柱的底面半徑R＝AB＝1，高h1＝BC＝2，其體積V1＝πR2h1＝π×12×2＝2π；圓錐的底面半徑r＝DH＝1，高h2＝1，其體積V2＝πr2h2＝π×12×1＝.故所求幾何體的體積為V＝V1－V2＝2π－＝. 8. 解析　∵在正四棱錐S－ABCD中，側棱SA＝2，高SO＝2， ∴底面中心到頂點的距

7、離AO＝＝2， 因此，底面正方形的邊長AB＝4，底面積S＝AB2＝16， 該棱錐的體積為V＝SABCD·SO ＝×16×2＝. 9.πa2　10. 能力提升練 1.2＋4＋36 解析　∵正三棱柱的高為6，AB＝4， ∴四棱錐C－A1ABD的表面A1DC為等腰三角形， A1D＝CD＝5，A1C＝2，D到A1C距離為＝2， ∴＝×2×2＝2， ＝＋S△BDC＋＋S△ABC＋＝(6＋3)×4＋×4×3＋×6×4＋×16＋2＝2＋4＋36. 2.5π 解析　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC， ∴BC⊥平面PAC

8、， 由直角三角形的性質可得PB中點到四點距離相等， ∴PB是三棱錐P－ABC的外接球直徑. ∵Rt△PBA中，AB＝，PA＝， ∴PB＝，可得外接球半徑R＝PB＝， ∴外接球的表面積S＝4πR2＝5π. 3.0.6 解析　因為圓錐形鉛錘的體積為 ×π×2×20＝60π(cm3). 設水面下降的高度為xcm， 則小圓柱的體積為π×2×x＝100πx(cm3). 所以60π＝100πx， 解得x＝0.6. 則鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6cm. 4.1 解析　由于三棱錐A－BCD底面積固定，所以高最高的時候取得體積的最大值，此時高為AC.故體積的最大值為××BD×A

9、C×AC＝×2×2×2＝1. 5. 解析　連結AN，作MD⊥PN，交PN于D， ∵正四面體P－ABC的棱長為2，M，N分別是PA，BC的中點， ∴AN⊥BC，PN⊥BC，MN⊥AP，且AN＝PN＝， ∵AN∩PN＝N，AN，PN?平面PNA， ∴BC⊥平面PNA， ∵MD?平面PNA，∴MD⊥BC， ∵BC∩PN＝N，BC，PN?平面PBN， ∴MD⊥平面PBN， MN＝＝， ∵PN·MD＝PM·MN， ∴MD＝＝＝， ∴三棱錐P－BMN的體積 VP－BMN＝VM－PBN＝×S△PBN×MD＝××1××＝. 6.100π 解析　將三棱錐P－ABC補成正三棱柱

10、，且三棱錐和該正三棱柱的外接球都是球O，記三角形ABC的中心為O1，設球的半徑為R，PA＝2x，則球心O到平面ABC的距離為x，即OO1＝x，連結O1C，則O1C＝4，∴R2＝x2＋16，在三角形ABC中，取AB的中點為E，連結O1D，O1E，則O1E＝O1C＝2，DE＝AB＝，∴O1D＝，在Rt△OO1D中，OD＝，由題意得當截面與直線OD垂直時，截面面積最小，設此時截面圓的半徑為r，則最小截面圓的面積為πr2，當截面過球心時，截面面積最大為πR2， ∴πr2＋πR2＝34π，如圖三，R2＝r2＋x2＋7，聯(lián)立以上三個方程得到r＝3，x＝3，R＝5，∴球的表面積為4π×25＝100π. 7