《2020版高考數學復習 第八單元 第43講 雙曲線練習 文(含解析)新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020版高考數學復習 第八單元 第43講 雙曲線練習 文(含解析)新人教A版(8頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、 第43講 雙曲線
1.下列雙曲線中,漸近線方程為y=±2x的是 ( )
A.x2-y24=1 B.x24-y2=1
C.x2-y22=1 D.x22-y2=1
2.[2018·珠海模擬] 若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線與直線x+2y-1=0垂直,則雙曲線的離心率為 ( )
A.52 B.5
C.3+12 D.3+1
3.已知雙曲線的一個焦點與拋物線x2=24y的焦點重合,其一條漸近線的傾斜角為30°,則該雙曲線的標準方程為 ( )
A.x29-y227=1 B.y29-x227=1
C.y212-x224=1 D.y224-x212
2、=1
4.[2018·石嘴山三中月考] 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3,4),則雙曲線的方程為 ( )
A.x216-y29=1 B.x23-y24=1
C.x24-y23=1 D.x29-y216=1
5.[2018·諸暨模擬] 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線截橢圓x24+y2=1所得的弦長為433,則此雙曲線的離心率為 .?
6.[2018·寧夏平羅模擬] 已知雙曲線C1:x24-y2=1,雙曲線C2:x2a2-y2b2=1(a>0,
3、b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,M是雙曲線C2的一條漸近線上的點,且OM⊥MF2,O為坐標原點,若S△OMF2=16,且雙曲線C1,C2的離心率相同,則雙曲線C2的實軸長是 ( )
A.32 B.4
C.8 D.16
7.已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為F(7,0),直線y=x-1與其相交于M,N兩點,線段MN中點的橫坐標為-23,則此雙曲線的方程是 ( )
A.x23-y24=1 B.x22-y25=1
C.x25-y22=1 D.x24-y23=1
8.已知F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F1的直線l與雙曲線分別交于點
4、A,B,且A(1,3),若△ABF2為等邊三角形,則△BF1F2的面積為 ( )
A.1 B.2
C.3 D.2
9.已知A(-2,0),B(2,0),斜率為k的直線l上存在不同的兩點M,N,滿足|MA|-|MB|=23,|NA|-|NB|=23,且線段MN的中點為(6,1),則k的值為 ( )
A.-2 B.-12
C.12 D.2
10.如圖K43-1,過雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點A作斜率為-1的直線,該直線與E的漸近線交于B,C兩點,若BC+2BA=0,則雙曲線E的漸近線方程為 ( )
圖K43-1
A.y=±3x B
5、.y=±4x
C.y=±2x D.y=±2x
11.[2018·河南中原名校檢測] 已知直線x-2y+1=0與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B兩點,且線段AB的中點M的橫坐標為1,則該雙曲線的離心率為 ( )
A.2 B.62
C.52 D.3
12.[2018·銀川一中月考] 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),拋物線y2=4cx與雙曲線在第一象限內相交于點P,若|PF2|=|F1F2|,則雙曲線的離心率為 .?
13.[2018·海南中學月考] 已知雙曲線C的一
6、條漸近線方程是x-2y=0,且雙曲線C過點(22,1).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)設雙曲線C的左、右頂點分別是A1,A2,點P(異于A1,A2)為雙曲線C上任意一點,直線PA1,PA2分別與直線l:x=1交于M,N,求|MN|的最小值.
14.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,漸近線方程是y=±255x,點A(0,b),且△AF1F2的面積為6.
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)直線l:y=kx+m(k≠0,m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點P,Q,若|AP|=|AQ|,求實數m的取值范圍.
7、
15.已知雙曲線Γ1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,橢圓Γ2:x23+y24=1的離心率為e,直線MN過點F2與雙曲線交于M,N兩點,若cos∠F1MN=cos∠F1F2M,且|F1M||F1N|=e,則雙曲線Γ1的兩條漸近線的傾斜角分別為 ( )
A.30°,150° B.45°,135°
C.60°,120° D.15°,165°
16.以橢圓x29+y25=1的頂點為焦點,焦點為頂點的雙曲線C的左、右焦點分別是F1,F2,已知點M的坐標為(2,1),雙曲線C上的點P(x0,y0)(x0>0,y0>0)滿足PF1·MF1|PF1|=F2
8、F1·MF1|F2F1|,則S△PMF1-S△PMF2= ( )
A.2 B.4 C.1 D.-1
8
課時作業(yè)(四十三)
1.A [解析]A中雙曲線的漸近線方程為y=±2x;B中雙曲線的漸近線方程為y=±12x;C中雙曲線的漸近線方程為y=±2x;D中雙曲線的漸近線方程為y=±22x.
2.B [解析] 直線x+2y-1=0的斜率k=-12,由題意知ba=2,即b=2a,∴c2=a2+b2=5a2,∴雙曲線的離心率e=5,故選B.
3.B [解析] 拋物線x2=24y的焦點坐標為(0,6),由題意知雙曲線的一個焦點的坐標為(0,6),
∴可設雙曲線的標準方程為y2
9、a2-x2b2=1(a>0,b>0).
∵雙曲線的漸近線方程為y=±abx,且其中一條漸近線的傾斜角為30°,∴ab=33,又c=6,c2=a2+b2,∴a2=9,b2=27,
故雙曲線的標準方程為y29-x227=1.
4.D [解析] 由題意得c=32+42=5,因為交點(3,4)在漸近線y=bax上,所以4=3ba,即ba=43,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以雙曲線的方程為x29-y216=1,故選D.
5.3 [解析] 不妨設雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的方程為bx-ay=0,由bx-ay=0,x24+y2=1可得x=±2aa2+4b
10、2,y=±2ba2+4b2,∴這條漸近線截橢圓x24+y2=1所得的弦長為24a2+4b2a2+4b2,由題意可得24a2+4b2a2+4b2=433,整理得2a2=b2,又b2=c2-a2,∴3a2=c2,∴e=ca=3.
6.D [解析] 雙曲線C1:x24-y2=1的離心率為52,設F2(c,0),雙曲線C2的一條漸近線方程為y=bax,
可得|F2M|=bca2+b2=b,則|OM|=c2-b2=a,由S△OMF2=16,可得12ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且ca=52,∴a=8,b=4,c=45,∴雙曲線C2的實軸長為16.故選D.
7.B [解析] 設雙曲線
11、的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),將y=x-1代入雙曲線的方程,整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0.設M(x1,y1),N(x2,y2),易知b2-a2≠0,則x1+x2=2a2a2-b2,所以x1+x22=a2a2-b2=-23.又由c2=a2+b2=7,得a2=2,b2=5,所以雙曲線的方程是x22-y25=1.
8.C [解析] 由題意知A在雙曲線的右支上,根據雙曲線的定義,可得|AF1|-|AF2|=2a,
∵△ABF2是等邊三角形,∴|AF2|=|AB|,∴|BF1|=2a.
又∵|BF2|-|BF1|=2a,∴|BF2|=|BF1|+2a=
12、4a.
∵在△BF1F2中,|BF1|=2a,|BF2|=4a,∠F1BF2=120°,
∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|·|BF2|cos120°,
即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×-12=28a2,
即c2=7a2,∴b2=c2-a2=6a2,
∴雙曲線的方程為x2a2-y26a2=1.
又點A(1,3)在雙曲線上,∴1a2-36a2=1,∴a=22,
∴△BF1F2的面積為12×2a×4a×sin120°=23a2=3.
9.D [解析] 由題意知M,N是雙曲線的右支上的兩點,設雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),
13、
則a=3,c=2,b=1,∴雙曲線方程為x23-y2=1.
設M(x1,y1),N(x2,y2),其中x1>3,x2>3且x1≠x2,則x1+x2=12,y1+y2=2.
將點M,N的坐標分別代入雙曲線方程,得x123-y12=1,x223-y22=1,作差可得13×12×(x1-x2)-2(y1-y2)=0,∴k=y1-y2x1-x2=2.
10.D [解析] 由題易知A(a,0),直線l:y=-x+a與漸近線l1:bx-ay=0交于點Ba2a+b,aba+b,直線l:y=-x+a與漸近線l2:bx+ay=0交于點Ca2a-b,-aba-b.
∵BC+2BA=0,∴AC=3AB,∴
14、a2a-b-a=3a2a+b-a,∴b=2a,∴雙曲線E的漸近線方程為y=±2x.
11.B [解析] 因為直線x-2y+1=0與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B兩點,且線段AB的中點M的橫坐標為1,所以M(1,1),設A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=2,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=12,y1+y2x1+x2=1,將點A,B的坐標代入雙曲線的方程得x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,兩式相減,整理得1a2-1b2·y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=0,可得b2a2=12,所以a=2b,c=3b,雙曲線的離心率
15、為ca=32=62,故選B.
12.1+2 [解析] 拋物線y2=4cx的焦點與雙曲線的右焦點F2(c,0)相同,拋物線y2=4cx的準線方程為x=-c,∵|PF2|=|F1F2|,結合拋物線的定義可知,P(c,2c),∵點P在雙曲線上,∴c2a2-4c2b2=1,∴e2-4e2e2-1=1,∴e4-6e2+1=0,又∵e>1,∴e=1+2.
13.解:(1)由漸近線方程可知,雙曲線C的方程為x2-4y2=k(k≠0),把(22,1)代入可得k=4,
所以雙曲線C的方程為x24-y2=1.
(2)分析可知,當|MN|取到最小值時,點P在雙曲線的右支上.
由題可得A1(-2,0),A2
16、(2,0),根據雙曲線方程可得yx-2·yx+2=14,
根據雙曲線的對稱性,不妨設點P在第一象限,設直線PA1,PA2的斜率分別為k1,k2(k1,k2>0),可得k1k2=14.
直線PA1的方程為y=k1(x+2),令x=1,得y=3k1,即M(1,3k1),
直線PA2的方程為y=k2(x-2),令x=1,得y=-k2,即N(1,-k2),
所以|MN|=|3k1-(-k2)|=3k1+k2≥23k1k2=3,
當且僅當3k1=k2,即k1=36,k2=32時等號成立,
所以|MN|的最小值為3.
14.解:(1)由題可知ba=255,①
S△AF1F2=12×2c·b
17、=6,②
又a2+b2=c2,③
由①②③可得a2=5,b2=4,
所以雙曲線C的標準方程是x25-y24=1.
(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點為D(x0,y0).
將y=kx+m與x25-y24=1聯立,消去y,整理得
(4-5k2)x2-10kmx-5m2-20=0,
由4-5k2≠0及Δ>0,得4-5k2≠0,m2-5k2+4>0,④
所以x1+x2=10km4-5k2,x1·x2=-5m2+204-5k2,
x0=x1+x22=5km4-5k2,y0=kx0+m=4m4-5k2.
由|AP|=|AQ|知,AD⊥PQ,又A(0,2),
所
18、以kAD=y0-2x0=4m4-5k2-25km4-5k2=-1k,化簡得
10k2=8-9m.⑤
將⑤代入④,解得m<-92或m>0,
又由10k2=8-9m>0,得m<89.
綜上,實數m的取值范圍是-∞,-92∪0,89.
15.C [解析] 設雙曲線Γ1的半焦距為c.由cos∠F1MN=cos∠F1F2M,
可得∠F1MN=∠F1F2M,
∴|MF1|=|F1F2|=2c,
由雙曲線的定義可得|MF2|=|MF1|-2a=2c-2a.
∵橢圓Γ2:x23+y24=1的離心率e=4-32=12,
∴|F1M||F1N|=e=12,∴|NF1|=4c,|NF2|=4c-
19、2a.
在△MF1F2中,由余弦定理得cos∠F1F2M=4c2+(2c-2a)2-4c22·2c·(2c-2a)=c-a2c,
在△NF1F2中,由余弦定理得cos∠F1F2N=4c2+(4c-2a)2-16c22·2c·(4c-2a)=a2+c2-4ac2c(2c-a),
∵∠F1F2M+∠F1F2N=180°,
∴cos∠F1F2M+cos∠F1F2N=0,即c-a2c+a2+c2-4ac2c(2c-a)=0,
整理得2a2+3c2-7ac=0,
設雙曲線的離心率為e1,則3e12-7e1+2=0,解得e1=2或e1=13(舍去),
∴a2+b2a2=4,∴3a2=b2,即
20、ba=3,
∴雙曲線的漸近線方程為y=±3x,
∴雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為60°,120°.
故選C.
16.A [解析] 由題意知雙曲線的方程為x24-y25=1.
由PF1·MF1|PF1|=F2F1·MF1|F2F1|,可得MF1在PF1與F2F1方向上的投影長度相等,過點M作MA⊥F1F2交F1F2于A,過點M作MB⊥F1P,交F1P于B,則|F1A|=|F1B|,∠MF1A=∠MF1B,tan∠MF1A=|MA||F1A|=15,∴tan∠PF1A=2tan∠MF1A1-tan2∠MF1A=251-125=512,
∴直線PF1的方程為y=512(x+3),即5x-12y+15=0.由5x-12y+15=0,x24-y25=1得x=-6331,y=2562或x=3,y=52,
又點P在第一象限,∴P3,52,又F2(3,0),
∴PF2⊥x軸,過點M作MG⊥PF2交PF2于G,則|MG|=1,又|MB|=|MA|=1,
∴S△PMF1-S△PMF2=12(|PF1|-|PF2|)×1=12×4×1=2.故選A.