（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題一 高頻客觀命題點(diǎn) 1.4 平面向量練習(xí) 文

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1、1.4　平面向量 高考命題規(guī)律 1.高考必考考題.選擇題或填空題,5分,中低檔難度,主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算. 2.全國(guó)高考有4種命題角度,分布如下表. 2020年高考必備 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 命題 角度1 平面向量的線性運(yùn)算、平面向量基本定理 7 命題 角度2 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 2 4 13 13 3 13 13 13 3

2、13 命題 角度3 計(jì)算平面向量的數(shù)量積 4 命題 角度4 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 4 8 命題角度1平面向量的線性運(yùn)算、平面向量基本定理　 高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向 1.(2018全國(guó)Ⅰ·7)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則EB=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.34AB-14AC B.14AB-34AC C.34AB+14AC D.14AB+34AC 答案　A 解析　 如圖,EB=-BE =-12(BA+BD

3、) =12AB-14BC =12AB-14(AC-AB) =34AB-14AC. 2.(2014全國(guó)Ⅰ·6)設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則EB+FC=(　　) A.AD B.12AD C.BC D.12BC 答案　A 解析　由于D,E,F分別是BC,CA,AB的中點(diǎn),所以EB+FC=-12(BA+BC)-12(CA+CB)=-12(BA+CA)=12(AB+AC)=12×2AD=AD,故選A. 3.(2014福建·10)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),則OA+OB+OC+OD等于(　　) A.OM

4、 B.2OM C.3OM D.4OM 答案　D 解析　因?yàn)镸是AC和BD的中點(diǎn),由平行四邊形法則,得OA+OC=2OM,OB+OD=2OM,所以O(shè)A+OB+OC+OD=4OM.故選D. 典題演練提能·刷高分 1.已知兩個(gè)非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b與n=2a+λb共線,則實(shí)數(shù)λ的值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.5 B.3 C.2.5 D.2 答案　C 解析　∵向量m=4a+5b與n=2a+λb共線, ∴存在實(shí)數(shù)t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+λb), 又向量a,b互相垂直,故a,b不共線. ∴2t=4,tλ=5,解得t=2,λ

5、=52.故選C. 2.(2019山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校高三聯(lián)考)如圖Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,∠BAC平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D,設(shè)AB=a,AC=b,則向量AD=(　　) A.a+b B.12a+b C.a+12b D.a+23b 答案　C 解析　設(shè)圓的半徑為r,在Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,所以∠BAC=π3,∠ACB=π6,∠BAC平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D,所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6,則根據(jù)圓的性質(zhì)有BD=CD=AB.又因?yàn)樵赗t△ABC中,AB=12AC=r=OD,所以四邊形ABDO為菱形,所以AD=AB+AO=a+

6、12b.故選C. 3.(2019寧夏平羅中學(xué)高三期中)已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)等差數(shù)列,在△ABC中,BD=tBC(t∈R),若AD=a3AB+a5AC,則a3a5的最大值為(　　) A.1 B.12 C.14 D.18 答案　C 解析　∵BD=tBC,故B,C,D三點(diǎn)共線. ∵AD=a3AB+a5AC, ∴a3+a5=1,數(shù)列{an}是正項(xiàng)等差數(shù)列,故a3>0,a5>0, ∴1=a3+a5≥2a3a5,解得a3a5≤14,故選C. 4.(2019山東德州高三模擬)設(shè)向量a,b不平行,向量a+14λb與-a+b平行,則實(shí)數(shù)λ=　　　　　.? 答案　-4 解析　由a,b不平行

7、,知-a+b≠0,又a+14λb與-a+b平行,故存在實(shí)數(shù)μ,使a+14λb=μ(-a+b). 根據(jù)平面向量基本定理得,-μ=1,14λ=μ, ∴λ=-4. 5.如圖,有5個(gè)全等的小正方形,BD=xAE+yAF,則x+y的值是　　　　.? 答案　1 解析　由平面向量的運(yùn)算可知BD=AD-AB,而AD=2AE,AB=AH+HB=2AF-AE,所以BD=AD-AB=2AE-(2AF-AE)=3AE-2AF,注意到AE,AF不共線,且BD=xAE+yAF,即xAE+yAF=3AE-2AF,所以x=3,y=-2,即x+y=1. 6.在平面向量中有如下定理:設(shè)點(diǎn)O,P,Q,R為同一平面內(nèi)

8、的點(diǎn),則P、Q、R三點(diǎn)共線的充要條件是:存在實(shí)數(shù)t,使OP=(1-t)OQ+tOR.試?yán)迷摱ɡ斫獯鹣铝袉栴}:如圖,在△ABC中,點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn),點(diǎn)F在AC邊上,且CF=2FA,BF交CE于點(diǎn)M,設(shè)AM=xAE+yAF,則x+y=　　　　　　　.? 答案　75 解析　∵B,M,F三點(diǎn)共線, ∴存在實(shí)數(shù)t,使得AM=(1-t)AB+tAF, 又AB=2AE,AF=13AC, ∴AM=2(1-t)AE+13tAC, 又E,M,C三點(diǎn)共線, ∴2(1-t)+13t=1,解得t=35. ∴AM=2(1-t)AE+tAF=45AE+35AF, ∴x=45,y=35,x+y=75

9、. 命題角度2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算　 高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向 1.(2019全國(guó)Ⅱ·3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.2 C.52 D.50 答案　A 解析　由題意,得a-b=(-1,1),則|a-b|=(-1)2+12=2,故選A. 2.(2019全國(guó)Ⅲ·13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos=　　　　　.? 答案　-210 解析　cos=a·b|a||b|=2×(-8)+2×622+22×(-8)2+62=-422×10=-210. 3.(2019北京

10、·9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,則m=　　　　　.? 答案　8 解析　∵a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b, ∴a·b=0,即-4×6+3m=0,即m=8. 4.(2018全國(guó)Ⅲ·13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則λ=　　　　　.? 答案　12 解析　2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ), 由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=12. 5.(2017全國(guó)Ⅲ·13)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,則m=　　　　　.? 答案　2 解析　∵a⊥b

11、,∴a·b=(-2,3)·(3,m)=-2×3+3m=0,解得m=2. 典題演練提能·刷高分 1.已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)∥(2a+tb),則t=(　　) A.0 B.12 C.-2 D.-3 答案　C 解析　因?yàn)閍-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因?yàn)?a-b)∥(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),∴t=-2,故選C. 2.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b與3a-b平行,則實(shí)數(shù)x的值是　　　　.? 答案　2 解析　∵a=(1,1),b=(2,x),a+b與3a-b平行,∴a+b=(3,x+1),

12、3a-b=(1,3-x),所以3(3-x)-(x+1)=0,解得x=2. 3.已知向量a=(2,-1),b=(6,x),且a∥b,則|a-b|=　　　　.? 答案　25 解析　由題得2x+6=0,即x=-3.則a-b=(-4,2),∴|a-b|=42+(-2)2=25. 4.已知a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=λb+μc,則λμ=　　　　.? 答案　-3 解析　由a=λb+μc可知(-1,1)=λ(2,-1)+μ(1,2)=(2λ+μ,-λ+2μ), ∴2λ+μ=-1,-λ+2μ=1,解得λ=-35,μ=15,∴λμ=-3. 5.向量BA=(1,2),

13、CA∥BA,且|CA|=25,則BC的坐標(biāo)為　　　　　　.? 答案　(3,6)或(-1,-2) 解析　∵CA∥BA,∴CA=tBA=(t,2t). 又|CA|=25,∴t2+4t2=5t2=20,解得t=±2. 當(dāng)t=2時(shí),BC=BA+AC=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2); 當(dāng)t=-2時(shí),BC=BA+AC=(1,2)+(2,4)=(3,6). 命題角度3計(jì)算平面向量的數(shù)量積　 高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向 1.(2018全國(guó)Ⅱ·4)已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=(　　) A.4 B.3 C.2 D.0 答案　B 解析　a·(2a-b)

14、=2a2-a·b=2-(-1)=3. 2.(2016天津·7)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則AF·BC的值為(　　) A.-58 B.18 C.14 D.118 答案　B 解析　方法1(基向量法):如圖所示,選取AB,AC為基底,則AF=AB+BE+EF=AB+12BC+12DE=AB+12(AC-AB)+12×12AC=12AB+34AC,BC=AC-AB. 故AF·BC=12AB+34AC·(AC-AB)=34AC2-14AC·AB-12AB2=34-14×1×1×12-12=18. 方法2(

15、坐標(biāo)法):建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系, 則A0,32,B-12,0,C12,0,F18,-38,于是AF=18,-583,BC=(1,0),AF·BC=18. 3.(2017北京·12)已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),O為原點(diǎn),則AO·AP的最大值為　　　　　.? 答案　6 解析　方法1:設(shè)P(cosα,sinα),α∈R,則AO=(2,0),AP=(cosα+2,sinα),AO·AP=2cosα+4. 當(dāng)α=2kπ,k∈Z時(shí),2cosα+4取得最大值,最大值為6. 故AO·AP的最大值為6. 方法2:設(shè)P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,

16、AO=(2,0),AP=(x+2,y),AO·AP=2x+4,故AO·AP的最大值為6. 4.(2017天津·14))在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,則λ的值為　　　　　.? 答案　311 解析　∵BD=2DC,∴AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB. 又AE=λAC-AB,∠A=60°,AB=3,AC=2,AD·AE=-4. ∴AB·AC=3×2×12=3,23AC+13AB·(λAC-AB)=-4, 即2λ3AC2-13AB2+λ3-23AB·AC=-4,

17、 ∴2λ3×4-13×9+λ3-23×3=-4,即113λ-5=-4,解得λ=311. 典題演練提能·刷高分 1.點(diǎn)B是以線段AC為直徑的圓上的一點(diǎn),其中|AB|=2,則AC·AB=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　由圓的性質(zhì)知∠ABC=90°, 所以cos∠BAC=BAAC=|BA||AC|, 所以AC·AB=|AC|·|AB|·cos∠BAC=|AC|·|AB|·|AB||AC|=|AB|2=4,故選D. 2.在△ABC中,已知|AB+AC|=|AB-AC|,AB=1,AC=3,M,N分別為BC的三等分點(diǎn),則AM

18、·AN=(　　) A.109 B.209 C.89 D.83 答案　B 解析　∵|AB+AC|=|AB-AC|,∴∠BAC=90°.又M,N分別為BC的三等分點(diǎn), AM·AN=AB+13BC·AC+13CB=AB·AC+13AB·CB+13BC·AC+19BC·CB=0+13×1×10×110+13×10×3×310-19×10×10=13+3-109=209.故選B. 3.(2019山東臨沂高三三模)在△ABC中,|AB+AC|=|AB-AC|,AB=2,AC=1,E,F為AB的三等分點(diǎn),則CE·CF=(　　) A.89 B.109 C.179 D.259 答案　C 解析　因

19、為|AB+AC|=|AB-AC|,所以|AB+AC|2=|AB-AC|2,整理得AB·AC=0.因?yàn)锳B=2,AC=1,所以AB2=4,AC2=1,又因?yàn)镋,F為AB的三等分點(diǎn),所以CE·CF=(CA+AE)·(CA+AF)=CA+13AB·CA+23AB=CA2+29AB2+CA·AB=1+29×4+0=179,故選C. 4.(2019河北棗強(qiáng)中學(xué)高三一模)已知△ABC中,|BC|=2,BA·BC=-2.點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn),則PC·(PA+PB+PC)的最小值為(　　) A.2 B.-34 C.-2 D.-2512 答案　D 解析　以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖的直角坐標(biāo)系.

20、可得B(-1,0),C(1,0),設(shè)P(a,0),A(x,y),由BA·BC=-2,可得(x+1,y)·(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,y≠0,則PC·(PA+PB+PC)=(1-a,0)·(x-a-1-a+1-a,y+0+0) =(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=3a-162-2512,當(dāng)a=16時(shí),PC·(PA+PB+PC)的最小值為-2512.故選D. 5. 如圖,在正方形ABCD中,AB=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),則AE·BF的值是　　　　.? 答案　0 解析　由題得AE·BF=AB+12BC·BC-12AB=AB·B

21、C+12BC2-12AB2-14AB·BC=0+2-2-0=0,所以AE·BF=0,故填0. 6.(2019福建廈門高三質(zhì)檢)在△ABC中,AB=4,AC=2,A=π3,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心,半徑為1的圓上,則PB·PC的最小值為　　　　　.? 答案　5-27 解析　如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系. 則A(0,0),B(4,0),C(1,3),設(shè)P(x,y),則PB=(4-x,-y),PC=(1-x,3-y), ∴PB·PC=(4-x)(1-x)-y(3-y)=x2-5x+y2-3y+4=(x-52)2+(y-32)2-3,其中(x-52)2+(y-3

22、2)2表示圓A上的點(diǎn)P與點(diǎn)M52,32之間的距離|PM|的平方. 由幾何圖形可得|PM|min=|AM|-1=522+322-1=7-1,∴(PB·PC)min=(7-1)2-3=5-27.故答案為5-27. 命題角度4平面向量數(shù)量積的應(yīng)用　 高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向 1.(2019全國(guó)Ⅰ·8)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為(　　) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案　B 解析　因?yàn)?a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2.設(shè)a與b的夾角為θ, 則cosθ=a·b|a|·|b|=|b|22|b|

23、2=12, 所以a與b的夾角為π3,故選B. 2.(2014全國(guó)Ⅱ·4)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=10,|a-b|=6,則a·b=(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 答案　A 解析　∵|a+b|=10,∴(a+b)2=10. ∴|a|2+|b|2+2a·b=10,① ∵|a-b|=6,∴(a-b)2=6, ∴|a|2+|b|2-2a·b=6,② 由①-②得a·b=1,故選A. 典題演練提能·刷高分 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2019黑龍江哈爾濱第三中學(xué)高三二模)向量a=(2,t),b=(-1,3),若a,b的夾角為鈍角,則t的取值范圍是(　　)

24、A.t<23 B.t>23 C.t<23且t≠-6 D.t<-6 答案　C 解析　若a,b的夾角為鈍角,則a·b<0且不反向共線,a·b=-2+3t<0,得t<23.向量a=(2,t),b=(-1,3)共線時(shí),2×3=-t,得t=-6,此時(shí)a=-2b.所以t<23且t≠-6.故選C. 2.已知在△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,則實(shí)數(shù)λ的值為(　　) A.2215 B.103 C.6 D.127 答案　A 解析　因?yàn)锳P⊥BC,所以AP·BC=λAB+AC·AC-AB=-λAB2+AC2+(λ-1)AC·AB=0, 因此-λ·

25、32+42+(λ-1)·3·4·cos120°=0, 所以λ=2215. 3.在△ABC中,若AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB,則△ABC是(　　) A.等邊三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.直角三角形 答案　D 解析　∵在△ABC中,AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB, ∴AB2=AB·AC-AB·BC+CA·CB=AB·(AC-BC)+CA·CB, ∴AB2=AB2+CA·CB,∴CA·CB=0, ∴∠C=90°,∴△ABC為直角三角形,故選D. 4.(2019北京清華大學(xué)附中高三三模)已知向量a=(1,2),b=(x,1),c=(1,3),

26、若(a+b)⊥c,則x=　　　　　.? 答案　-10 解析　因?yàn)閍=(1,2),b=(x,1),c=(1,3),所以a+b=(x+1,3).∵(a+b)⊥c,∴(a+b)·c=x+1+9=0.∴x=-10.故答案為-10. 5.已知向量a,b滿足|b|=5,|2a+b|=53,|a-b|=52,則|a|=　　　　.? 答案　563 解析　由已知有4a2+4a·b+b2=75,a2-2a·b+b2=50,將b2=|b|2= 25代入方程組,解得|a|=563. 6.(2019安徽高三聯(lián)考)在四邊形ABCD中,AD=BC,AB=(2,4),BD=(-3,-5),則AC在AB上的投影為　　　　　.? 答案　755 解析　由AD=BC,得四邊形ABCD是平行四邊形,且AD=AB+BD=(2,4)+(-3,-5)=(-1,-1),則AC=AB+AD=(2,4)+(-1,-1)=(1,3),∴AC在AB上的投影為|AC|cos=AB·AC|AB|=1425=755. 17