高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 3 條件概率與獨(dú)立事件 北師大版選修2-3

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1、3條件概率與獨(dú)立事件第二章概率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解條件概率與兩個事件相互獨(dú)立的概念.2.掌握條件概率的計算公式.3.能利用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式解決一些簡單的實(shí)際問題.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考1知識點(diǎn)一條件概率試求P(A)、P(B)、P(AB).答案100件產(chǎn)品中有93件產(chǎn)品的長度合格，90件產(chǎn)品的質(zhì)量合格，85件產(chǎn)品的長度、質(zhì)量都合格.令A(yù)產(chǎn)品的長度合格，B產(chǎn)品的質(zhì)量合格，AB產(chǎn)品的長度、質(zhì)量都合格思考2任取一件產(chǎn)品，已知其質(zhì)量合格(即B發(fā)生)，求它的長度(即A發(fā)生)也合格(記為A|B)的概率.答案思考3P(B)、P(AB)、P(A|B)間有怎樣的關(guān)系.答案條件概率(

2、1)概念事件B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為 的條件概率，記為 .(2)公式P(A|B)(其中，AB也可以記成AB).(3)當(dāng)P(A)0時，A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A).梳理梳理B發(fā)生時A發(fā)生P(A|B)思考1知識點(diǎn)二獨(dú)立事件事件A發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率嗎？答案甲箱里裝有3個白球、2個黑球，乙箱里裝有2個白球，2個黑球.從這兩個箱子里分別摸出1個球，記事件A“從甲箱里摸出白球”，B“從乙箱里摸出白球”.答案答案不影響.思考2P(A)，P(B)，P(AB)的值為多少？答案思考3P(AB)與P(A)，P(B)有什么關(guān)系？答案答案P(AB)P(A)P(B).(3)拓展：若A1，A2，

3、An相互獨(dú)立，則有P(A1A2An).獨(dú)立事件(1)概念：對兩個事件A，B，如果 ，則稱A，B相互獨(dú)立.梳理梳理P(AB)P(A)P(B)BP(A1)P(A2)P(An)題型探究例例1在5道題中有3道理科題和2道文科題.如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；類型一條件概率解答解解設(shè)第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則第1次和第2次都抽到理科題為事件AB.從5道題中不放回地依次抽取2道題的事件數(shù)為n()20.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，n(A)12.(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；解答(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率.求條件概率

4、一般有兩種方法：一是對于古典概型類題目，可采用縮減基本事件總數(shù)的辦法來計算，P(B|A)，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件個數(shù)，n(A)表示事件A包含的基本事件個數(shù)；二是直接根據(jù)定義計算，P(B|A)，特別要注意P(AB)的求法.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1盒中裝有5個產(chǎn)品，其中3個一等品，2個二等品，不放回地從中取產(chǎn)品，每次取1個.求：(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率；解答解解記Ai為第i次取到一等品，其中i1,2.取兩次，兩次都取得一等品的概率，(2)取兩次，第二次取得一等品的概率；(3)取兩次，在第二次取得一等品的條件下，第一次取得的是二等品的概率.解答解解取兩次，第二次取得

5、一等品，則第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品，解解取兩次，已知第二次取得一等品，例例2一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)一個家庭中既有男孩又有女孩，B一個家庭中最多有一個女孩.對下列兩種情形，討論A與B的獨(dú)立性：(1)家庭中有兩個小孩；解答類型二獨(dú)立事件的判斷解解有兩個小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有4個基本事件，由等可能性知概率都為 .這時A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，由此可知P(AB)P(A)P(B)，所以事件A，B不相互獨(dú)立.解解有三個小孩的家

6、庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女).由等可能性知這8個基本事件的概率均為 ，這時A中含有6個基本事件，B中含有4個基本事件，AB中含有3個基本事件.解答(2)家庭中有三個小孩.從而事件A與B是相互獨(dú)立的.三種方法判斷兩事件是否具有獨(dú)立性(1)定義法：直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.(2)公式法：檢驗(yàn)P(AB)P(A)P(B)是否成立.(3)條件概率法：當(dāng)P(A)0時，可用P(B|A)P(B)判斷.反思與感悟解析解析根據(jù)事件相互獨(dú)立性的定義判斷，只要P(AB)P(A)

7、P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C)成立即可.利用古典概型概率公式計算可得P(A)0.5，P(B)0.5，P(C)0.5，P(AB)0.25，P(AC)0.25，P(BC)0.25.可以驗(yàn)證P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C).所以根據(jù)事件相互獨(dú)立的定義，事件A與B相互獨(dú)立，事件B與C相互獨(dú)立，事件A與C相互獨(dú)立.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A是“第一枚為正面”，事件B是“第二枚為正面”，事件C是“兩枚結(jié)果相同”，則下列事件具有相互獨(dú)立性的是_.(填序號)A，B；A，C；B，C.答案解析類型三獨(dú)立

8、事件的概率例例3在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾要彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機(jī)選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機(jī)選3名歌手.(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；解答解解設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”，因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立，(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列.解答所以X的分布列為概率問題中的數(shù)學(xué)思想(1)正難則反：靈活應(yīng)用對立事件的概率關(guān)系(P

9、(A)P()1)簡化問題，是求解概率問題最常用的方法.(2)化繁為簡：將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系.“所求事件”分幾類(考慮概率加法公式，轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步(考慮概率乘法公式，轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件)組成.(3)方程思想：利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(組)，通過解方程(組)使問題獲解.反思與感悟解答跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨(dú)立加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為 ，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為 ，甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為

10、 .(1)分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；解解設(shè)A，B，C分別為甲，乙，丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件.代入得27P(C)251P(C)220，(2)從甲、乙、丙三臺機(jī)床加工的零件中各取一個進(jìn)行檢驗(yàn)，求至少有一個一等品的概率.解答解解記D為從甲、乙、丙三臺機(jī)床加工的零件中各取一個進(jìn)行檢驗(yàn)，其中至少有一個一等品的事件，當(dāng)堂訓(xùn)練234511.一件產(chǎn)品要經(jīng)過2道獨(dú)立的加工程序，第一道工序的次品率為a，第二道工序的次品率為b，則產(chǎn)品的正品率為A.1ab B.1abC.(1a)(1b)D.1(1a)(1b)答案解析解析解析2道工序相互獨(dú)立，產(chǎn)品的正品率為(1a)(1b).2

11、34512.拋擲紅、藍(lán)兩個骰子，事件A“紅骰子出現(xiàn)4點(diǎn)”，事件B“藍(lán)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，則P(A|B)為答案解析3.市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場上買到的一個甲廠的合格燈泡的概率是A.0.665 B.0.564 C.0.245 D.0.28523451答案解析解析解析記事件A為“甲廠產(chǎn)品”，事件B為“合格產(chǎn)品”，則P(A)0.7，P(B|A)0.95，P(AB)P(A)P(B|A)0.70.950.665.234514.壇子里放有3個白球，2個黑球，從中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2

12、次摸得白球，則A1與A2是A.互斥事件 B.相互獨(dú)立事件C.對立事件 D.不相互獨(dú)立事件解析解析解析互斥事件和對立事件是同一次試驗(yàn)的兩個不同時發(fā)生的事件，故選項(xiàng)A、C錯.而事件A1的發(fā)生對事件A2發(fā)生的概率有影響，故兩者是不相互獨(dú)立事件.答案5.某田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動員，根據(jù)平時訓(xùn)練情況統(tǒng)計甲，乙，丙三人100 m跑(互不影響)的成績在13 s內(nèi)(稱為合格)的概率分別為 ，若對這三名短跑運(yùn)動員的100 m跑的成績進(jìn)行一次檢測，求(1)三人都合格的概率；23451解答解解記“甲、乙、丙三人100米跑成績合格”分別為事件A，B，C，顯然事件A，B，C相互獨(dú)立，設(shè)恰有k人合格的概率為Pk(k0,1,

13、2,3).三人都合格的概率(2)三人都不合格的概率；23451解答解析解析三人都不合格的概率(3)出現(xiàn)幾人合格的概率最大？23451解答解析解析恰有兩人合格的概率恰有一人合格的概率結(jié)合(1)(2)可知P1最大.所以出現(xiàn)恰有1人合格的概率最大.規(guī)律與方法1.計算條件概率時應(yīng)注意：(1)準(zhǔn)確理解條件概率的概念：條件概率中的兩個事件是互相影響的，其結(jié)果受兩個條件的概率的制約.(2)要正確求出條件概率，必須首先弄清楚“事件A發(fā)生”“事件A發(fā)生并且事件B也發(fā)生”“事件B在事件A發(fā)生的條件下發(fā)生”的概率之間的關(guān)系.2.互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件的區(qū)別與聯(lián)系名稱區(qū)別聯(lián)系定義事件個數(shù)互斥事件在一次試驗(yàn)中不能同時發(fā)生的事件兩個或兩個以上兩事件互斥，但不一定對立；反之一定成立.兩事件獨(dú)立，則不一定互斥(或?qū)α?.兩事件互斥(或?qū)α?，則不相互獨(dú)立對立事件在一次試驗(yàn)中不能同時發(fā)生但必有一個發(fā)生的事件兩個獨(dú)立事件一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響兩個或兩個以上本課結(jié)束