2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 概率 2.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差課件 新人教B版選修2-3.ppt

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第二章——,概率,2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差,[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.3.掌握方差的性質(zhì)，以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差的求法，會(huì)利用公式求它們的方差.,,1,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí),,2,課堂講義重點(diǎn)難點(diǎn)，個(gè)個(gè)擊破,,3,當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗(yàn)成功,[知識(shí)鏈接]1.某省運(yùn)會(huì)即將舉行，在最后一次射擊選拔比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下：甲運(yùn)動(dòng)員：7,8,6,8,6,5,8,10,7,5；乙運(yùn)動(dòng)員：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.觀察上述數(shù)據(jù)，兩個(gè)人射擊的平均成績(jī)是一樣的.那么，是否兩個(gè)人就沒(méi)有水平差距呢？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？,∴乙成績(jī)較穩(wěn)定，選乙參加比賽.,2.隨機(jī)變量的方差與樣本的方差有何不同？答樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此它是一個(gè)隨機(jī)變量，而隨機(jī)變量的方差是通過(guò)大量試驗(yàn)得出的，刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，因此它是一個(gè)常量而非變量.,[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1.離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，這些值對(duì)應(yīng)的概率是p1，p2，…，pn，則D(X)＝____________叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差.離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散型隨機(jī)變量取值相對(duì)于期望的(或說(shuō)離散程度).D(X)的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量X的.,(x1－E(X))2p1,＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn,平均波動(dòng)大小,標(biāo)準(zhǔn)差,2.離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)(1)設(shè)a，b為常數(shù)，則D(aX＋b)＝；(2)D(c)＝0(其中c為常數(shù)).,a2D(X),3.服從兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝(其中p為成功概率)；(2)若X～B(n，p)，則D(X)＝.,p(1－p),np(1－p),要點(diǎn)一求離散型隨機(jī)變量的方差例1袋中有20個(gè)大小相同的球，其中標(biāo)有0號(hào)的有10個(gè)，標(biāo)有n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標(biāo)號(hào).(1)求ξ的分布列、期望和方差；解ξ的分布列為,(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值.解由D(η)＝a2D(ξ)，得a22.75＝11，即a＝2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝21.5＋b，得b＝－2.當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－21.5＋b，得b＝4.,規(guī)律方法1.求離散型隨機(jī)變量的方差的類(lèi)型及解決方法(1)已知分布列(非兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布)：直接利用定義求解，先求均值，再求方差.(2)已知分布列是兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布型：直接套用公式求解，具體如下：①若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p).②若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p).,(3)分布列未知：求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識(shí)先求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成(1)中的情況.(4)對(duì)于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性質(zhì)求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解.,2.求離散型隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟(1)理解ξ的意義，寫(xiě)出ξ可能取的全部值.(2)求ξ取各個(gè)值的概率，寫(xiě)出分布列.(3)根據(jù)分布列，由期望的定義求出E(ξ).(4)根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出D(ξ)，.若ξ～B(n，p)，則不必寫(xiě)出分布列，直接用公式計(jì)算即可.,跟蹤演練1甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為(1)求第三次由乙投籃的概率；,(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列、期望及標(biāo)準(zhǔn)差.,故ξ的分布列為,要點(diǎn)二兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差例2為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹(shù)、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳.各株沙柳的成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)ξ為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望E(ξ)為3，標(biāo)準(zhǔn)差為,(1)求n和p的值，并寫(xiě)出ξ的分布列；解由題意知，ξ服從二項(xiàng)分布B(n，p)，,ξ的分布列為,(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種.求需要補(bǔ)種沙柳的概率.解記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(ξ≤3)，,規(guī)律方法方差的性質(zhì)：D(aξ＋b)＝a2D(ξ).若ξ服從兩點(diǎn)分布，則D(ξ)＝p(1－p).若ξ～B(n，p)，則D(ξ)＝np(1－p).,跟蹤演練2設(shè)一次試驗(yàn)的成功率為p，進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，求當(dāng)p為何值時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大？并求其最大值.解設(shè)成功次數(shù)為隨機(jī)變量X，,因?yàn)镈(X)＝100p(1－p)＝100p－100p2，,把上式看作一個(gè)以p為自變量的二次函數(shù)，,要點(diǎn)三期望與方差的綜合應(yīng)用例3某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式.解當(dāng)日需求量n≥16時(shí)，利潤(rùn)y＝80.,當(dāng)日需求量n<16時(shí)，利潤(rùn)y＝10n－80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為,(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差.,解X可能的取值為60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列為,X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝600.1＋700.2＋800.7＝76.X的方差為D(X)＝(60－76)20.1＋(70－76)20.2＋(80－76)20.7＝44.,規(guī)律方法解期望與方差的綜合問(wèn)題時(shí)的注意事項(xiàng)(1)離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差是三個(gè)緊密聯(lián)系的有機(jī)統(tǒng)一體，一般在試題中綜合在一起考查，其解題的關(guān)鍵是求出分布列；(2)在求分布列時(shí)，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算概率，并注意結(jié)合分布列的性質(zhì)，簡(jiǎn)化概率計(jì)算；,(3)在計(jì)算期望與方差時(shí)要注意運(yùn)用期望和方差的性質(zhì)以避免一些復(fù)雜的計(jì)算.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布可直接利用對(duì)應(yīng)公式求解.,跟蹤演練3從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù).(1)求X的分布列；,X的分布列,(2)求X的均值與方差；解由(1)，X的均值與方差為,(3)求“所選3人中女生人數(shù)X≤1”的概率.解由(1)，“所選3人中女生人數(shù)X≤1”的概率為,1.設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)＝1，則D(2X＋1)的值為()A.2B.3C.4D.5解析D(2X＋1)＝4D(X)＝41＝4.,1,2,3,4,C,1,2,3,4,2.同時(shí)拋擲兩枚均勻的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的次數(shù)為ξ，則D(ξ)等于(),A,1,2,3,4,3.已知離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，則對(duì)應(yīng)x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分別為_(kāi)_______，________，________.解析由題意知，－p1＋p3＝0.1，1.21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.,0.4,0.1,0.5,4.同時(shí)拋擲4枚均勻的硬幣80次，設(shè)4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，2枚反面向上的次數(shù)為ξ.(1)求拋擲4枚硬幣，恰好2枚正面向上，2枚反面向上的概率；解設(shè)“拋擲4枚硬幣，恰好2枚正面向上，2枚反面向上”為事件A，拋擲4枚硬幣的基本事件總數(shù)是24，,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,(2)求ξ的數(shù)學(xué)期望和方差.,1,2,3,4,課堂小結(jié),1.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度，以及隨機(jī)變量取值偏離于期望的平均程度.方差D(X)或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量X偏離期望的平均程度越??；方差越大，表明平均偏離的程度越大，說(shuō)明X的取值越分散.,2.求離散型隨機(jī)變量X的期望、方差的步驟(1)理解X的意義，寫(xiě)出X的所有可能的取值；(2)求X取每一個(gè)值的概率；(3)寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布列；(4)由期望、方差的定義求E(X)，D(X).特別地，若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布，可根據(jù)公式直接計(jì)算E(X)和D(X).,