《一元二次方程》名師教案.doc

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______________________________________________________________________________________________________________ 21.1 一元二次方程 （王鵬鵬） 一、教學(xué)目標(biāo) （一）學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解一元二次方程的概念. 2.理解一般式的概念及其派生的其他概念. 3.應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡單題目. （二）學(xué)習(xí)重點 一元二次方程的有關(guān)概念及其一般形式，并用這些概念解決問題. （三）學(xué)習(xí)難點 通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念. 二、教學(xué)設(shè)計 （一）課前設(shè)計 預(yù)習(xí)任務(wù) 理解一元二次方程的概念：整式方程中都只含有　一個　未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是　2　，這樣的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式：　　，其中：二次項為　　;一次項為　　;常數(shù)項為　c　;二次項系數(shù)為　a　;一次項系數(shù)為　b　. 預(yù)習(xí)自測 （1）方程是否是一元二次方程？ 【知識點】一元二次方程概念 【思路點撥】整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，這樣的方程叫做一元二次方程. 【解題過程】解：此方程只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為一次，所以不是一元二次方程. 【答案】否 （2）方程是否是一元二次方程？ 【知識點】一元二次方程概念 【思路點撥】整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，這樣的方程叫做一元二次方程. 【解題過程】解：此方程含有兩個未知數(shù)，所以不是一元二次方程. 【答案】否 （3）一元二次方程的一般形式是 . 【知識點】一元二次方程的一般形式. 【思路點撥】一元二次方程的一般形式： 【解題過程】將原方程化簡后整理得，一般形式： 【答案】 （4）一元二次方程的一次項系數(shù)是 . 【知識點】一元二次方程的一般形式. 【思路點撥】一元二次方程的一般形式： 【解題過程】將原方程化整理成一般形式：，一次項系數(shù)為-2 【答案】-2 (二)課堂設(shè)計 1.問題探究 探究一 一元二次方程的概念和一般形式 ★ ▲ ●活動① 以舊引新 問題：有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個無蓋長方體盒子.如果要制作的無蓋長方體盒子底面積為3600cm2,那么鐵皮各角應(yīng)切去邊長為多少cm的正方形? 請大家根據(jù)題目設(shè)未知數(shù)、列出方程. 學(xué)生回答：設(shè)鐵皮各角應(yīng)切去邊長為的正方形，由題意知 整理所列方程后觀察： 老師問：方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？ 學(xué)生回答：方程可化為：.未知數(shù)的個數(shù)是1個，最高次數(shù)是2次. 【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)設(shè)未知數(shù)列方程的步驟。通過對舊知識的復(fù)習(xí)，為新知識的學(xué)習(xí)作鋪墊. ●活動② 大膽猜想，探究新知 觀察這兩個方程，小組討論，有何發(fā)現(xiàn)？ 回答下列問題： （1） 上面方程整理后含有幾個未知數(shù)？ 學(xué)生回答：1個未知數(shù). （2） 按照整式中的多項式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？ 學(xué)生回答：2次 （3） 有等號嗎？還是與多項式一樣只有式子？ 學(xué)生回答：是等式 【設(shè)計意圖】讓學(xué)生充分感受所列方程的特點, 通過比較，對一元二次方程的概念達到共識，從而為掌握概念作準(zhǔn)備. ●活動③ 集思廣益，歸納概念 老師問：一元二次方程的概念是什么？ 概念歸納： 1.一元二次方程的概念： 等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式：，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項． 【設(shè)計意圖】概括歸納出一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式. ●活動④ 掌握一元二次方程的特點 提出問題： (1)一元二次方程的一般形式有什么特點？等號的左、右分別是什么？ (2)為什么要限制a≠0，b，c可以為0嗎？ (3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次項系數(shù)是1嗎？為什么？ 學(xué)生回答：一元二次方程是整式方程，等號左邊只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.等號右邊為0. 學(xué)生回答：若則二次項不存在，所以要限制a≠0，b，c可以為0. 學(xué)生回答：一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次項系數(shù)不是1，應(yīng)是-1. 老師總結(jié)：一元二次方程特殊形式： ；； 【設(shè)計意圖】加深對概念的理解，從而達到真正理解定義的目的。 ●活動⑤ 類比一元一次方程的根的概念獲得一元二次方程的根的概念 一元二次方程的根： 老師問：一元一次方程的根是什么？ 學(xué)生回答：使一元一次方程成立的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解（或根）. 老師問：一元二次方程的根的概念是什么？ 學(xué)生回答：使一元二次方程成立的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（或根）. 【設(shè)計意圖】 識記、理解相關(guān)概念.通過類比，遷移提高. 探究二 利用一元二次方程的概念解決簡單的問題. ★ ▲ ●活動① 一元二次方程的概念和一元二次方程的根的概念的應(yīng)用 例1. 判斷下列方程是否為一元二次方程？ 【知識點】 一元二次方程的概念 【解題過程】（1）不是方程；（2）含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程；（3）整理后二次項系數(shù)為0；（4）不是整式方程；（5）不是整式方程；（6）二次項系數(shù)可能為0. 【思路點撥】一元二次方程的特點：首先它是整式方程，然后未知數(shù)的個數(shù)是1，最高次數(shù)是2 【答案】 （1）否（2）是（3）否（4）否（5）否（6）否 【設(shè)計意圖】通過練習(xí)，掌握一元二次方程的概念. 練習(xí)1. 在下列方程中，一元二次方程的個數(shù)是（ ） ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0 A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【知識點】一元二次方程的概念 【解題過程】①3x2+7=0 是 ②ax2+bx+c=0 二次項系數(shù)可能為0， 所以不是一元二次方程 ③（x-2）（x+5）=x2-1 整理后二次項系數(shù)為0，所以不是一元二次方程 ④3x2-=0 不是整式方程，所以不是一元二次方程 【思路點撥】判斷一個方程是否是一元二次方程的依據(jù)：(1)整式方程；(2)只含有一個未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2.注意有些方程化簡前含有二次項，但是化簡后二次項系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程． 【答案】A 例2．下面哪些數(shù)是方程x2+5x+6=0的根？ -4，-3，-2， 0． 【知識點】一元二次方程的根 【解題過程】將x=-4代入原方程，，不是 將x=-3代入原方程，，是 將x=-2代入原方程，，是 將x=0代入原方程，，不是 【思路點撥】判斷一個數(shù)是否為方程的解，可以將這個數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等． 【答案】-3，-2 練習(xí)2. 已知關(guān)于x的一元二次方程的一個根是x=0，則a的值為_________ 【知識點】一元二次方程的根 【解題過程】把x=0代入原方程得， 【思路點撥】把所給方程的根代入原方程，再解方程求出所含字母的值 【答案】-1 【設(shè)計意圖】通過練習(xí)，掌握一元二次方程的根的概念. ●活動2 一元二次方程的一般形式的應(yīng)用 例3.判斷下列方程是不是關(guān)于x的一元二次方程，如果是，寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項. （1）3x(x+2)=4(x-1)+7 （2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1) 【知識點】一元二次方程的一般形式. 【解題過程】 （1）原方程整理得：，二次項系數(shù)為3、一次項系數(shù)為2，常數(shù)項為-3. （2）原方程整理得：9x+10=0，因此它不是一元二次方程. 【思路點撥】將方程化成一般形式，再根據(jù)其一般形式確定它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項. 【答案】（1）是一元二次方程；3；2；-3 （2）不是一元二次方程. 練習(xí)3.把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、常數(shù)項： 方程 一般形式 二次項系數(shù) 常數(shù)項 3x2=5x-1 (x+2)(x-1)=6 【知識點】一元二次方程的一般形式. 【解題過程】 將3x2=5x-1化為一般形式，二次項系數(shù)為3、常數(shù)項為1. 將(x+2)(x-1)=6化為一般形式，二次項系數(shù)為1、常數(shù)項為-8. 【思路點撥】將方程化成一般形式，再確定二次項系數(shù)和常數(shù)項. 【答案】（1） 3；1 （2） 1；-8 【設(shè)計意圖】理解一元二次方程的一般形式，及其二次項和二次項系數(shù)、一次項和一次項系數(shù)、常數(shù)項. 例4.若關(guān)于x的方程是一元二次方程，求m的取值范圍. 【知識點】一元二次方程的概念 【解題過程】原方程整理得，因其是一元二次方程， ∴m-20, ∴m2. 【思路點撥】先將原方程化為一般形式，再根據(jù)一元二次方程的二次項系數(shù)不能為0，求出m的范圍. 【答案】m2 練習(xí)4.若關(guān)于x的方程是一元二次方程，求m的值. 【知識點】一元二次方程的概念 【解題過程】是關(guān)于x的一元二次方程 【思路點撥】一元二次方程的一般形式為. 【答案】 【設(shè)計意圖】加強對一元二次方程的概念的理解，不能忽略a0這一隱含條件. ●活動3 綜合應(yīng)用 例5. 已知關(guān)于x的方程 （1）k為何值時，此方程為一元二次方程？并寫出該一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項. （2）k為何值時，此方程為一元一次方程? 【知識點】一元二次方程和一元一次方程的概念. 【解題過程】（1）是一元二次方程 該方程的二次項系數(shù)為、一次項系數(shù)為k+1、常數(shù)項為-2. （2）是一元一次方程 【思路點撥】根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的概念分別列不等式（組）求解. 【答案】(1)k1，，k+1，-2；（2）k=1 練習(xí)5. 已知關(guān)于x的方程 當(dāng)_____________時，是一元二次方程 當(dāng)_____________時，是一元一次方程 【知識點】一元二次方程和一元一次方程的概念 【解題過程】是一元二次方程 是一元一次方程 【思路點撥】根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的概念分別列不等式（組）求解. 【答案】 【設(shè)計意圖】加強對一元二次方程和一元一次方程概念的理解 例6.已知方程x2+bx+a=0有一根為-a，（a≠0） 則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（ ） A.ab B. C. a+b D.a-b 【知識點】一元二次方程的根的概念 【解題過程】有一根為 【思路點撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根代入原方程. 【答案】D 練習(xí)6．一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0） (1)滿足a+b+c=0 時，有根x=_________. (2)滿足a-b+c=0 時，有根x=_________. (3)滿足c=0 時，有根x=_________. 【知識點】一元二次方程的根的概念 【解題過程】（1）當(dāng)時，一元二次方程ax2+bx+c=0可化為，因此滿足a+b+c=0 時，有根x=1. （2）當(dāng)時，一元二次方程ax2+bx+c=0可化為，因此滿足a-b+c=0 時，有根x=-1. （3）當(dāng)時，一元二次方程ax2+bx+c=0可化為，因此滿足c=0 時，有根x=0. 【思路點撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根帶回原方程. 【答案】（1）；（2）；（3） 【設(shè)計意圖】加強對一元二次方程的根的概念的理解和應(yīng)用. 2. 課堂總結(jié) 知識梳理 1. 一元二次方程的概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的一般形式：，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項. 3. 一元二次方程的根：使一元二次方程成立的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（或根）. 重難點歸納 1. 一元二次方程的二次項系數(shù)不能為0，其一般形式為：. 2.一元二次方程特殊形式有： ；； 3.判斷一個方程是否是一元二次方程的依據(jù)：(1)整式方程；(2)只含有一個未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2.注意有些方程化簡前含有二次項，但是化簡后二次項系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程． 4.只有一元方程的“解”可以說成“根”. 5.判斷一個數(shù)是否為方程的解，可以將這個數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等． 6.一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），當(dāng)a+b+c=0 時，有根x=1；當(dāng)a-b+c=0 時，有根x=-1；當(dāng)c=0時，有根x=0. （三）課后作業(yè)? 基礎(chǔ)型 自主突破 1．下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（　　） A．a(chǎn)x2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1） D．﹣2=0 【知識點】一元二次方程的概念 【解題過程】A.可能，不是一元二次方程. B.化成一般形式，不是一元二次方程. C.化成一般形式，是一元二次方程. D.不是整式方程. 【思路點撥】一元二次方程的特點：首先它是整式方程，然后未知數(shù)的個數(shù)是1，最高次數(shù)是2. 【答案】C 2. 一元二次方程的一般形式是 （ ） A. ax2＋bx＋c＝0 B. ax2＋bx＋c(a≠0) C. ax2＋bx＋c＝0(a≠0) D. ax2＋bx＋c＝0(b≠0) 【知識點】一元二次方程的一般形式 【解題過程】一元二次方程的一般形式 【思路點撥】提示：抓住一元二次方程的三個特征：①整式方程；②只含一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2. 【答案】C 3. 若px2－3x＋p2－p＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則 （ ） A. p＝1 B. p＞0 C. p≠0 D. p為任意實數(shù) 【知識點】一元二次方程的一般形式 【解題過程】一元二次方程的一般形式 【思路點撥】二次項系數(shù)不為0. 【答案】C 4. 關(guān)于x的一元二次方程（3－x）（3＋x）－2a（x＋1）＝5a的一次項系數(shù)為 （ ） A. 8a B. －8a C. 2a D. 7a－9 【知識點】一元二次方程的一般形式 【解題過程】首先把方程整理為一般形式為x2＋2ax＋7a－9＝0，其中一次項系數(shù)為2a. 【思路點撥】一元二次方程的一般形式 【答案】C 5. 若方程（m2－4）x2＋3x－5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則 （ ） A. m≠2 B. m≠－2 C. m≠－2，或m≠2 D. m≠－2，且m≠2 【知識點】一元二次方程的概念 【解題過程】二次項系數(shù)m2－4≠0 【思路點撥】一元二次方程的一般形式 【答案】D 6. 已知0是關(guān)于x的方程（m＋3）x2－x＋9－m2＝0的根，則m＝ . 【知識點】方程的根 【數(shù)學(xué)思想】分類討論 【解題過程】 【思路點撥】此題分兩種考慮. 當(dāng)m＋3＝0時，方程化為一元一次方程；當(dāng)m＋3≠0時，方程化為一元二次方程. 【答案】 能力型 師生共研 7. 當(dāng)m 時，方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0是關(guān)于x的一元一次方程；當(dāng)m 時，上述方程才是關(guān)于x的一元二次方程. 【知識點】一元二次方程和一元一次方程的概念 【解題過程】一元一次方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0 一元二次方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0 【思路點撥】根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的概念列方程或不等式求解. 【答案】 8.已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一個根，且a≠b，求的值. 【知識點】一元二次方程的根的概念和分式的化簡求值 【數(shù)學(xué)思想】整體思想 【解題過程】有一根為 【思路點撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根帶回原方程。 【答案】20 探究型 多維突破 9．若b（b≠0）是方程x2+cx+b=0的根，則b+c的值為（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【知識點】一元二次方程的根 【解題過程】有一根為 【思路點撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根帶回原方程. 【答案】B 10.關(guān)于x的一元二次方程(m+2) 2x2+3m2x+m2-4=0有一個根為0，則2m2-4m+3=_________。 【知識點】一元二次方程的根，代數(shù)式求值. 【解題過程】有一根為 【思路點撥】先根據(jù)一元二次方程的根的概念求出m的值，再求出代數(shù)式的值. 【答案】3 自助餐 1．若方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m＝_______. 【知識點】一元二次方程的概念 【解題過程】 【思路點撥】根據(jù)一元二次方程的概念列不等式組求解。 【答案】m=2 2．若關(guān)于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一個解為2，則m的值是______． 【知識點】一元二次方程的根 【解題過程】有一根為 【思路點撥】將方程的根x=2代入原方程求出m的值. 【答案】 3．已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一個根，則m2＋2mn＋n2的值為__________． 【知識點】一元二次方程的根 【數(shù)學(xué)思想】整體思想 【解題過程】有一根為 【思路點撥】將x=1代入原方程可求出m+n的值，再利用整體思想求出代數(shù)式的值. 【答案】1 4．定義：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)滿足a＋b＋c＝0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“鳳凰”方程，且有一個解為－1，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)＝c，b＝1 B．a(chǎn)＝b，c＝0 C．a(chǎn)＝－c，b＝0 D．a(chǎn)＝b＝c 【知識點】一元二次方程的根 【解題過程】有一根為 又 兩式相加，得 【思路點撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根帶回原方程即可. 【答案】C 5. 如果x2＋3x＋2與a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c是同一個二次三項式的兩種不同形式，你能求出a，b，c的值嗎？ 【知識點】一元二次方程一般形式 【解題過程】能，根據(jù)題意得x2＋3x＋2＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，即x2＋3x＋2＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋c)，解得 【思路點撥】根據(jù)二次三項式的各項系數(shù)相等列方程組求. 【答案】 6.已知a是方程x2-2015x+1=0的一個根，試求代數(shù)式 的值. 【知識點】一元二次方程的根，代數(shù)式的值. 【數(shù)學(xué)思想】整體思想 【解題過程】有一根為 原式= 【思路點撥】由一元二次方程根的概念可得關(guān)于a的等式，將其變形，再代入所求式中，化簡求值. 【答案】2014  THANKS !!! 致力為企業(yè)和個人提供合同協(xié)議，策劃案計劃書，學(xué)習(xí)課件等等 打造全網(wǎng)一站式需求 歡迎您的下載，資料僅供參考 -可編輯修改-