2018-2019學年度高中數(shù)學 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.2 平面與平面垂直的判定課件 新人教A版必修2.ppt

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2.3.2平面與平面垂直的判定,課標要求:1.了解二面角及其平面角的定義,并會求簡單二面角的大小.2.理解兩個平面互相垂直的定義.3.理解兩個平面垂直的判定定理,并能用定理判定面面垂直.,自主學習新知建構(gòu)自我整合,導入(實例導入)建筑工人在準備砌墻時,常常在較高處固定一條端點系有鉛錘的線,再沿著該線砌墻,就能保證所砌的墻面和水平面垂直.,【情境導學】(教學備用),想一想實例中墻面滿足什么條件時和水平面垂直?(墻面經(jīng)過水平面的一條垂線),1.二面角(1)定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫二面角的,這兩個半平面叫二面角的.圖中的二面角可記作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.,知識探究,棱,面,(2)二面角的平面角:如圖,在二面角α-l-β的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作的射線OA,OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是的二面角叫做直二面角.,垂直于棱l,直角,探究1:教室相鄰的兩個墻面與地面可以構(gòu)成幾個二面角?答案:可以構(gòu)成三個二面角,如圖所示.分別是α-a-β,β-c-γ,α-b-γ.這三個二面角都是90.,2.平面與平面垂直(1)定義:一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是,就說這兩個平面互相垂直.平面α與β垂直,記作.(2)判定定理,直二面角,α⊥β,另一個平,面的垂線,探究2:過平面外一點,可以作多少個與已知平面垂直的平面?答案:無數(shù)多個.過平面外一點可以作平面的一條垂線,過此垂線可以作出無數(shù)個平面,這些平面都與已知平面垂直.,自我檢測,1.(二面角)下列結(jié)論:(1)兩個相交平面組成的圖形叫做二面角;(2)異面直線a,b分別和一個二面角的兩個半平面垂直,則a,b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補.(3)二面角的平面角是從棱上一點出發(fā),分別在兩個半平面內(nèi)作射線所成角的最小角;(4)二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系.其中正確的是()(A)①③(B)②④(C)③④(D)①②,B,2.(判定定理)對于直線m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一個條件是()(A)m⊥n,m∥α,n∥β(B)m⊥n,α∩β=m,n?α(C)m∥n,n⊥β,m?α(D)m∥n,m⊥α,n⊥β3.(面面垂直的判定)在正方體ABCD-A1B1C1D1的六個面中,與面ABCD垂直的平面有()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個,C,D,4.(面面垂直判定定理)在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則在三棱錐P-ABC的四個面中,互相垂直的面有對.,,答案:3,5.(二面角)如圖,P是邊長為2的正方形ABCD所在平面外一點,PA⊥AB,PA⊥BC,且PC=5,則二面角P-BD-A的余弦值為.,,答案:,題型一,求二面角,【例1】如圖所示,在正方體ABCD-A′B′C′D′中:(1)求二面角D′-AB-D的大小;,課堂探究典例剖析舉一反三,,解:(1)在正方體ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD為二面角D′-AB-D的平面角,在Rt△D′DA中,∠D′AD=45.所以二面角D′-AB-D的大小為45.,,解:(2)因為M是C′D′的中點,所以MA=MB,取AB的中點N,連接MN,則MN⊥AB.取CD的中點H,連接HN,則HN⊥AB.從而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45.所以二面角M-AB-D的大小為45.,(2)若M是C′D′的中點,求二面角M-AB-D的大小.,方法技巧,(1)二面角的平面角滿足:①頂點在二面角的棱上;②兩邊分別在二面角的兩個半平面內(nèi);③兩邊分別與二面角的棱垂直.(2)二面角的平面角θ是兩條射線所成的角,因此二面角不一定是銳角,其范圍為0≤θ≤180.,即時訓練1-1:(2018遼寧實驗中學高一測試)正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角C1-AB-C的平面角等于.,,解析:因為ABCD-A1B1C1D1為正方體,所以AB⊥平面BCC1B1,因為BC?平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,所以AB⊥BC,AB⊥BC1,所以∠CBC1為二面角C1-AB-C的平面角,又ABCD-A1B1C1D1為正方體.所以∠C1BC=45.答案:45,【備用例1】在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的正方形,PD⊥平面ABCD,PD=a.(1)求證:AC⊥平面PBD;,,(1)證明:因為四邊形ABCD為正方形,所以AC⊥BD,又PD⊥平面ABCD,所以AC⊥PD,又PD∩BD=D,所以AC⊥平面PBD.,,(2)求二面角P-BC-D的平面角;,(2)解:因為四邊形ABCD為正方形,所以BC⊥CD,又PD⊥平面ABCD,所以BC⊥PD.又CD∩PD=D,所以BC⊥平面PCD,所以BC⊥PC,所以∠PCD為二面角P-BC-D的平面角,在Rt△PCD中,因為PD=DC=a,所以∠PCD=45,即二面角P-BC-D的平面角為45.,(3)求二面角P-AC-D的平面角的正切值.,,題型二,平面與平面垂直的判定,【例2】(1)如圖(1)在四面體ABCD中,BD=a,AB=AD=CB=CD=AC=a.,求證:平面ABD⊥平面BCD;,,,(2)如圖(2),在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D為BC的中點,點E在AC上,且DE⊥A1E.①求證:平面A1AD⊥平面BCC1B1;,證明:(2)①因為三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱,所以BB1⊥平面ABC,又AD?平面ABC,所以AD⊥BB1,又D為BC的中點,所以AD⊥BC,又BC∩BB1=B,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADA1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.,,②求證:平面A1DE⊥平面ACC1A1.,證明:②因為三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱,所以AA1⊥平面ABC,又DE?平面ABC,所以AA1⊥DE,又DE⊥A1E,A1E∩AA1=A1,所以DE⊥平面ACC1A1,又DE?平面A1DE,所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.,變式探究:若本例中(2)改為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,F為A1C1的中點,求證:平面AB1F⊥平面ACC1A1.,,證明:因為三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱,所以AA1⊥平面A1B1C1,又FB1?平面A1B1C1,所以AA1⊥FB1,又△A1B1C1為等邊三角形,F為A1C1的中點,所以B1F⊥A1C1,又A1C1∩AA1=A1,所以B1F⊥平面ACC1A1,又B1F?平面AB1F,所以平面AB1F⊥平面ACC1A1.,判定兩平面垂直的常用方法:(1)定義法:即說明兩個平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其關(guān)鍵是在其中一個平面內(nèi)尋找一直線與另一個平面垂直,即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”;(3)性質(zhì)法:兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面,則另一個也垂直于此平面.,方法技巧,,即時訓練2-1:(2018石家莊期末)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,E為PD的中點.若PA⊥平面ABCD,PA=AD,求證:平面AEC⊥平面PDC.,證明:因為PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD,又AD⊥CD,且AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD,又AE?平面PAD,所以CD⊥AE.因為PA=AD,E為PD中點,所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PDC,又AE?平面AEC,所以平面AEC⊥平面PDC.,【備用例2】如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中點.證明:平面ABM⊥平面A1B1M.,,【備用例3】(2014北京卷)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分別是A1C1,BC的中點.(1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1;,,(1)證明:因為在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面所以BB1⊥AB,又因為AB⊥BC,BB1∩BC=B,所以AB⊥平面B1BCC1,因為AB?平面ABE.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.,(2)求證:C1F∥平面ABE;,,(2)證明:取AB的中點G,連接EG,FG.因為E,F分別是A1C1,BC的中點,所以FG∥AC,且FG=AC.因為AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四邊形FGEC1為平行四邊形,所以C1F∥EG.又因為EG?平面ABE,C1F?平面ABE,所以C1F∥平面ABE.,(3)求三棱錐E-ABC的體積.,,題型三,線面垂直、面面垂直的綜合問題,【思考】如何作二面角的平面角?,,提示:作二面角的三種常用方法:(1)定義法:在二面角的棱上找一個特殊點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①,則∠AOB為二面角α-l-β的平面角.,,(2)垂直法:過棱上一點作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.如圖②,∠AOB為二面角α-l-β的平面角.(3)垂線法:過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的一點A向另一個平面作垂線,垂足為B,由點B向二面角的棱作垂線,垂足為O,連接AO,則∠AOB為二面角的平面角或其補角.如圖③,∠AOB為二面角α-l-β的平面角.,,【例3】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=2.(1)求證:平面PAB⊥平面ABC;,,(2)E為BA的延長線上一點,若二面角P-EC-B的大小為30,求BE的長.,(2)解:如圖,取AB的中點F,連接PF.因為PA=PB,所以PF⊥AB.由(1)知平面PAB⊥平面ABC,又平面PAB∩平面ABC=AB,PF?平面PAB,所以PF⊥平面ABC,PF⊥EC.過F作FG⊥EC于G,連接PG.因為PF⊥EC,PF∩FG=F,所以EC⊥平面FPG.因為PG?平面FPG,所以EC⊥PG.,,(1)證明垂直關(guān)系時要注意利用線面垂直、線線垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化.(2)求二面角的大小的關(guān)鍵是作出二面角的平面角,這就需要緊扣它的三個條件,即這個角的頂點是否在棱上;角的兩邊是否分別在兩個半平面內(nèi);這兩邊是否都與棱垂直.在具體作圖時,還要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧,如:線面的垂直,圖形的對稱性,與棱垂直的面等.,方法技巧,即時訓練3-1:如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE⊥平面ABCD.(1)證明:平面AEC⊥平面BED;,,(1)證明:因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD.又BE⊥平面ABCD,所以BE⊥AC,又BD∩BE=B,所以AC⊥平面BED,又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.,(2)若∠ABC=120,AE⊥EC,三棱錐E-ACD的體積為,求該三棱錐的側(cè)面積.,,謝謝觀賞！,