七年級數(shù)學上冊 第一章 豐富的圖形世界1.2《展開與折疊》學案1（無答案）（新版）北師大版

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1、 1.2 展開與折疊 【學習目標】：? 1． 通過折疊幾何體，發(fā)展學生空間觀念，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。 2． ?2．能根據(jù)展開圖判斷和制作簡單的立體模型。? 3．經(jīng)歷和體驗圖形的變化過程，體會幾何體與它的展開圖之間的關系。? 【學習重點】：? ????利用模型將展開圖折疊成幾何體是重點。? 【學習難點】：不用模型，展開想象，由展開圖怎樣疊成幾何體。 基礎知識 1．棱柱的表面展開圖 棱柱是由兩個完全相同的多邊形底面和一些長方形側面圍成的．沿棱柱表面不同的棱剪開就可以得到不同的表面展開圖．如圖是棱柱的一種展開圖． 棱柱的表面展開圖是兩個完全相同的多邊形(底面)和幾個長

2、方形(側面)． 【例題點撥1】 如圖，請你在橫線上寫出哪種立體圖形的表面能展開成下面的圖形． 解析： (1) 三棱柱 兩個底面是三角形 (2) 六棱柱 兩個底面是六邊形 (3) 長方體 兩個底面是長方形 (4) 三棱柱 兩個底面是三角形 答案：三棱柱 六棱柱 長方體 三棱柱 2．圓柱、圓錐的表面展開圖 (1)圓柱的表面展開圖 沿著圓柱的一條高把圓柱剪開，就得到圓柱的表面展開圖．圓柱的表面展開圖是兩個圓(底面)和一個長方形(側面)，如圖所示． 如果兩個底面圓在長方形的同一側(如圖所示)，折疊后上端沒有底，下端有兩個底，則它不能折疊成圓柱．

3、 (2)圓錐的表面展開圖 如圖所示，圓錐的表面展開圖是一個圓(底面)和一個扇形(側面)． 【例題點撥2】 如圖所示圖形都是幾何體的展開圖，你能說出這些幾何體的名稱嗎？ 分析：主要根據(jù)頂點、棱、面的數(shù)量及側面展開圖的形狀進行判斷． 解：圓錐、圓柱、五棱柱． 3．平面圖形的折疊 平面圖形沿某些直線折疊可以圍成一定形狀的立體圖形，與立體圖形展開成平面圖形是一個互逆過程．我們已經(jīng)見過很多平面圖形了，但并不是所有的平面圖形都能折成幾何體． 根據(jù)平面展開圖判斷立體圖形的方法： (1)能夠折疊成棱柱的特征： ①棱柱的底面邊數(shù)＝側面的個數(shù)． ②棱柱的兩個底面要分別在側面展開圖的兩側

4、． (2)圓柱的表面展開圖一定是兩個相同的圓形和一個長方形． (3)圓錐的表面展開圖一定是一個圓形和一個扇形． (4)能夠折疊成正方體的特征： ①6個面都是完全相同的正方形． ②正方體展開圖連在一起的(指在同一條直線上的)正方形最多只能為4個． ③以其中1個為底面，前、后、左、右、上面都有，且不重疊． 4．正方體展開圖上的數(shù)字問題 正方體是立體圖形的展開與折疊的代表圖形，與正方體的展開圖有關的數(shù)字問題主要是相對面的找法，確定了三組相對面，數(shù)字問題便可迎刃而解． 正方體的平面展開圖共有11種，可分為四類： (1)1－4－1型 相對面的確定：①第一行與第三

5、行的正方形是相對面；②中間一行的4個正方形中，相隔一個是相對面． (2)1－3－2型 相對面的確定：①第一行的正方形與第三行的左邊第1個正方形是相對面；②中間一行第1個與第3個為相對面；第2個與第三行第2個為相對面． (3)2－2－2型 相對面的確定：①第一行的第1個與第二行的第2個是相對面；②第二行第1個與第三行的第2個是相對面；③第三行的第1個與第一行的第2個為相對面． (4)3－3型 相對面的確定：①第一行的第1個與第3個為相對面；②第二行的第1個與第3個為相對面；③第一行的第2個與第二行的第2個為相對面． 【例題點撥3－1】 如圖所示，哪些圖形經(jīng)過折疊可以圍成

6、一個棱柱？ 分析：(1)底面是四邊形，側面有3個，顯然與三棱柱、四棱柱的特征不符；(3)的兩個底面在側面同側，折疊后也不能圍成棱柱；(2)(4)折疊后可以圍成棱柱． 解：(2)(4)可以． 【例題點撥3－2】 生活中我們經(jīng)?？梢砸姷礁鞣N各樣的包裝盒，你能用線將圖中的實物和它的平面展開圖連接起來嗎？ 分析：根據(jù)能折疊成不同幾何體的特征去判斷即可． 解：如圖所示． 【例例題點撥4－1】 如圖所示，假定用A，B表示正方體相鄰的兩個面，用字母C表示與A相對的面，請在下面的正方體展開圖中填寫相應的字母． 分析：先判斷屬于哪種類型，再確定相對面．前三種的相對面都是隔一個即可；

7、第四種的A與上面第一行中的第2個是相對面． 解：如圖所示． 【例例題點撥4－2】 要使圖中平面展開圖按虛線折疊成正方體后，相對面上兩個數(shù)之和為6，則x＝__________，y＝__________. 解析：這里關鍵是要找到相對的面，折疊之后可知，x與1相對，所以x＝5，y與3相對，所以y＝3. 答案：5 3 【例例題點撥4－3】 小麗制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒(如圖所示)，則這個正方體禮品盒的平面展開圖可能是( )． 解析：這個正方體的平面展開圖屬于1－4－1型的，根據(jù)規(guī)律可知，第一行的與第三行的為相對面，中間一行的第1個與第3個、第2

8、個與第4個為相對面，故應選A. 答案：A 5．表面展開圖的應用 正方體與圖案 正方體前面、上面、右面有不同的圖案，按不同的類型展開后，其圖案也會發(fā)生相應的變化．根據(jù)展開圖判斷是否與模型對應的方法： (1)三個面上的不同圖案不會對立，所以可排除三種圖案對立的情況； (2)位置判斷：相鄰三個面的圖案位置是否一致．當前面和上面的圖案確定位置后，另一個圖案是在左面還是右面，圖案放置的角度是否正確． 【例5】 圖中給出的是哪個正方體的展開圖？( )． 解析：顯然帶有黑色的面是相對的面，所以A，B錯誤．又因為兩個黑色小正方形應該是相對的，所以選D. 答案：D 基本

9、方法 【基礎訓練】 1.下列第二行的哪種幾何體的表面能展開成第一行的平面圖形？請對應連線。 2.下列說法中正確的是 （ ） A、正方體是四面體 B、棱錐的底面一定是四邊形 C、長方體是四棱柱，四棱柱是長方體 D、圓柱的側面展開圖是長方形 1.有上圖每個圖形都是由6個全等的正方形組成的，其中不是正方體的展開圖的是（ ） A　　　　　 B　　　 　C　　　　　　D 3.將左邊的正方體展開能得到的圖形是 （ ）

10、 A B C D 4. 如左上圖是一個正四面體，它的四個面都是正三角形，現(xiàn)沿它的三條棱AC、BC、CD剪開展成平面圖形，則所得的展開圖是（ ） 5. 請你至少畫出同一個三棱柱的三種表面展開平面圖． 6.如圖（1）是一個小正方體的側面展開圖，小正方體從圖（2）所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，這時小正方體朝上一面的字是（ ） A．奧 B．運 C．圣 D．火 迎 接 奧 運 圣 火 圖1 迎 接 奧 1 2

11、 3 圖2 5、下列圖形是某些幾何體的平面展開圖，說出這些幾何體的名稱： 6.圖3.3-4由六個正方形組成，將它們折疊可以組成一個正方體，正方體的表面編數(shù)碼為1、2、3、4、5、6。有3個面上的數(shù)字漏寫了，如果每一對面上的數(shù)的和都是7，求k的值。 思路點撥：想象一下折疊成的正方體，如果k處于上面的話，3正好與k相

12、對處于底面。 【能力提升】 1．將如圖所示的正方體沿某些棱展開后，能得到的圖形是（ C ） 2．下圖是某一立方體的側面展開圖，則該立方體是（ D ） A． B． C． D． 3.如圖所示，用1、2、3、4標出的四塊正方形，以及由字母標出的八塊正方形中任意一塊，一共要用5塊連在一起的正方形折成一個無蓋方盒，共有幾種不同的方法？請選擇合適的方法。 1 2 3 4 4.如圖，正方體盒子中，一只螞蟻從B點沿正方體的表面爬到D1點，畫出螞蟻爬行的最短線路. 【解

13、 析】正方體是空間圖形，解決空間圖形的問題，經(jīng)常是將空間圖形轉化為平面圖形，這正是轉化思想的體現(xiàn).將正方體展開成平面圖形，如圖所示，因為兩點之間線段最短，所以，在圖中，BD1就是所要求的最短線路. 思維擴展 1.如上圖，用白蘿卜等材料做一個正方體，并把正方體表面涂上顏色. （1）把正方體的棱二等分，然后沿等分線把正方體切開，得到8個小正方體.觀察其中三面被涂色的有a個，如圖①,那么a等于 ； （2）把正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開，得到27個小正方體.觀察其中三面被涂色的有a個，各面都沒有涂色的b個，如圖②,那么a+b=

14、 ； （3）把正方體的棱四等分，然后沿等分線把正方體切開，得到64個小正方體.觀察其中兩面被涂成紅色有c個，各面都沒有涂色的b個，如圖③,那么b+c= . 2.某同學在制作正方體模型的時候，在方格紙上畫出幾個小正方形（圖上陰影部分），但是一不小心，少畫了一個，請你給他補上一個，可以組合成正方體，你有幾種畫法，在圖上用陰影注明。 答：畫圖如圖3.3-3，有四種方法。 思路點撥：想象折疊成正方體時各個面所處的位置，看看缺哪個面，再確定在什么位置補畫。 易錯辨析：在想象困難時借助實物考慮。 方法點評

15、：平面圖形與立體圖形之間的轉換，在解題中應盡可能充分地想象，或借助實物。 3.一只蜘蛛在一個正方體的頂點A處，一只蚊子在正方體的頂點B出，如圖3.3-7所示，現(xiàn)在蜘蛛想盡快地捉到這只蚊子，那么它所走的最短路線是怎樣的，在圖上畫出來，這樣的最短路線有幾條？ 思路點撥：欲求從A到B的最短路線，在立體圖形中難以解決，可以考慮把正方體展開成平面圖形來考慮。如圖3.2-8所示，我們都有這樣的實際經(jīng)驗，在兩點之間，走直路路程最短，因而沿著從A到B的虛線走路程最短。然后再把展開圖折疊起來，在正方體上，象這樣最短的路線一共有六條。 4.給出兩個等邊三角形紙片如圖3.3-

16、9，要求用其中一個剪成底面是等邊三角形的三棱錐，另一個剪成上下底面是等邊三角形的直三棱柱。請你設計一種剪拼的方法，分別在圖上用虛線畫出來。 6、把一個等腰三角形沿著中間的折痕剪開，得到兩個形狀和大小完全相同的直角三角形，將這兩個直角三角形拼在一起，使得它們有一條相等的邊是公共邊，能拼出多少種不同的幾何圖形？畫出這些圖形來。 1 2 3 6 4 5 4．下圖可以沿線折疊成一個帶數(shù)字的正方體，每三個帶數(shù)字的面交于正方體的一個頂點，則相交于一個頂點的三個面上的數(shù)字之和最小是( A ) （還原正方體） A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 10