《大學(xué)物理教程習(xí)題答案》上海交通大學(xué)出版社.doc
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1、習(xí)題1 1-1.已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為 其中為常量.求:(1)質(zhì)點(diǎn)的軌道;(2)速度和速率。 解:(1) 由,知: , 消去t可得軌道方程: ∴質(zhì)點(diǎn)的軌道為圓心在(0,0)處,半徑為R的圓; (2)由,有速度: 而,有速率:。 1-2.已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為,式中的單位為m,的單位為s。求:(1)質(zhì)點(diǎn)的軌道;(2)從到秒的位移;(3)和秒兩時(shí)刻的速度。 解:(1)由,可知 , 消去t得軌道方程為:,∴質(zhì)點(diǎn)的軌道為拋物線。 (2)由,有速度: 從到秒的位移為: (3)和秒兩時(shí)刻的速度為:, 。 1-3.已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)
2、形式為,式中的單位為m,的單位為s.求:(1)任一時(shí)刻的速度和加速度;(2)任一時(shí)刻的切向加速度和法向加速度。 解:(1)由,有:,,有:; (2)而,有速率: ∴,利用有: 。 1-4.一升降機(jī)以加速度上升,在上升過程中有一螺釘從天花板上松落,升降機(jī)的天花板與底板相距為,求螺釘從天花板落到底板上所需的時(shí)間。 解法一:以地面為參照系,坐標(biāo)如圖,設(shè)同一時(shí)間內(nèi)螺釘下落的距離為,升降機(jī)上升的高度為,運(yùn)動(dòng)方程分別為 (1) (2) (3) (注意到為負(fù)值,有) 聯(lián)立求解,有:。 解法二:以
3、升降機(jī)為非慣性參照系,則重力加速度修正為, 利用,有:。 1-5.一質(zhì)量為的小球在高度處以初速度水平拋出,求: (1)小球的運(yùn)動(dòng)方程; (2)小球在落地之前的軌跡方程; (3)落地前瞬時(shí)小球的,,。 解:(1)如圖,可建立平拋運(yùn)動(dòng)學(xué)方程: , ,∴; (2)聯(lián)立上面兩式,消去t得小球軌跡方程:(為拋物線方程); (3)∵,∴, 即:, 在落地瞬時(shí),有:,∴ 又∵ ,∴ 。 1-6.路燈距地面的高度為,一身高為的人在路燈下以勻速沿直線行走。試證明人影的頂端作勻速運(yùn)動(dòng),并求其速度. 證明:設(shè)人向路燈行走,t時(shí)刻人影中頭的坐標(biāo)為,足的坐標(biāo)為, 由相似三角形關(guān)
4、系可得:, ∴ 兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有: ,考慮到:, 知人影中頭的速度:(常數(shù))。 1-7.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為(m),在 t從0秒到3秒的時(shí)間間隔內(nèi),則質(zhì)點(diǎn)走過的路程為多少? 解:由于是求質(zhì)點(diǎn)通過的路程,所以可考慮在0~3s的時(shí)間間隔內(nèi),質(zhì)點(diǎn)速度為0的位置: 若 解得 , 。 1-8.一彈性球直落在一斜面上,下落高度,斜面對(duì)水平的傾角,問它第二次碰到斜面的位置距原來的下落點(diǎn)多遠(yuǎn)(假設(shè)小球碰斜面前后速度數(shù)值相等,碰撞時(shí)人射角等于反射角)。 解:小球落地時(shí)速度為,建立沿斜面的直角坐標(biāo)系,以小球第一次落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖示, → (1) →
5、 (2) 第二次落地時(shí):,代入(2)式得:, 所以:。 1-9.地球的自轉(zhuǎn)角速度最大增加到若干倍時(shí),赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開地球?已知現(xiàn)在赤道上物體的向心加速度約為,設(shè)赤道上重力加速度為。 解:由向心力公式:, 赤道上的物體仍能保持在地球必須滿足:,而現(xiàn)在赤道上物體的向心力為: ∴ 1-10.已知子彈的軌跡為拋物線,初速為,并且與水平面的夾角為。試分別求出拋物線頂點(diǎn)及落地點(diǎn)的曲率半徑。 解:(1)拋物線頂點(diǎn)處子彈的速度,頂點(diǎn)處切向加速度為0,法向加速度為。 因此有:, ; (2)在落地點(diǎn)時(shí)子彈的,由拋物線對(duì)稱性,知法向加速度方向與豎直方向
6、成角,則:,有: 則: 。 1-11.一飛行火箭的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為,其中b是與燃料燃燒速率有關(guān)的量,u為燃?xì)庀鄬?duì)火箭的噴射速度。求: (1)火箭飛行速度與時(shí)間的關(guān)系;(2)火箭的加速度。 解:一維運(yùn)動(dòng),直接利用公式:,有: (1) , (2) 1-12.飛機(jī)以的速度沿水平直線飛行,在離地面高時(shí),駕駛員要把物品投到前方某一地面目標(biāo)上,問:投放物品時(shí),駕駛員看目標(biāo)的視線和豎直線應(yīng)成什么角度?此時(shí)目標(biāo)距飛機(jī)下方地點(diǎn)多遠(yuǎn)? 解:設(shè)此時(shí)飛機(jī)距目標(biāo)水平距離為有: ┄①,┄② 聯(lián)立方程解得:,∴。 1-13.一物體和探測(cè)氣球從同一高度豎直向上運(yùn)動(dòng),物體初速為,而氣球以速度勻
7、速上升,問氣球中的觀察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末測(cè)得物體的速度各多少? 解:物體在任意時(shí)刻的速度表達(dá)式為: 故氣球中的觀察者測(cè)得物體的速度 代入時(shí)間t可以得到第二秒末物體速度:,(向上) 第三秒末物體速度: 第四秒末物體速度:(向下)。 思考題1 1-1.質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),其瞬時(shí)速度為,瞬時(shí)速率為,平均速度為,平均速率為,則它們之間的下列四種關(guān)系中哪一種是正確的? (A);(B);(C);(D) 答:(C) 1-2.沿直線運(yùn)動(dòng)的物體,其速度大小與時(shí)間成反比,則其加速度的大小與速度大小的關(guān)系是:(A)與速度大小成正比;(B)與速度大小平方成正比;(C)與速度大小
8、成反比;(D)與速度大小平方成反比。 答:B 1-3.如圖所示為A,B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在同一直線上運(yùn)動(dòng)的圖像,由圖可知 (A)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)一定從同一位置出發(fā) (B)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)都始終作勻加速運(yùn)動(dòng) (C)在末兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相遇 (D)在時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)B可能領(lǐng)先質(zhì)點(diǎn)A 答:D 1-4.質(zhì)點(diǎn)的關(guān)系如圖,圖中,,三條線表示三個(gè)速度不同的運(yùn)動(dòng).問它們屬于什么類型的運(yùn)動(dòng)?哪一個(gè)速度大?哪一個(gè)速度?。? 答:勻速直線運(yùn)動(dòng);。 1-5.如圖所示,兩船和相距,分別以速度和勻速直線行駛,它們會(huì)不會(huì)相碰?若不相碰,求兩船相靠最近的距離.圖中和為已知。 答:方法一:如圖,以A船為參考系,在
9、該參考系中船A是靜止的,而船B的速度。 是船B相對(duì)于船A的速度,從船B作一條平行于方向的直線BC,它不與船A相交,這表明兩船不會(huì)相碰. 由A作BC垂線AC,其長(zhǎng)度就是兩船相靠最近的距離 作FD//AB,構(gòu)成直角三角形DEF,故有:, 在三角形BEF中,由余弦定理可得: 。 方法二: 兩船在任一時(shí)刻的位置矢量分別為: 任一時(shí)刻兩船的距離為: 令: 。 1-6.若質(zhì)點(diǎn)限于在平面上運(yùn)動(dòng),試指出符合下列條件的各應(yīng)是什么樣的運(yùn)動(dòng)? (A),;(B),;(C), 答:(1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng); (2) 質(zhì)點(diǎn)作勻速率曲線運(yùn)動(dòng); (3) 質(zhì)點(diǎn)作拋體運(yùn)
10、動(dòng)。 1-7.如圖所示,質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)刻由原點(diǎn)出發(fā)作斜拋運(yùn)動(dòng),其速度,回到x軸的時(shí)刻為t,則 (A) (B) (C) (D) 答:A (注意:題目中各處的v 應(yīng)為矢量!須加上箭頭。) 1-8.一質(zhì)點(diǎn)作斜拋運(yùn)動(dòng),用代表落地時(shí), (1)說明下面三個(gè)積分的意義:; (2)用和代表拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)位置,說明下面三個(gè)積分的意義: 。 答: 表示物體落地時(shí)x方向的距離, 表示物體落地時(shí)y方向的距離, 表示物體在時(shí)間內(nèi)走過的幾何路程, 拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)的位移, 拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大小, 拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大小。 習(xí)題2 2-1 質(zhì)量為16kg的質(zhì)
11、點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),受一恒力作用,力的分量為,,當(dāng)時(shí),,,。當(dāng)時(shí),求: (1) 質(zhì)點(diǎn)的位矢; (2) 質(zhì)點(diǎn)的速度。 解:由 ,有:, (1), 。 于是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的速度: (2) 2-2 質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)在xy平面上運(yùn)動(dòng),受到外力的作用,t=0時(shí),它的初速度為,求t=1s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度及受到的法向力。 解:解:由于是在平面運(yùn)動(dòng),所以考慮矢量。 由:,有:,兩邊積分有: ,∴, 考慮到,,有 由于在自然坐標(biāo)系中,,而(時(shí)),表明在時(shí),切向速度方向就是方向,所以,此時(shí)法向的力是方向的,則利用,將代入有,∴。 2-3.如圖,物體A、B質(zhì)量相同,B在光滑水平桌面上.
12、滑輪與繩的質(zhì)量以及空氣阻力均不計(jì),滑輪與其軸之間的摩擦也不計(jì).系統(tǒng)無初速地釋放,則物體A下落的加速度是多少? 解:分別對(duì)A,B進(jìn)行受力分析,可知: 則可計(jì)算得到: 。 2-4.如圖,用質(zhì)量為的板車運(yùn)載一質(zhì)量為的木箱,車板與箱底間的摩擦系數(shù)為,車與路面間的滾動(dòng)摩擦可不計(jì),計(jì)算拉車的力為多少才能保證木箱不致滑動(dòng)? 解法一:根據(jù)題意,要使木箱不致于滑動(dòng),必須使板車與木箱具有相同的加速度,且上限車板與箱底間為最大摩擦。 即: 可得: 解法二:設(shè)木箱不致于滑動(dòng)的最大拉力為,列式有: 聯(lián)立得:, 有:。 2-5.如圖所示一傾角為的斜面放在水平面上,斜面上放一
13、木塊,兩者間摩擦系數(shù)為。為使木塊相對(duì)斜面靜止,求斜面加速度的范圍。 解法一:在斜面具有不同的加速度的時(shí)候, 木塊將分別具有向上和向下滑動(dòng)的趨勢(shì),這就是加速度的兩個(gè)范圍,由題意,可得: (1)當(dāng)木塊具有向下滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)(見圖a),列式為: 可計(jì)算得到:此時(shí)的 (2)當(dāng)木快具有向上滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)(見圖b),列式為: 可計(jì)算得到:此時(shí)的,所以:。 解法二:考慮物體m放在與斜面固連的非慣性系中, 將物體m受力沿和方向分解,如圖示,同時(shí) 考慮非慣性力,隔離物塊和斜面體,列出木塊平衡式: 方向: 方向
14、: 考慮到,有:, 解得:。 ∴的取值范圍:。 2-6.質(zhì)量為的子彈以速度水平射入沙土中,設(shè)子彈所受阻力與速度反向,大小與速度成正比,比例系數(shù)為,忽略子彈的重力,求:(1) 子彈射入沙土后,速度隨時(shí)間變化的函數(shù)式;(2) 子彈進(jìn)入沙土的最大深度。 解:(1)由題意,子彈射入沙土中的阻力表達(dá)式為: 又由牛頓第二定律可得:,則 分離變量,可得:,兩邊同時(shí)積分,有:, 所以: (2)子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是的時(shí)候子彈的位移,則: 考慮到,,可推出:,而這個(gè)式子兩邊積分就可以得到位移: 。 2-7.質(zhì)量為的物體可以在劈形物體的斜面上無摩擦滑動(dòng), 劈形物質(zhì)量為,放置在
15、光滑的水平面上,斜面傾角為, 求釋放后兩物體的加速度及它們的相互作用力。 解:利用隔離體方法,設(shè)方形物相對(duì)于劈形物 沿斜面下滑的加速度為,劈形物水平向左的加 速度為,分析受力有: 方形物受力:,,(慣性力); 劈形物受力:,,,如圖; 對(duì)于,有沿斜面平行和垂直的方程為: ① ② 對(duì)于,有: ③ 將③代入有②:, ∴,代入①,有: 再將在水平和豎直兩方向上分解,有: ∴ 而相互作用力: 2-8.在光滑的水平面上設(shè)置一豎直的圓筒,半徑為,一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運(yùn)動(dòng),摩擦系數(shù)為,在時(shí),球的速率為,求任一時(shí)
16、刻球的速率和運(yùn)動(dòng)路程。 解:利用自然坐標(biāo)系,法向:,而: 切向:,則: ,得: 2-9.如圖,一質(zhì)點(diǎn)在幾個(gè)力作用下沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng),其中有一恒力N,求質(zhì)點(diǎn)從A開始沿逆時(shí)針方向經(jīng)3/4圓周到達(dá)B的過程中,力所做的功。 解:本題為恒力做功,考慮到B的坐標(biāo)為(,), ∴,再利用:, 有:(焦耳) 2-10.質(zhì)量為m=0.5kg的質(zhì)點(diǎn),在xOy坐標(biāo)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為x=5t2,y=0.5(SI),從t=2s到t=4s這段時(shí)間內(nèi),外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的功為多少? 解:由功的定義:,題意: , ∴。 2-11.一質(zhì)量為的物體,在力的作用下
17、,由靜止開始運(yùn)動(dòng),求在任一時(shí)刻此力所做功的功率為多少。 解:由,要求功率就必須知道力和速度的情況,由題意: 所以功率為: 。 2-12.一彈簧并不遵守胡克定律,其彈力與形變的關(guān)系為,其中和單位分別為和。 (1)計(jì)算當(dāng)將彈簧由拉伸至過程中,外力所做之功; (2)此彈力是否為保守力? 解:(1)由做功的定義可知: (2)∵,按保守力的定義: ∴該彈力為保守力。 2-13.如圖,一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),在半徑為R的半球形容器中,由靜止開始自邊緣上的A點(diǎn)滑下,到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí),它對(duì)容器的正壓力數(shù)值為N,求質(zhì)點(diǎn)自A滑到B的過程中,摩擦力對(duì)其做的功。 分析:直接求
18、解顯然有困難,所以使用動(dòng)能定理,那就要知道它的末速度的情況。 解:求在B點(diǎn)的速度:, 可得: 由動(dòng)能定理: ∴ 2-14.在密度為的液面上方,懸掛一根長(zhǎng)為,密度為的均勻棒,棒的端剛和液面接觸如圖所示,今剪斷細(xì)繩,設(shè)細(xì)棒只在浮力和重力作用下運(yùn)動(dòng),在的條件下,求細(xì)棒下落過程中的最大速度,以及細(xì)棒能進(jìn)入液體的最大深度。 解:(1)分析可知,棒下落的最大速度是受合力為零的時(shí)候, 所以:,即 ,則:。 利用功能原理:,有: 可解得: (2)當(dāng)均勻棒完全進(jìn)入液體中時(shí),浮力不變,到最大深度時(shí),速度為零,設(shè): ,由能量守恒有:, 即: ∴。 2-15.一鏈條放
19、置在光滑桌面上,用手撳住一端,另一端有四分之一長(zhǎng)度由桌邊下垂,設(shè)鏈條長(zhǎng)為,質(zhì)量為,試問將鏈條全部拉上桌面要做多少功? 解:直接考慮垂下的鏈條的質(zhì)心位置變化,來求做功,則: 2-16.在光滑水平面上,平放一輕彈簧,彈簧一端固定,另一端連一物體、邊上再放一物體,它們質(zhì)量分別為和,彈簧勁度系數(shù)為,原長(zhǎng)為.用力推,使彈簧壓縮,然后釋放。求: (1)當(dāng)與開始分離時(shí),它們的位置和速度; (2)分離之后,還能往前移動(dòng)多遠(yuǎn)? 解:(1)當(dāng)與開始分離時(shí),兩者具有相同的速度,但的加速度為零,此時(shí)彈簧和都不對(duì)產(chǎn)生作用力,即為彈簧原長(zhǎng)位置時(shí)刻,根據(jù)能量守恒,可得到:,有:,; (2)分離之后
20、,的動(dòng)能又將逐漸的轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能,所以: ,則: 。 2-17.已知地球?qū)σ粋€(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)的引力為(為地球的質(zhì)量和半徑)。(1)若選取無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零,計(jì)算地面處的勢(shì)能;(2)若選取地面處勢(shì)能為零,計(jì)算無窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能.比較兩種情況下的勢(shì)能差. 解:(1)取無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零,地面處的勢(shì)能為: ; (2)若選取地面處勢(shì)能為零,計(jì)算無窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能為: ∴兩種情況下勢(shì)能差是完全一樣的。 2-18.如圖所示的圓錐擺,繩長(zhǎng)為l,繩子一端固定,另一端系一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),以勻角速ω繞鉛直線作圓周運(yùn)動(dòng),繩子與鉛直線的夾角為θ。在質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周的過程中,試求: (1)質(zhì)點(diǎn)所受
21、合外力的沖量; (2)質(zhì)點(diǎn)所受張力T的沖量。 解:(1)設(shè)周期為,因質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中, 速度沒有變化,,由, ∴旋轉(zhuǎn)一周的沖量; (2)如圖該質(zhì)點(diǎn)受的外力有重力和拉力, 且,∴張力T旋轉(zhuǎn)一周的沖量: 所以拉力產(chǎn)生的沖量為,方向豎直向上。 2-19.質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 ,求: (1)質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的動(dòng)量; (2)從到的時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)受到的沖量。 解:(1)根據(jù)動(dòng)量的定義:,而, ∴ ; (2)由 , 所以沖量為零。 2-20.質(zhì)量為M=2.0kg的物體(不考慮體積),用一根長(zhǎng)為l=1.0m的細(xì)繩懸掛在天花板上。今有一質(zhì)量為m=20g
22、的子彈以=600m/s的水平速度射穿物體。剛射出物體時(shí)子彈的速度大小=30m/s,設(shè)穿透時(shí)間極短。求: (1)子彈剛穿出時(shí)繩中張力的大小; (2)子彈在穿透過程中所受的沖量。 解:(1)解:由碰撞過程動(dòng)量守恒可得: ∴ 根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律:,有:; (2)根據(jù)沖量定理可得:。 2-21.一靜止的原子核經(jīng)放射性衰變產(chǎn)生出一個(gè)電子和一個(gè)中微子,巳知電子的動(dòng)量為,中微子的動(dòng)量為,兩動(dòng)量方向彼此垂直。(1)求核反沖動(dòng)量的大小和方向;(2)已知衰變后原子核的質(zhì)量為,求其反沖動(dòng)能。 解:由碰撞時(shí),動(dòng)量守恒,分析示意圖,有: (1) 又∵
23、,∴ , 所以 , ; (2)反沖的動(dòng)能為:。 2-22.有質(zhì)量為的彈丸,從地面斜拋出去,它的落地點(diǎn)為。如果它在飛行到最高點(diǎn)處爆炸成質(zhì)量相等的兩碎片。其中一碎片鉛直自由下落,另一碎片水平拋出,它們同時(shí)落地。問第二塊碎片落在何處。 解:利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,在爆炸的前后,質(zhì)心始終只受重力的作用,因此,質(zhì)心的軌跡為一拋物線,它的落地點(diǎn)為。 ,而, , ∴ 。 2-23.如圖,光滑斜面與水平面的夾角為,輕質(zhì)彈簧上端固定.今在彈簧的另一端輕輕地掛上質(zhì)量為的木塊,木塊沿斜面從靜止開始向下滑動(dòng).當(dāng)木塊向下滑時(shí),恰好有一質(zhì)量的子彈,沿水平方向以速度射中木塊并陷在其中。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為。求
24、子彈打入木塊后它們的共同速度。 解:由機(jī)械能守恒條件可得到碰撞前木快的速度,碰撞過程中子彈和木快沿斜面方向動(dòng)量守恒,可得: (碰撞前木快的速度) 再由沿斜面方向動(dòng)量守恒定律,可得: 。 2-24.以初速度0將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以傾角從坐標(biāo)原點(diǎn)處拋出。設(shè)質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),不計(jì)空氣阻力,以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn),計(jì)算任一時(shí)刻: (1)作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩; (2)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量。 解:(1) (2) 2-25.人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)離地心r1=2R,(R為地球半徑),遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心r2=4R。求: (1)衛(wèi)星在近地點(diǎn)及遠(yuǎn)地點(diǎn)處的速率和(用地球半徑R以及地球表面附近的重力加速度
25、g來表示); (2)衛(wèi)星運(yùn)行軌道在近地點(diǎn)處的軌跡的曲率半徑ρ。 解:(1)利用角動(dòng)量守恒:,得 , 同時(shí)利用衛(wèi)星的機(jī)械能守恒,這里,萬有引力勢(shì)能表達(dá)式為:, 所以:, 考慮到:,有: ,; (2)利用萬有引力提供向心力,有: , 可得到:。 2-26.火箭以第二宇宙速度沿地球表面切向飛出,如圖所示。在飛離地球過程中,火箭發(fā)動(dòng)機(jī)停止工作,不計(jì)空氣阻力,求火箭在距地心4R的A處的速度。 解:第二宇宙速度時(shí),由機(jī)械能守恒: 再由動(dòng)量守恒:, 代入:。 2-27.如圖,一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤狀定滑輪,繩的兩端分別掛著質(zhì)量為和的重物,繩與滑輪間無
26、相對(duì)滑動(dòng),滑輪軸光滑,兩個(gè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為,將由兩個(gè)定滑輪以及質(zhì)量為和的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放,求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。 解:受力分析如圖,可建立方程: ┄① ┄② ┄③ ┄④ ,┄⑤ 聯(lián)立,解得:, 。 2-28.如圖所示,一均勻細(xì)桿長(zhǎng)為,質(zhì)量為,平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上,設(shè)開始時(shí)桿以角速度繞過中心且垂直與桌面的軸轉(zhuǎn)動(dòng),試求:(1)作用于桿的摩擦力矩;(2)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間桿才會(huì)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。 解:(1)設(shè)桿的線密度為:,在桿上取一小質(zhì)元,有微元摩擦力: , 微元摩擦力矩:, 考慮對(duì)稱性,有摩擦力矩: ; (2)根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律,有:, ,∴。
27、 或利用:,考慮到,, 有:。 2-29.如圖所示,滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,半徑為;物體的質(zhì)量為,用一細(xì)繩與勁度系數(shù)的彈簧相連,若繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng),滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)。求:(1)當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長(zhǎng)時(shí)使物體由靜止而下落的最大距離;(2)物體的速度達(dá)最大值時(shí)的位置及最大速率。 解:(1)設(shè)彈簧的形變量為,下落最大距離為。 由機(jī)械能守恒:,有: ; (2)當(dāng)物體下落時(shí),由機(jī)械能守恒:, 考慮到,有:, 欲求速度最大值,將上式兩邊對(duì)求導(dǎo),且令,有: ,將代入,有:, ∴當(dāng)m時(shí)物體速度達(dá)最大值,有: ,代入數(shù)值可算出: 。 2-30.如圖所示,長(zhǎng)為l的輕桿,兩端各固
28、定質(zhì)量分別為和的小球,桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為和.輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為的小球,以水平速度與桿下端小球作對(duì)心碰撞,碰后以的速度返回,試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。 解:根據(jù)角動(dòng)量守恒,有: 有: ∴ 思考題 2-1.質(zhì)量為m的小球,放在光滑的木板和光滑的墻壁之間,并保持平衡,如圖所示.設(shè)木板和墻壁之間的夾角為a,當(dāng)a逐漸增大時(shí),小球?qū)δ景宓膲毫⒃鯓幼兓? 解:以小球?yàn)檠芯繉?duì)象,設(shè)墻壁對(duì)小球的壓力為N1, 方向水平向右,木板對(duì)小球的壓力為N2,方向垂直于 木板,小球受重力為mg,建立平衡方程: , 所以當(dāng)增大,
29、小球?qū)δ景宓膲毫2將減小; 小球?qū)Ρ诘膲毫σ矞p小。 2-2.質(zhì)量分別為m1和m2的兩滑塊A和B通過一輕彈簧水平連結(jié)后置于水平桌面上,滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為μ,系統(tǒng)在水平拉力F作用下勻速運(yùn)動(dòng),如圖所示.如突然撤消拉力,則剛撤消后瞬間,二者的加速度aA和aB分別為多少 ? 解:由于系統(tǒng)在拉力F作用下做勻速運(yùn)動(dòng), 對(duì)A進(jìn)行受力分析,知:, 對(duì)B進(jìn)行受力分析,知: 突然撤消拉力時(shí),對(duì)A有:,所以, 對(duì)B有:,所以。 2-3.如圖所示,用一斜向上的力 (與水平成30角),將一重為的木塊壓靠在豎直壁面上,如果不論用怎樣大的力F,都不能使木塊向上滑動(dòng),則說明木塊與壁面間的靜摩
30、擦系數(shù)m的大小為多少? 解:假設(shè)墻壁對(duì)木塊的壓力為N,由受力分析圖可知: 整理上式,并且根據(jù)題意,如果不論用怎樣大的力F,都不能使木塊向上滑動(dòng),則說明: 即:(此式中F無論為多大,總成立),則可得:。 2-4.如圖所示,假設(shè)物體沿著豎直面上圓弧形軌道下滑,軌道是光滑的,在從A至C的下滑過程中,下面哪個(gè)說法是正確的? (A) 它的加速度大小不變,方向永遠(yuǎn)指向圓心。 (B) 它的速率均勻增加。 (C) 它的合外力大小變化,方向永遠(yuǎn)指向圓心。 (D) 它的合外力大小不變。 (E) 軌道支持力的大小不斷增加。 解:在下滑過程中,物體做圓周運(yùn)動(dòng)。并且v在增大,所以
31、它既有法向加速度,又有切向加速度,A的說法不對(duì); 速率的增加由重力沿切線方向的分力提供,由于切線方向始終在改變,所以速率增加不均勻,B的說法不對(duì); 外力有重力和支持力,后者的大小和方向都在變化,所以合力的大小方向也在變化。C,D的說法都不對(duì)。 下滑過程中的θ和v都在增大,所以N也在增大, 則E的說法正確。 2-5.和兩物體放在水平面上,它們受到的水平恒力一樣,位移也一樣,但一個(gè)接觸面光滑,另一個(gè)粗糙.力做的功是否一樣?兩物體動(dòng)能增量是否一樣? 答:根據(jù)功的定義: 所以當(dāng)它們受到的水平恒力一樣,位移也一樣時(shí),兩個(gè)功是相等的; 但由于光滑的接觸面摩擦力不做功,粗糙的接觸面摩擦力
32、做功,所以兩個(gè)物體的總功不同,動(dòng)能的增量就不相同。 2-6.按質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理,下列式子: 是否成立?這三式是否是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的三個(gè)分量式?試作分析。 答:不成立,因?yàn)楣κ菢?biāo)量,不分方向,沒有必要這么寫。 2-7.在勁度系數(shù)為的彈簧下,如將質(zhì)量為的物體掛上慢慢放下,彈簧伸長(zhǎng)多少?如瞬間掛上讓其自由下落彈簧又伸長(zhǎng)多少? 答:如將質(zhì)量為的物體掛上慢慢放下,彈簧伸長(zhǎng)為,所以; 如瞬間掛上讓其自由下落,彈簧伸長(zhǎng)應(yīng)滿足能量守恒:,所以 。 2-8.一粒子初時(shí)沿軸負(fù)向以速度運(yùn)動(dòng),后被位于坐標(biāo)原點(diǎn)的金核所散射,使其沿與軸成的方向運(yùn)動(dòng)(速度大小不變).試用矢量在圖上表出粒子
33、所受到的沖量的大小和方向。 解:由: , 考慮到, 見右圖示。 2-9.試用所學(xué)的力學(xué)原理解釋逆風(fēng)行舟的現(xiàn)象。 解:可用動(dòng)量定理來解釋。設(shè)風(fēng)沿與航向成角的方向 從右前方吹來,以風(fēng)中一小塊沿帆面吹過來的空氣為研 究對(duì)象,表示這塊空氣的質(zhì)量,和分別表示它 吹向帆面和離開帆面時(shí)的速度,由于帆面比較光滑,風(fēng) 速大小基本不變,但是由于的速度方向改變了,所 以一定是受到帆的作用力,根據(jù)牛頓第三定律,必然 對(duì)帆有一個(gè)反作用力,此力的方向偏向船前進(jìn)的方向,將分解為兩個(gè)分量,垂直船體的分量與水對(duì)船的阻力相平衡,與船的航向平行的分量就是推動(dòng)帆及整個(gè)船體前進(jìn)的作用力。 2-10.當(dāng)
34、質(zhì)量為的人造衛(wèi)星在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí),常常列出下列三個(gè)方程: , , , 試分析上述三個(gè)方程各在什么條件下成立。 解:(1)機(jī)械能守恒; (2)角動(dòng)量守恒; (3)萬有引力提供向心力。 2-11.在水平冰面上以一定速度向東行駛的炮車,向東南(斜向上)方向發(fā)射一炮彈,對(duì)于炮車和炮彈這一系統(tǒng),在此過程中(忽略冰面摩擦力及空氣阻力)哪些量守恒? 答:對(duì)于這個(gè)系統(tǒng),(1)動(dòng)量守恒;(2)能量守恒,因?yàn)闆]有外力做功。 2-12.體重相同的甲乙兩人,分別用雙手握住跨過無摩擦滑輪的繩子兩端,當(dāng)他們由同一高度向上爬時(shí),相對(duì)于繩子,甲的速度是乙的兩倍,則到達(dá)頂點(diǎn)情況是: (A
35、)甲先到達(dá);(B)乙先到達(dá);(C)同時(shí)到達(dá);(D)誰先到達(dá)不能確定。 答:本題測(cè)試的是剛體系統(tǒng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒的概念. 當(dāng)兩小孩質(zhì)量相等時(shí),M=0。則系統(tǒng)角動(dòng)量守恒,兩人的實(shí)際的速度相同,將同時(shí)到達(dá)滑輪處,與誰在用力,誰不在用力無關(guān)。 選擇C。 2-13.一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的軸以角速度按圖示方向轉(zhuǎn)動(dòng),若如圖所示的情況那樣,將兩個(gè)大小相等方向相反但不在同一條直線的力沿盤面方向同時(shí)作用到盤上,則盤的角速度怎樣變化? 答:增大 2-14.一個(gè)人站在有光滑固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)上,雙臂伸直水平地舉起二啞鈴,在該人把此二啞鈴水平收縮到胸前的過程中,人、啞鈴與轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)
36、組成的系統(tǒng)的: (A)機(jī)械能守恒,角動(dòng)量守恒;(B)機(jī)械能守恒,角動(dòng)量不守恒; (C)機(jī)械能不守恒,角動(dòng)量守恒;(D)機(jī)械能不守恒,角動(dòng)量不守恒。 答:(C) 習(xí)題3 3-1.原長(zhǎng)為的彈簧,上端固定,下端掛一質(zhì)量為的物體,當(dāng)物體靜止時(shí),彈簧長(zhǎng)為.現(xiàn)將物體上推,使彈簧縮回到原長(zhǎng),然后放手,以放手時(shí)開始計(jì)時(shí),取豎直向下為正向,寫出振動(dòng)式。(g取9.8) 解:振動(dòng)方程:,在本題中,,所以; ∴ 。 取豎直向下為x正向,彈簧伸長(zhǎng)為0.1m時(shí)為物體的平衡位置,所以如果使彈簧的初狀態(tài)為原長(zhǎng),那么:A=0.1m, 當(dāng)t=0時(shí),x=-A,那么就可以知道物體的初相位為π。 所以:
37、 即:。 3-2.有一單擺,擺長(zhǎng),小球質(zhì)量,時(shí),小球正好經(jīng)過處,并以角速度向平衡位置運(yùn)動(dòng)。設(shè)小球的運(yùn)動(dòng)可看作簡(jiǎn)諧振動(dòng),試求:(1)角頻率、頻率、周期;(2)用余弦函數(shù)形式寫出小球的振動(dòng)式。(g取9.8) 解:振動(dòng)方程: 我們只要按照題意找到對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)就行了。 (1)角頻率:, 頻率: , 周期:; (2)振動(dòng)方程可表示為:,∴ 根據(jù)初始條件,時(shí):, 可解得:, 所以得到振動(dòng)方程: 。 3-3.一質(zhì)點(diǎn)沿軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng),振幅為,周期為。當(dāng)時(shí),位移為,且向軸正方向運(yùn)動(dòng)。求:(1)振動(dòng)表達(dá)式;(2)時(shí),質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度;(3)如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于,且向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)
38、,求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。 解:(1)由題已知 A=0.12m,T=2 s ,∴ 又∵t=0時(shí),,,由旋轉(zhuǎn)矢量圖,可知: 故振動(dòng)方程為:; (2)將t=0.5 s代入得: , , , 方向指向坐標(biāo)原點(diǎn),即沿x軸負(fù)向; (3)由題知,某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于, 且向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),如圖示,質(zhì)點(diǎn)從位置回到 平衡位置處需要走,建立比例式:, 有: 。 3-4.兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng),振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在 處,且向左運(yùn)動(dòng)時(shí),另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)2在 處,且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位相差。 解:由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知: 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在 處,且向左運(yùn)動(dòng)時(shí), 相位為, 而質(zhì)
39、點(diǎn)2在 處,且向右運(yùn)動(dòng), 相位為。 所以它們的相位差為。 3-5.當(dāng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移為振幅的一半時(shí),其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的多少?物體在什么位置時(shí)其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的一半? 解:由,,有:, , (1)當(dāng)時(shí),由, 有:,, ∴,; (2)當(dāng)時(shí),有: ∴,。 3-6.兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線(如圖所示) (1)求合振動(dòng)的振幅。 (2)求合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式。 解:通過旋轉(zhuǎn)矢量圖做最為簡(jiǎn)單。 由圖可知,兩個(gè)振動(dòng)同頻率,且 初相:,初相:, 表明兩者處于反相狀態(tài), (反相,) ∵,∴合成振動(dòng)的振幅: ; 合成振動(dòng)的相位: ; 合成振動(dòng)的方程
40、: 。 3-7.兩個(gè)同方向,同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng),其合振動(dòng)的振幅為,與第一個(gè)振動(dòng)的位相差為。若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為。則(1)第二個(gè)振動(dòng)的振幅為多少?(2)兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差為多少? 解:如圖,可利用余弦定理: 由圖知 =0.01 m ∴A2=0.1 m , 再利用正弦定理:,有: ,∴。 說明A1與A2間夾角為π/2,即兩振動(dòng)的位相差為π/2 。 3-8. 質(zhì)點(diǎn)分別參與下列三組互相垂直的諧振動(dòng): (1) ;(2) ; (3) 。試判別質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。 解:質(zhì)點(diǎn)參與的運(yùn)動(dòng)是頻率相同,振幅相同的垂直運(yùn)動(dòng)的疊加。 對(duì)于,的疊加,可推得: (1)
41、將,代入有:, 則方程化為:,軌跡為一般的橢圓; (2)將,代入有: 則方程化為:,即,軌跡為一直線; (3)將,代入有: 則方程化為:,軌跡為圓心在原點(diǎn),半徑為4m的圓。 3-9.沿一平面簡(jiǎn)諧波的波線上,有相距的兩質(zhì)點(diǎn)與,點(diǎn)振動(dòng)相位比點(diǎn)落后,已知振動(dòng)周期為,求波長(zhǎng)和波速。 解:根據(jù)題意,對(duì)于A、B兩點(diǎn),, 而相位和波長(zhǎng)之間滿足關(guān)系:, 代入數(shù)據(jù),可得:波長(zhǎng)=24m。又∵T=2s,所以波速。 3-10.已知一平面波沿軸正向傳播,距坐標(biāo)原點(diǎn)為處點(diǎn)的振動(dòng)式為,波速為,求: (1)平面波的波動(dòng)式; (2)若波沿軸負(fù)向傳播,波動(dòng)式又如何? 解:(1)設(shè)平面波的波動(dòng)式為
42、,則點(diǎn)的振動(dòng)式為: ,與題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較, 有:,∴平面波的波動(dòng)式為:; (2)若波沿軸負(fù)向傳播,同理,設(shè)平面波的波動(dòng)式為:,則點(diǎn)的振動(dòng)式為: ,與題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較, 有:,∴平面波的波動(dòng)式為:。 3-11.一平面簡(jiǎn)諧波在空間傳播,如圖所示,已知點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律為,試寫出: (1)該平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式; (2)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式(點(diǎn)位于點(diǎn)右方處)。 解:(1)仿照上題的思路,根據(jù)題意,設(shè)以點(diǎn)為原點(diǎn)平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式為: ,則點(diǎn)的振動(dòng)式: 題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較,有:, ∴該平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式為: (2)B點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式可直接將坐標(biāo),代入波動(dòng)方程: 3-12.已知
43、一沿正方向傳播的平面余弦波,時(shí)的波形如圖所示,且周期為。 (1)寫出點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式; (2)寫出該波的波動(dòng)表達(dá)式; (3)寫出點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式; (4)寫出點(diǎn)離點(diǎn)的距離。 解:由圖可知:,,而,則:, ,,∴波動(dòng)方程為: 點(diǎn)的振動(dòng)方程可寫成: 由圖形可知:時(shí):,有: 考慮到此時(shí),∴,(舍去) 那么:(1)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式:; (2)波動(dòng)方程為:; (3)設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為: 由圖形可知:時(shí):,有: 考慮到此時(shí),∴(或) ∴A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式:,或; (4)將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入波動(dòng)方程,可得到A的振動(dòng)方程為: ,與(3)求得的A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式比較,有: ,所以: 。
44、 3-13.一平面簡(jiǎn)諧波以速度沿軸負(fù)方向傳播。已知原點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示。試寫出: (1)原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式; (2)波動(dòng)表達(dá)式; (3)同一時(shí)刻相距的兩點(diǎn)之間的位相差。 解:這是一個(gè)振動(dòng) 圖像! 由圖可知A=0.5cm,設(shè)原點(diǎn)處的振動(dòng)方程為:。 (1)當(dāng)時(shí),,考慮到:,有:, 當(dāng)時(shí),,考慮到:,有:,, ∴原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式:; (2)沿軸負(fù)方向傳播,設(shè)波動(dòng)表達(dá)式: 而,∴; (3)位相差: 。 3-14.一正弦形式空氣波沿直徑為的圓柱形管行進(jìn),波的平均強(qiáng)度為,頻率為,波速為。問波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少?每?jī)蓚€(gè)相鄰?fù)嗝骈g的波段中含有多少能量? 解
45、:(1)已知波的平均強(qiáng)度為:,由 有: ; (2)由,∴ 。 3-15.一彈性波在媒質(zhì)中傳播的速度,振幅,頻率。若該媒質(zhì)的密度為,求:(1)該波的平均能流密度;(2)1分鐘內(nèi)垂直通過面積的總能量。 解:(1)由:,有: ; (2)1分鐘為60秒,通過面積的總能量為: 。 3-16.設(shè)與為兩個(gè)相干波源,相距波長(zhǎng),比的位相超前。若兩波在在、連線方向上的強(qiáng)度相同且不隨距離變化,問、連線上在外側(cè)各點(diǎn)的合成波的強(qiáng)度如何?又在外側(cè)各點(diǎn)的強(qiáng)度如何? 解:(1)如圖,、連線上在外側(cè), ∵, ∴兩波反相,合成波強(qiáng)度為0; (2)如圖,、連線上在外側(cè), ∵, ∴兩
46、波同相,合成波的振幅為, 合成波的強(qiáng)度為: 。 3-17.圖中所示為聲音干涉儀,用以演示聲波的干涉。為聲源,為聲音探測(cè)器,如耳或話筒。路徑的長(zhǎng)度可以變化,但路徑是固定的。干涉儀內(nèi)有空氣,且知聲音強(qiáng)度在的第一位置時(shí)為極小值100單位,而漸增至距第一位置為的第二位置時(shí),有極大值單位。求: (1)聲源發(fā)出的聲波頻率; (2)抵達(dá)探測(cè)器的兩波的振幅之比。 解:根據(jù)駐波的定義,相鄰兩波節(jié)(腹)間距:, 相鄰波節(jié)與波腹的間距:,可得:。 (1)聲音的速度在空氣中約為340m/s,所以: (2)∵,,,依題意有: ,那么 。 3-18.蝙蝠在洞穴中飛來飛去,是利用超聲脈
47、沖來導(dǎo)航的。假定蝙蝠發(fā)出的超聲頻率為39000Hz。當(dāng)它以空氣中聲速的的運(yùn)動(dòng)速率朝著墻壁飛撲過程中,試問它自己聽到的從墻壁反射回來的脈沖頻率是多少? 解:根據(jù)多普勒效應(yīng), 3-19.一聲源的頻率為1080Hz,相對(duì)于地以30m/s的速度向右運(yùn)動(dòng),在其右方有一反射面相對(duì)于地以65m/s的速率向左運(yùn)動(dòng),設(shè)空氣中的聲速為331m/s,求: (1)聲源在空氣中發(fā)出聲音的波長(zhǎng); (2)每秒鐘到達(dá)反射面的波數(shù); (3)反射波的波速; (4)反射波的波長(zhǎng)。 解:(1)在聲源前方靜止接收器接收到的頻率 聲音的波長(zhǎng) (2)每秒鐘到達(dá)反射面的波數(shù)(等于反射波的頻率)為
48、 (3)波速只取決于媒質(zhì)的性質(zhì),因此反射波的波速仍為 (4)反射波的波長(zhǎng)為 3-20.試計(jì)算:一波源振動(dòng)的頻率為,以速度向墻壁接近(如圖所示),觀察者在點(diǎn)聽得拍音的頻率為,求波源移動(dòng)的速度,設(shè)聲速為。 解:根據(jù)觀察者不動(dòng),波源運(yùn)動(dòng),即:,, 觀察者認(rèn)為接受到的波數(shù)變了:, 其中,,,分別代入,可得: 。 思考題 3-1.試說明下列運(yùn)動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧振動(dòng): (1)小球在地面上作完全彈性的上下跳動(dòng); (2)小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅度的擺動(dòng)。 答:要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng),必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件: ① 描述系統(tǒng)的各種參量,如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長(zhǎng)……等等
49、在運(yùn)動(dòng)中保持為常量; ② 系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng); ③ 在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用。 或者說,若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用描述時(shí),其所作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng)。 那么,(1)拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)不是諧振動(dòng)。第一、球的運(yùn)動(dòng)軌道中并不存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡位置;第二、球在運(yùn)動(dòng)中所受的三個(gè)力:重力,地面給予的彈力,擊球者給予的拍擊力,都不是線性回復(fù)力。要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng),必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:一、描述系統(tǒng)的各種參量,如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長(zhǎng)……等等在運(yùn)動(dòng)中保持為常量;二、系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng);三、在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用?;蛘哒f,若一
50、個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用描述時(shí),其所作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng)。 (2)小球在圖所示的情況中所作的小弧度的運(yùn)動(dòng),是諧振動(dòng)。顯然,小球在運(yùn)動(dòng)過程中,各種參量均為常量;該系統(tǒng)(指小球凹槽、地球系統(tǒng))的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點(diǎn),即系統(tǒng)勢(shì)能最小值位置點(diǎn)O;而小球在運(yùn)動(dòng)中的回復(fù)力為。題中所述,,故,所以回復(fù)力為。(式中負(fù)號(hào)表示回復(fù)力的方向始終與角位移的方向相反)即小球在O點(diǎn)附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)中所受回復(fù)力為線性的。若以小球?yàn)閷?duì)象,則小球在以O(shè)′為圓心的豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng),由牛頓第二定律,在凹槽切線方向上有 mR,令,則有:。 3-2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度在什么情況下是同號(hào)的?在什么
51、情況下是異號(hào)的?加速度為正值時(shí),振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速率是否一定在增加?反之,加速度為負(fù)值時(shí),速率是否一定在減小? 答: 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度: ; 加速度:; 要使它們同號(hào),必須使質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位在第一象限。其他象限的相位兩者就是異號(hào)的。 加速度為正值時(shí),振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速率不一定在增加,反之,加速度為負(fù)值時(shí),速率也不一定在減小。 只有當(dāng)速度和加速度是同號(hào)時(shí),加速度才能使速率增加;反之,兩者異號(hào)時(shí),加速度使速率減小。 3-3.分析下列表述是否正確,為什么? (1)若物體受到一個(gè)總是指向平衡位置的合力,則物體必然作振動(dòng),但不一定是簡(jiǎn)諧振動(dòng); (2)簡(jiǎn)諧振動(dòng)過程是能量守恒的過程,凡是能量守恒的過程就
52、是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 答:(1)的表述是正確的,原因參考7-1; (2)的表述不正確,比如自由落體運(yùn)動(dòng)中能量守恒,但不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 3-4.用兩種方法使某一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 方法1:使其從平衡位置壓縮,由靜止開始釋放。 方法2:使其從平衡位置壓縮2,由靜止開始釋放。 若兩次振動(dòng)的周期和總能量分別用和表示,則它們滿足下面那個(gè)關(guān)系? (A) (B) (C) (D) 答:根據(jù)題意,這兩次彈簧振子的周期相同,振幅相差一倍。所以能量不同。選擇(B)。 3-5.一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng),周期為T,振幅為A,質(zhì)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到處所需要的最短時(shí)間為多少? 答:質(zhì)點(diǎn)從運(yùn)
53、動(dòng)到處所需要的最短相位變化為,所以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為:。 3-6.一彈簧振子,沿軸作振幅為的簡(jiǎn)諧振動(dòng),在平衡位置處,彈簧振子的勢(shì)能為零,系統(tǒng)的機(jī)械能為,問振子處于處時(shí);其勢(shì)能的瞬時(shí)值為多少? 答:由題意,在平衡位置處,彈簧振子的勢(shì)能為零,系統(tǒng)的機(jī)械能為,所以該振子的總能量為,當(dāng)振子處于處時(shí);其勢(shì)能的瞬時(shí)值為: 。 3-7.圖(a)表示沿軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波在時(shí)刻的波形圖,則圖(b)表示的是: (A)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線; (B)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線; (C)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線; (D)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線。 答:圖(b)在t=0時(shí)刻的相位為,所以對(duì)應(yīng)的是質(zhì)點(diǎn)n的振動(dòng)曲線,選擇B。
54、 3-8.從能量的角度討論振動(dòng)和波動(dòng)的聯(lián)系和區(qū)別。. 答:(1)在波動(dòng)的傳播過程中,任意時(shí)刻的動(dòng)能和勢(shì)能不僅大小相等而且相位相同,同時(shí)達(dá)到最大,同時(shí)等于零。而振動(dòng)中動(dòng)能的增加必然以勢(shì)能的減小為代價(jià),兩者之和為恒量。 (2)在波傳動(dòng)過程中,任意體積元的能量不守恒。質(zhì)元處在媒質(zhì)整體之中,沿波的前進(jìn)方向,每個(gè)質(zhì)元從后面吸收能量,又不停的向前面的質(zhì)元釋放能量,能量得以不斷地向前傳播。而一個(gè)孤立振動(dòng)系統(tǒng)總能量是守恒的。 3-9. 當(dāng)兩列波干涉時(shí),是否會(huì)有能量損失? 答:否。當(dāng)兩列波干涉時(shí),波的能量只是進(jìn)行了重新分布,并不會(huì)有損失。 3-10. 一衛(wèi)星發(fā)射恒定頻率的無線電波
55、。地面上的探測(cè)器測(cè)到了這些無線電波,并使它們與某一標(biāo)準(zhǔn)頻率形成拍,然后將拍頻輸入揚(yáng)聲器,人們就“聽”到了衛(wèi)星的信號(hào)。試描述當(dāng)衛(wèi)星趨近地面探測(cè)器、通過探測(cè)器上空以及離開探測(cè)器時(shí)聲音的變化情況。 答:由于多普勒效應(yīng),當(dāng)衛(wèi)星趨近地面探測(cè)器、通過探測(cè)器上空以及離開探測(cè)器時(shí),地面上探測(cè)器測(cè)到的來自衛(wèi)星的無線電波頻率將大于、等于和小于其發(fā)射頻率(n1),它們與標(biāo)準(zhǔn)頻率(n2)形成拍的拍頻將隨著增大(若n2>n1)或減小(若n1>n2),揚(yáng)聲器發(fā)出的拍音也隨之變短或變長(zhǎng)。 習(xí)題4 4-1.在容積的容器中盛有理想氣體,氣體密度為=1.3g/L。容器與大氣相通排出一部分氣體后,氣壓下降了0.78atm
56、。若溫度不變,求排出氣體的質(zhì)量。 解:根據(jù)題意,可知:,,。 由于溫度不變,∴,有:, 那么,逃出的氣體在下體積為:, 這部分氣體在下體積為: 則排除的氣體的質(zhì)量為: 。 根據(jù)題意,可得:, 4-2.有一截面均勻的封閉圓筒,中間被一光滑的活塞分割成兩邊。如果其中的一邊裝有0.1kg某一溫度的氫氣,為了使活塞停留在圓筒的正中央,則另一邊裝入的同一溫度的氧氣質(zhì)量為多少? 解:平衡時(shí),兩邊氫、氧氣體的壓強(qiáng)、體積、溫度相同,利用,知兩氣體摩爾數(shù)相同,即:,∴,代入數(shù)據(jù)有: 。 4-3.如圖所示,兩容器的體積相同,裝有相同質(zhì)量的氮?dú)夂脱鯕?。用一?nèi)壁光滑的水平細(xì)玻璃管相通,管的正
57、中間有一小滴水銀。要保持水銀滴在管的正中間,并維持氧氣溫度比氮?dú)鉁囟雀?0oC,則氮?dú)獾臏囟葢?yīng)是多少? 解:已知氮?dú)夂脱鯕赓|(zhì)量相同,水銀滴停留在管的正中央, 則體積和壓強(qiáng)相同,如圖。 由:,有:, 而:,,可得: 。 4-4.高壓氧瓶:,,每天用,,為保證瓶?jī)?nèi),能用幾天? 解:由,可得:, ∴; 而:,有:, 那么:能用的天數(shù)為天 。 4-5.氫分子的質(zhì)量為,如果每秒有個(gè)氫分子沿著與容器器壁的法線成角的方向以的速率撞擊在面積上(碰撞是完全彈性的),則器壁所承受的壓強(qiáng)為多少? 解:由:,再根據(jù)氣體壓強(qiáng)公式:,有: 。 4-6.一容器內(nèi)儲(chǔ)有氧氣,其壓強(qiáng),溫度
58、,求容器內(nèi)氧氣的 (1)分子數(shù)密度; (2)分子間的平均距離; (3)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能; (4)分子的方均根速度。 解:(1)由氣體狀態(tài)方程得: ; (2)分子間的平均距離可近似計(jì)算:; (3)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能:; (4)分子的方均根速度: 。 4-7.已知某種理想氣體,其分子方均根率為,當(dāng)其壓強(qiáng)為時(shí),求氣體的密度。 解: ∵,由氣體方程:, 又∵,∴。 4-8.金屬導(dǎo)體中的電子,在金屬內(nèi)部作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)(與容器中的氣體分子類似),設(shè)金屬中共有個(gè)自由電子,其中電子的最大速率為 ,電子速率在之間的概率為:,式中為常數(shù).則電子的平均速率為多少? 解:由平均速率
59、的定義:,考慮到:, 有: 。 4-9.大量粒子(個(gè))的速率分布函數(shù)圖象如圖所示,試求:(1)速率小于的分子數(shù)約為多少?(2)速率處在到之間的分子數(shù)約為多少?(3)所有個(gè)粒子的平均速率為多少?(4)速率大于的那些分子的平均速率為多少? 解:根據(jù)圖像信息,注意到。 圖形所圍的面積為分子的全部數(shù)目,有: ,所以,利用 ,有:,。 (1)速率小于的分子數(shù):個(gè); (2)速率處在到之間的分子數(shù): 個(gè); 【或:】 (3)所有個(gè)粒子的平均速率:先寫出這個(gè)分段函數(shù)的表達(dá)式: 由平均速率定義:,有: ; (4)速率大于的那些分子的平均速率: 。 4-10.在麥
60、克斯韋分布下,(1)計(jì)算溫度和時(shí)氧氣分子最可幾速率和;(2)計(jì)算在這兩溫度下的最可幾速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率;(3)計(jì)算時(shí)氧分子在處單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子的比率。 解:根據(jù)最可幾速率的定義: (1)溫度:, : ; (2)在最可幾速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率就是麥克斯韋分布函數(shù): ,代入: ,代入:; (3)計(jì)算時(shí)氧分子在處單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子的比率。 將,代入: 得: 。 4-11.在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下,若氧氣(視為剛性雙原子分子的理想氣體)和氦氣的體積比,則其內(nèi)能之比為多少? 解:根據(jù),有:,因題設(shè)條件為,,可得:
61、,又∵氦氣是單原子分子,知:, 那么內(nèi)能之比為: 。 4-12.水蒸氣分解為同溫度的氫氣和氧氣,即H2O→H2+0.5O2,內(nèi)能增加了多少? 解:水蒸氣分解后,一份的三原子的內(nèi)能變成了1.5份的雙原子的內(nèi)能,而水分子的自由度為6,氫氣和氧氣作為剛性雙原子分子,其自由度均為5,利用氣體內(nèi)能公式:,所以內(nèi)能的變化為: 。 4-13.體積為的鋼瓶中盛有氧氣(視為剛性雙原子氣體),使用一段時(shí)間后,測(cè)得瓶中氣體的壓強(qiáng)為,此時(shí)氧氣的內(nèi)能為多少? 解:由理想氣體狀態(tài)方程:,以及雙原子氣體內(nèi)能公式:, 可得到: 。 思考題 4-1.氣體在平衡狀態(tài)時(shí)有何特征?平衡態(tài)與穩(wěn)定態(tài)有
62、什么不同?氣體的平衡態(tài)與力學(xué)中所指的平衡有什么不同? 答:平衡態(tài)的特征: (1)系統(tǒng)與外界在宏觀上無能量和物質(zhì)的交換 (2)系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間改變。 熱平衡態(tài)是指:在無外界的影響下,不論系統(tǒng)初始狀態(tài)如何,經(jīng)過足夠長(zhǎng)的時(shí)間后,系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間改變的穩(wěn)定狀態(tài)。 它與穩(wěn)定態(tài)或力學(xué)中的平衡不是一個(gè)概念。 1.平衡態(tài)是一種熱動(dòng)平衡狀態(tài)。處在平衡態(tài)的大量分子并不是靜止的,它們?nèi)栽谧鳠徇\(yùn)動(dòng),而且因?yàn)榕鲎?,每個(gè)分子的速度經(jīng)常在變,但是系統(tǒng)的宏觀量不隨時(shí)間改變。 例如:粒子數(shù)問題: 箱子假想分成兩相同體積的部分,達(dá)到平衡時(shí),兩側(cè)粒子有的穿越界線,但兩側(cè)粒子數(shù)相同。 2.平衡態(tài)是一種理
63、想狀態(tài)。 4-2.對(duì)一定量的氣體來說,當(dāng)溫度不變時(shí),氣體的壓強(qiáng)隨體積的減小面增大;當(dāng)體積不變時(shí),壓強(qiáng)隨溫度的升高而增大。從宏觀來看,這兩種變化同樣使壓強(qiáng)增大;從微觀來看,它們是否有區(qū)別? 答:有區(qū)別。從微觀上看: 當(dāng)溫度不變時(shí),氣體的壓強(qiáng)隨體積的減小而增大是因?yàn)椋寒?dāng)一定時(shí),體積減小,n越大,即單位時(shí)間內(nèi)碰撞到器壁的分子越多,則P就越大; 當(dāng)體積不變時(shí),壓強(qiáng)隨溫度的升高而增大是因?yàn)椋寒?dāng)n一定時(shí),越大,即單位時(shí)間內(nèi)分子對(duì)器壁的碰撞越厲害,則P就越大。 4-3.在推導(dǎo)理想氣體壓強(qiáng)公式的過程中,什么地方用到了理想氣體的分子模型?什么地方用到了平衡態(tài)的概念?什么地方用到了統(tǒng)計(jì)平均的概念
64、?壓強(qiáng)的微觀統(tǒng)計(jì)意義是什么? 答:壓強(qiáng)的求解公式中用到了理想氣體的分子模型,把分子作為質(zhì)點(diǎn)來研究; 對(duì)每個(gè)分子狀態(tài)的假定用到了平衡態(tài)的概念; 從一個(gè)分子對(duì)器壁的作用力推廣到所有分子對(duì)器壁的作用力,計(jì)算分子的平均速度都用到了統(tǒng)計(jì)平均的概念; 壓強(qiáng)的微觀統(tǒng)計(jì)意義是壓強(qiáng)是大量分子碰撞器壁的平均效果,是對(duì)大量分子對(duì)時(shí)間對(duì)面積的一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值。對(duì)一個(gè)分子而言,它對(duì)器壁的碰撞是偶然的,但就大量分子而言,其碰撞的統(tǒng)計(jì)平均效果就表現(xiàn)為持續(xù)的均勻壓強(qiáng)。 4-4.容器內(nèi)有質(zhì)量為,摩爾質(zhì)量為的理想氣體,設(shè)容器以速度作定向運(yùn)動(dòng),今使容器突然停止,問:(1)氣體的定向運(yùn)動(dòng)機(jī)械能轉(zhuǎn)化什么形式的能量?(2)下
65、面兩種氣體分子速度平方的平均值增加多少?單原子分子;②雙原子分子;(3)如果容器再從靜止加速到原來速度,那么容器內(nèi)理想氣體的溫度是否還會(huì)改變?為什么? 答:(1)一般來說,氣體的宏觀運(yùn)動(dòng)不會(huì)影響其微觀的內(nèi)動(dòng)能,但是當(dāng)容器忽然停止運(yùn)動(dòng)時(shí),大量分子的定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能將通過與器壁的以及分子間的碰撞而轉(zhuǎn)換為熱運(yùn)動(dòng)的能量,會(huì)使容器內(nèi)氣體的問題有所升高。 (2),所以:,溫度增加多少,其速度平方的平均值也做相應(yīng)的增加。 (3)宏觀量溫度是一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念,是大量分子無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn),是分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度,分子熱運(yùn)動(dòng)是相對(duì)質(zhì)心參照系的,平動(dòng)動(dòng)能是系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)能.溫度與系統(tǒng)的整體運(yùn)動(dòng)無關(guān).所以當(dāng)容器再
66、從靜止加速到原來速度,那么容器內(nèi)理想氣體的溫度不會(huì)改變。 4-5.?dāng)⑹鱿铝惺降奈锢硪饬x: (1);(2);(3);(4);(5);(6). 答:(1)在平衡態(tài)下,分子熱運(yùn)動(dòng)能量平均地分配在分子每一個(gè)自由度上的能量均為; (2)在平衡態(tài)下,分子平均平動(dòng)動(dòng)能; (3)在平衡態(tài)下,自由度為i的分子平均總能量; (4)1摩爾自由度為i的分子組成的系統(tǒng)內(nèi)能為; (5)由質(zhì)量為M,摩爾質(zhì)量為Mmol,自由度為i的分子組成的系統(tǒng)的內(nèi)能為。 (6)由質(zhì)量為m,摩爾質(zhì)量為M,自由度為i的分子組成的系統(tǒng)的內(nèi)能的變化為。 4-6.氦氣、氧氣分子數(shù)均為,,速率分布曲線如圖,且陰影面積為,求:(1)哪條是氦氣的速率分布曲線? (2); (3)的意義? (4)為多少?對(duì)應(yīng)的物理意義是什么? 答:(1)由可知,對(duì)于氧氣和氦氣,即使,氦氣的還是大于氧氣,所以圖形中,大的曲線是氦氣,即B圖是氦氣的; (2); (3)的意義:在這速率附近、速率區(qū)間dv內(nèi)的氦氣和氧氣的分子數(shù)相同; (4)為在v0右邊的兩曲線的面積差乘以N, 對(duì)應(yīng)的物理意義是v0→∞的速率區(qū)間內(nèi)氦氣分子比氧氣分子
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