湖南師大附中 高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)文Word版含答案

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1、 湖南師大附中2017－2018學(xué)年度高二第一學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)(文科) 時量：120分鐘　　　滿分：150分 得分：______________ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．) 1．已知復(fù)數(shù)z的實部為1，且|z|＝2，則復(fù)數(shù)z的虛部是 A．－ B.i C．±i D．± 2．命題“若p，則q或r”的否命題是 A．若p，則綈q或綈r B．若p，則綈q且綈r C．若綈p，則綈q或綈r D．若綈p，則綈q且綈r 3．tan 69

2、0°＝ A．－ B. C. D．－ 4．利用演繹推理的“三段論”可得到結(jié)論：函數(shù)f(x)＝lg的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．那么，這個三段論的小前提是 A．f(x)是增函數(shù) B．f(x)是減函數(shù) C．f(x)是奇函數(shù) D．f(x)是偶函數(shù) 5．程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的S的值是 A．2 B. C．－3 D．－ 6．函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的圖象最有可能的是 7.若拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程為y＝－1，則實數(shù)a的值是 A. B. C．－ D．－ 8．設(shè)0＜x＜1，則a＝，b＝1＋x，c＝中最大

3、的一個是 A．a(chǎn) B．b C．c D．不能確定 9．已知點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且＝2，則向量＝ A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 10．已知命題p：直線l1：(m－2)x＋3y＋2m＝0與直線l2：x＋my＋6＝0平行，命題q：方程x2＋y2－2x＋my＋(m＋2)＝0表示圓，則命題p是命題q成立的 A．必要條件 B．充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 11．對數(shù)列{an}，如果k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使an＋k＝λ1an＋k－1＋λ2an＋k－2＋…＋λkan成立，其中n∈N*，則稱{an}為“k階遞歸數(shù)列”．給

4、出下列結(jié)論： ①若{an}是等比數(shù)列，則{an}為“1階遞歸數(shù)列”； ②若{an}是等差數(shù)列，則{an}為“2階遞歸數(shù)列”； ③若{an}的通項公式為an＝n2，則{an}為“3階遞歸數(shù)列”． 其中正確的結(jié)論的個數(shù)是 A．0 B．1 C．2 D．3 12．若直線l：y＝－＋m與曲線C：y＝有且僅有三個交點(diǎn)，則m的取值范圍是 A．(－1，＋1) B．(1，) C．(1，＋1) D．(2，＋1) 選擇題答題卡 題 號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答 案

5、 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上．) 13．過曲線y＝x3－2x上的點(diǎn)(1，－1)的切線方程為____________． 14．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)x，cos x的值介于0到之間的概率為________． 15．長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2 cm，AD＝1 cm，則異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值為____________． 16．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－kx有零點(diǎn)，則實數(shù)k的取值范圍是____________． 三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出說明、證明過程或

6、演算步驟．) 17．(本小題滿分10分) 湖南師大附中的科技節(jié)中有一個傳統(tǒng)挑戰(zhàn)項目——“奇思妙想闖七關(guān)”．為了調(diào)查參加此活動的學(xué)生情況，現(xiàn)從我校學(xué)生中隨機(jī)抽取了60名男生和40名女生共100人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計出100名學(xué)生中愿意接受挑戰(zhàn)和不愿意接受挑戰(zhàn)的男女生比例情況，具體數(shù)據(jù)如圖所示． (Ⅰ)根據(jù)條件完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否在犯錯誤的概率不超過1%的情況下認(rèn)為“愿意接受挑戰(zhàn)與性別有關(guān)”？ 愿意 不愿意 總計 男生 女生 總計 (Ⅱ)現(xiàn)用分層抽樣的方法從愿意接受挑戰(zhàn)的學(xué)生中選取7名挑戰(zhàn)者，再從中抽取2人參加挑戰(zhàn)，求抽取的2人

7、中至少有一名男生的概率． 參考數(shù)據(jù)： P(K2>k0) 0.1 0.05 0.025 0.01 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 18．(本小題滿分12分) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在單位圓上，∠xOA＝α，∠AOB＝，且α∈. (Ⅰ)若x1＝，用α表示x2并求其值； (Ⅱ)過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C，記△BOC的面積為S，設(shè)S＝f(α)，求函數(shù)f(α)的值域． 19.(本小題滿分12分) 已知三棱錐P－ABC的直觀圖及其三視圖如圖所示． (Ⅰ)求三棱錐P－ABC的體積；

8、 (Ⅱ)求二面角P—AB—C的平面角的正切值． 20.(本小題滿分12分) 已知等差數(shù)列的首項a1＝1，公差d＞0，且其第2項、第5項、第14項成等比數(shù)列． (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式； (Ⅱ)設(shè)bn＝，求數(shù)列的前n項和Tn，并證明：≤Tn<. 21．(本小題滿分12分) 設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)，已知·＝3，且橢圓C的離心率為. (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (Ⅱ)如圖，設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)M是橢圓C上位于x軸上方的一個動點(diǎn)，直線AM，BM分別與直線x＝3相交于點(diǎn)D，E，求|DE|的最小值． 22.

9、(本小題滿分12分) 已知函數(shù)f(x)＝a(x－1)2＋ln x＋1. (Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍； (Ⅱ)當(dāng)x∈[1，＋∞)時，函數(shù)y＝f(x)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)a的取值范圍． 湖南師大附中2017－2018學(xué)年度高二第一學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)參考答案－(這是邊文，請據(jù)需要手工刪加) 湖南師大附中2017－2018學(xué)年度高二第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(文科)參考答案 一、選擇題 1．D　【解析】設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由題意知a＝1，∴1＋b2＝4，∴b2＝3，∴b＝±.故選D. 2．D　【解析】否命題既

10、要否定條件，又要否定結(jié)論. 同時，“或”的否定是“且”，選D. 3．A 4．C 5．D　【解析】對應(yīng)于計數(shù)變量i的S呈周期性，最小正周期為4，前4個數(shù)依次是：－3，－，，2，而2 018＝4×504＋2，故選D. 6．B　【解析】數(shù)形結(jié)合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)；在(－2，－1)上，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)，故選B. 7．A　【解析】將拋物線y＝ax2化為x2＝y(tǒng)，由條件知＝1，∴a＝，故選A. 8．C　【解析】由于0＜x＜1，所以b＝1＋x>2＝2＝·＝a>a，又b－c＝(1＋x)－＝＝－<0b

11、 9．C　【解析】如圖，因為＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故選C. 10．B　【解析】因為兩直線平行，所以(m－2)·m－1×3＝0，∴m＝3或m＝－1，經(jīng)檢驗m＝3時，兩直線重合，∴m＝－1，方程表示圓， 所以(2)2＋m2－4(m＋2)>0，∴m>4或m<0.故命題p是命題q成立的充分條件．故選B. 11．D　【解析】對于①：若k＝1，因為{an}是等比數(shù)列，則有an＋1＝λ1an滿足條件，故①正確；對于②：若k＝2，因為{an}是等差數(shù)列，則有an＋2＋an＝2an＋1，存在λ1＝2，λ2＝－1滿足an＋2＝λ1an＋1＋λ2an，故②正確；對于③：若k＝3，因為數(shù)列{

12、an}的通項公式為an＝n2，an＋3＝(n＋3)2＝3(n＋2)2－3(n＋1)2＋n2，故存在λ1＝3，λ2＝－3，λ3＝1滿足an＋3＝λ1an＋2＋λ2an＋1＋λ3an，故③正確．故選D. 12．B　【解析】由題意得，曲線C是由橢圓＋y2＝1上半部分和雙曲線－y2＝1上半部分組成，且雙曲線的漸近線方程為y＝－x，與直線l：y＝－x＋m平行；當(dāng)直線l過右頂點(diǎn)時，直線l與曲線C有兩個交點(diǎn)，此時，m＝1；當(dāng)直線l與橢圓相切時，直線l與曲線C有兩個交點(diǎn)，此時m＝；由圖象可知，m∈(1，)時，直線l與曲線C有三個交點(diǎn)，故選B. 二、填空題 13．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0

13、　【解析】設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線的斜率為y′|x＝x0＝3x－2.∴切線方程為y－y0＝(3x－2)(x－x0)．y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．又知切線過點(diǎn)(1，－1)，把它代入上述方程得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．解得x0＝1，或x0＝－.故所求切線方程為y－(1－2)＝(3－2)(x－1)或y－＝，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0. 14.　【解析】在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)x，即x∈時，要使cos x的值介于0到之間，需使－≤x≤－或≤x≤，區(qū)間長度為，由幾何概型知cos x的值介于0到之間的概率為＝. 15.　【解析】設(shè)A1C1與

14、B1D1交于O，取B1B中點(diǎn)E，連接OE，因為OE∥D1B，所以∠C1OE或其補(bǔ)角就是異面直線A1C1與BD1所成的角．在△C1OE中，OC1＝A1C1＝，OE＝BD1＝·＝， C1E＝＝＝， 所以cos∠C1OE＝＝. 16.　【解析】由f(x)－kx＝0得f(x)＝kx，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝f(x)和y＝kx的圖象，易知當(dāng)k<0時，兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，當(dāng)k≥0時，考察由原點(diǎn)引f(x)的圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)是(x0，log2x0)，f′(x)＝，則＝x0＝e，故切線的斜率等于，即k∈時，兩圖象恰有一個公共點(diǎn)，綜上k∈. 三、解答題 17．【解析】(Ⅰ)2×2列聯(lián)表 愿

15、意 不愿意 總計 男生 15 45 60 女生 20 20 40 總計 35 65 100 (2分) K2＝≈6.593<6.635.(3分) 所以，不能在犯錯誤的概率不超過1%的情況下認(rèn)為“愿意接受挑戰(zhàn)與性別有關(guān)”．(5分) (Ⅱ)現(xiàn)用分層抽樣的方法從愿意接受挑戰(zhàn)的學(xué)生中選取7名挑戰(zhàn)者， 故男生抽取7×＝3名，女生7×＝4名，(7分) 從中抽取2人參加挑戰(zhàn)，共有6＋5＋4＋…＋1＝21種方法， 全是女生的方法有3＋2＋1＝6種，(9分) 所以，抽取的2人中至少有一名男生的概率為P＝1－＝.(10分) 18．【解析】(Ⅰ)由三角函數(shù)定義，得x1＝c

16、os α，x2＝cos.(2分) 由已知，cos α＝，α∈，則sin α＝＝.(4分) 所以x＝cos＝cos α－sin α＝－＝－.(6分) (Ⅱ)因為α∈，則α＋∈， 故x2＝cos<0，y2＝sin>0， 所以S＝|x2|y2＝·sin ＝－sin. 即f(α)＝－sin.(9分) 因為α∈，則2α＋∈，0

17、作AE⊥BC，垂足為E，由正視圖知，E為BC的中點(diǎn)． 由側(cè)視圖知，AE＝4.(4分) 由正視圖知，BC＝4，則三棱錐P－ABC的體積 V＝××BC×AE×PD＝×4×4×2＝.(6分) (Ⅱ)在底面ABC內(nèi)作DF⊥AB，垂足為F，則AB⊥平面PDF， 所以∠PFD為二面角P－AB－C的平面角．(8分) 因為AE＝4，BE＝2，則AB＝＝2.(9分) 因為Rt△BFD∽Rt△BEA，則＝.由俯視圖知，BD＝1. 所以DF＝＝＝.(11分) 在Rt△PDF中，tan∠PFD＝＝. 故二面角P－AB－C的平面角的正切值為.(12分) 20．【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差

18、為d， ∵an＝a1＋(n－1)d，＝.(3分) 整理：3d2＝6a1d，∴d＝2a1＝2，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(5分) ∴an＝2n－1(n∈N*)．(6分) (Ⅱ)bn＝＝＝－，(8分) ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－＋－＋…＋－ ＝－<.(10分) ∵Tn＋1－Tn＝bn＝>0，數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列． ∴Tn≥T1＝b1＝.(11分) ∴≤Tn<.(12分) 21．【解析】(Ⅰ)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)(1分) 則＝(2＋c，1)，＝(2－c，1)．(2分) 因為·＝3，則(2＋c)(2－c)＋

19、1＝3，即c2＝2，所以c＝.(3分) 因為＝，則a＝c＝2，從而b＝＝.(4分) 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1.(5分) (Ⅱ)法一：由題設(shè)，點(diǎn)A(－2，0)，設(shè)直線AM的方程為y＝k(x＋2)(k>0)． 聯(lián)立x＝3，得點(diǎn)D(3，5k)．(6分) 將y＝k(x＋2)代入＋＝1，得x2＋2k2(x＋2)2＝4，即(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0.(7分) 設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)，則x0和－2是方程的兩根， 所以－2x0＝，即x0＝， 從而y0＝k＝，所以點(diǎn)M.(9分) 又點(diǎn)B(2，0)，則直線BM的方程為＝， 即y＝－(x－2)． 聯(lián)立x＝3，得點(diǎn)E.(11分)

20、 所以|DE|＝5k＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)5k＝>0，即k＝時取等號． 故|DE|的最小值為.(12分) 法二：由題設(shè)，點(diǎn)A(－2，0)，點(diǎn)B(2，0)， 設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)，則＋＝1，即x＋2y＝4. 所以(x0－2)(x0＋2)＝－2y，即·＝－， 所以kAM·kBM＝－.(8分) 設(shè)直線AM的方程為y＝k(x＋2)(k>0)，則直線BM的方程為y＝－(x－2)． 分別聯(lián)立x＝3，得點(diǎn)D(3，5k)，點(diǎn)E.(11分) 所以|DE|＝5k＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)5k＝>0，即k＝時取等號． 故|DE|的最小值為.(12分) 22．【解析】(Ⅰ)f′(x)＝2a(x－1)＋，∵函

21、數(shù)f(x)在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減， ∴f′(x)＝2a(x－1)＋≤0在區(qū)間[2，4]上恒成立，即2a≤在[2，4]上恒成立， 只需2a不大于在[2，4]上的最小值即可．(2分) 而＝(2≤x≤4)，則當(dāng)2≤x≤4時，∈， ∴2a≤－，即a≤－，故實數(shù)a的取值范圍是.(5分) (Ⅱ)因f(x)圖象上的點(diǎn)在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，即當(dāng)x∈[1，＋∞)時，不等式f(x)≤x恒成立，即a(x－1)2＋ln x－x＋1≤0恒成立， 設(shè)g(x)＝a(x－1)2＋ln x－x＋1(x≥1)，只需g(x)max≤0即可． 由g′(x)＝2a(x－1)＋－1＝，(7分) (ⅰ)當(dāng)a＝0時，g′

22、(x)＝，當(dāng)x≥1時，g′(x)≤0，函數(shù)g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，故g(x)≤g(1)＝0成立．(8分) (ⅱ)當(dāng)a>0時，由g′(x)＝＝， 令g′(x)＝0，得x1＝1或x2＝， ①若<1，即a>時，在區(qū)間[1，＋∞)上，g′(x)≥0，函數(shù)g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)在[1，＋∞)上無最大值g(x)≥g(1)＝0，不滿足條件；(10分) ②若≥1，即00，不滿足條件．(11分) (ⅲ)當(dāng)a<0時，由g′(x)＝，因x∈[1，＋∞)，故g′(x)<0，則函數(shù)g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，故g(x)≤g(1)＝0成立． 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0]．(12分)