數(shù)學：第二章《圓錐曲線與方程》教案（1）（新人教A版選修1-1）

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圓錐曲線與方程 課 題：小結與復習 教學目的： 1. 橢圓的定義、標準方程、焦點、焦距，橢圓的幾何性質，橢圓的畫法； 雙曲線的定義、標準方程、焦點、焦距，雙曲線的幾何性質，雙曲線的畫法，等軸雙曲線；拋物線的定義、標準方程、焦點、焦距，拋物線的幾何性質，拋物線的畫法， 2. 結合教學內(nèi)容對學生進行運動變化和對立統(tǒng)一的觀點的教育 教學重點：橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程和幾何性質；坐標法的應用. 教學難點：橢圓、雙曲線的標準方程的推導過程；利用定義、方程和幾何性質求有關焦點、焦距、準線等. 授課類型：復習課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、課前預習 橢 圓 雙曲線 拋物線 定義 標準方程 圖形 頂點坐標 對稱軸 焦點坐標 漸近線方程 二、復習引入： 名 稱 橢 圓 雙 曲 線 圖 象 定 義 平面內(nèi)到兩定點的距離的和為常數(shù)（大于）的動點的軌跡叫橢圓即 當2﹥2時，軌跡是橢圓， 當2=2時，軌跡是一條線段 當2﹤2時，軌跡不存在 平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線即 當2﹤2時，軌跡是雙曲線 當2=2時，軌跡是兩條射線 當2﹥2時，軌跡不存在 標準方 程 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 注：是根據(jù)分母的大小來判斷焦點在哪一坐標軸上 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 常數(shù)的關 系 ，， 最大， ， 最大，可以 漸近線 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 拋物線： 圖形 方程 焦點 三、章節(jié)知識點回顧： 橢圓、雙曲線、拋物線分別是滿足某些條件的點的軌跡，由這些條件可以求出它們的標準方程，并通過分析標準方程研究這三種曲線的幾何性質 1．橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間的距離）的動點的軌跡 2．橢圓的標準方程：， （） 3．橢圓的性質：由橢圓方程() (1)范圍: ,，橢圓落在組成的矩形中． (2)對稱性:圖象關于軸對稱．圖象關于軸對稱．圖象關于原點對稱原點叫橢圓的對稱中心，簡稱中心．軸、軸叫橢圓的對稱軸．從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距 （3）頂點：橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點 橢圓共有四個頂點： ，加兩焦點共有六個特殊點叫橢圓的長軸，叫橢圓的短軸．長分別為 分別為橢圓的長半軸長和短半軸長橢圓的頂點即為橢圓與對稱軸的交點 (4)離心率: 橢圓焦距與長軸長之比 橢圓形狀與的關系：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認為圓為橢圓在時的特例橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時也可認為圓為橢圓在時的特例 4．雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線 即 這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距 在同樣的差下，兩定點間距離較長，則所畫出的雙曲線的開口較開闊（兩條平行線）兩定點間距離較短（大于定差），則所畫出的雙曲線的開口較狹窄（兩條射線）雙曲線的形狀與兩定點間距離、定差有關 5．雙曲線的標準方程及特點： （1）雙曲線的標準方程有焦點在x軸上和焦點y軸上兩種： 焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,)； 焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,) 6.有關系式成立，且 其中a與b的大小關系:可以為 7焦點的位置:從橢圓的標準方程不難看出橢圓的焦點位置可由方程中含字母、項的分母的大小來確定，分母大的項對應的字母所在的軸就是焦點所在的軸而雙曲線是根據(jù)項的正負來判斷焦點所在的位置，即項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上；項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上 8．雙曲線的幾何性質： （1）范圍、對稱性 由標準方程，從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心 （2）頂點 頂點：，特殊點： 實軸：長為2a, a叫做半實軸長虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長 雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異 （3）漸近線 過雙曲線的漸近線（） （4）離心率 雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率范圍： 雙曲線形狀與e的關系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊 9．等軸雙曲線 定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線 等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率 10．共漸近線的雙曲線系 如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或寫成 11．共軛雙曲線 以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線 區(qū)別：三量a,b,c中a,b不同（互換）c相同共用一對漸近線 雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?1 12．雙曲線的焦點弦： 定義：過焦點的直線割雙曲線所成的相交弦 焦點弦公式： 當雙曲線焦點在x軸上時， 過左焦點與左支交于兩點時： 過右焦點與右支交于兩點時： 當雙曲線焦點在y軸上時， 過左焦點與左支交于兩點時： 過右焦點與右支交于兩點時： 13．雙曲線的通徑： 定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦 14 拋物線定義： 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線定點F叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線 15．拋物線的準線方程： (1), 焦點:，準線： (2), 焦點:，準線： (3), 焦點:，準線： (4) , 焦點:，準線： 相同點：(1)拋物線都過原點；(2)對稱軸為坐標軸；(3)準線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關于原點對稱 它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的，即 不同點：(1)圖形關于X軸對稱時，X為一次項，Y為二次項，方程右端為、左端為；圖形關于Y軸對稱時，X為二次項，Y為一次項，方程右端為，左端為 （2）開口方向在X軸（或Y軸）正向時，焦點在X軸（或Y軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在X軸（或Y軸）負向時，焦點在X軸（或Y軸）負半軸時，方程右端取負號 16．拋物線的幾何性質 （1）范圍 因為p＞0，由方程可知，這條拋物線上的點M的坐標(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸． （2）對稱性 以－y代y，方程不變，所以這條拋物線關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸． （3）頂點 拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．在方程中，當y=0時，x=0，因此拋物線的頂點就是坐標原點． （4）離心率 拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1． 17拋物線的焦半徑公式： 拋物線， 拋物線， 拋物線， 拋物線， 18．直線與拋物線： （1）位置關系： 相交（兩個公共點或一個公共點）；相離（無公共點）；相切（一個公共點） 將代入，消去y，得到 關于x的二次方程 （*） 若，相交；，相切；，相離 綜上，得： 聯(lián)立，得關于x的方程 當（二次項系數(shù)為零），唯一一個公共點（交點） 當，則 若，兩個公共點（交點） ，一個公共點（切點） ，無公共點 （相離） （2）相交弦長： 弦長公式：， （3）焦點弦公式： 拋物線， 拋物線， 拋物線， 拋物線， （4）通徑： 定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦 通徑： （5）若已知過焦點的直線傾斜角 則 （6）常用結論： 和 和 四、【例題】 1.動點A到定點F1(0, －2)和F2(0, 2)的距離的和為4，則動點A的軌跡為 ( B ) A. 橢圓 B. 線段 C. 無圖形 D. 兩條射線； 2.動點P到定點F1(1, 0)的距離比它到定點F2(3, 0)的距離小2，則點P的軌跡是 ( C ) A．雙曲線 B．雙曲線的一支　 　C．一條射線 D．兩條射線 3．人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓．設地球半徑為R，衛(wèi)星近地點、遠地點離地面的距離分別為 r1、r2 ，求衛(wèi)星軌道的離心率． 4．兩定點的坐標分別為A(－1, 0)，B(2, 0)，動點M滿足∠MBA＝2∠MAB，求動點M的軌跡方程． 五【課后作業(yè)】 六、板書設計（略） 七、課后記： - 8 -