人教A版文科數(shù)學(xué)課時(shí)試題及解析（53）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系B

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課時(shí)作業(yè)(五十三)B　[第53講　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系] [時(shí)間：45分鐘　分值：100分] 1．雙曲線－＝1上的點(diǎn)到雙曲線的右焦點(diǎn)的距離的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 2．斜率為1的直線被橢圓＋y2＝1截得的弦長(zhǎng)的最大值為(　　) A. B. C. D. 3．過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作傾斜角為135°的弦AB，則AB的長(zhǎng)度是(　　) A．4 B．4 C．8 D．8 4．設(shè)拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F(1,0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)(2,2)，則直線l的方程為_(kāi)_______． 5．動(dòng)圓M的圓心M在拋物線y2＝4x上移動(dòng)，且動(dòng)圓恒與直線l：x＝－1相切，則動(dòng)圓M恒過(guò)點(diǎn)(　　) A．(－1,0) B．(－2,0) C．(1,0) D．(2,0) 6．若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒(méi)有交點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．至多1個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè) 7．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作傾斜角為150°的直線交雙曲線左支于M點(diǎn)，若MF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 8．橢圓ax2＋by2＝1與直線y＝1－x交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為(　　) A. B. C. D. 9．過(guò)原點(diǎn)的直線l被雙曲線y2－x2＝1截得的弦長(zhǎng)為2，則直線l的傾斜角為(　　) A．30°或150° B．45°或135° C．60°或120° D．75°或105° 10．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A1、A2，一個(gè)虛軸端點(diǎn)為B，若它的焦距為4，則△A1A2B面積的最大值為_(kāi)_______． 11．如圖K53－1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A為橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)，B，C在橢圓E上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB＝30°，則橢圓E的離心率等于________． 圖K53－1 12．拋物線y2＝4x過(guò)焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程是________． 13． 雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個(gè)區(qū)域(不含邊界)，若點(diǎn)(1,2)在“上”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率e的取值范圍是________． 14．(10分)設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸，證明：直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O. 15．(13分) 在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F1(－，0)、F2(，0)的距離之和是4，點(diǎn)M的軌跡是C，直線l：y＝kx＋與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P和Q. (1)求軌跡C的方程； (2)是否存在常數(shù)k，使以線段PQ為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 圖K53－2 16．(12分) 設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(a，b)滿足|PF2|＝|F1F2|. (1)求橢圓的離心率e； (2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若直線PF2與圓(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|＝|AB|，求橢圓的方程． 課時(shí)作業(yè)(五十三)B 【基礎(chǔ)熱身】 1．A　[解析] 雙曲線的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離最小，最小值為2.故選A. 2．B　[解析] 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)橢圓中心時(shí)，被橢圓截得的弦最長(zhǎng)，將此時(shí)直線方程y＝x代入橢圓方程，得弦的一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為M，，于是弦長(zhǎng)為2|OM|＝.故選B. 3．C　[解析] 拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，設(shè)弦AB所在的直線方程為y＝－x＋1代入拋物線方程，得x2－6x＋1＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，x1x2＝1，由弦長(zhǎng)公式，得|AB|＝＝8.故選C. 4．y＝x　[解析] 由題意知，拋物線C的方程y2＝4x. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2， y－y＝4(x1－x2)，所以＝＝1， l：y－2＝x－2，即y＝x. 【能力提升】 5．C　[解析] 因?yàn)橹本€l是拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)拋物線的定義，圓心M到F的距離等于M到拋物線準(zhǔn)線l的距離．所以動(dòng)圓M恒過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)．故選C. 6．B　[解析] 依題意，圓心到直線的距離大于半徑，即>2，所以m2＋n2<4，該不等式表明點(diǎn)(m，n)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，而這個(gè)圓又在橢圓＋＝1內(nèi)，所以過(guò)點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓有2個(gè)交點(diǎn)．故選B. 7．C　[解析] 由題意知△F1MF2是直角三角形，且|F1F2|＝2c，∠MF2F1＝30°， 所以|MF1|＝，于是點(diǎn)M坐標(biāo)為.所以－＝1，即－＝1，將e＝代入，化簡(jiǎn)整理，得3e4－10e2＋3＝0，解得e2＝(舍去)，或e2＝3，所以e＝.故選C. 8．A　[解析] 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將y＝1－x代入橢圓方程，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，則＝，即線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入直線方程y＝1－x得縱坐標(biāo)為，所以過(guò)原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為＝.故選A. 9．C　[解析] 設(shè)直線l方程為y＝kx，代入雙曲線方程得(k2－1)x2＝1，∴x＝±，y＝±， ∴兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為A， B， 由兩點(diǎn)間距離公式得，|AB|2＝2＋2＝(2)2，解得k＝±， ∴傾斜角為60°或120°. 10．2　[解析] 依題意，S△A1A2B＝ab≤＝＝2，所以△A1A2B面積的最大值為2. 11.　[解析] 設(shè)橢圓的半焦距為c.因?yàn)樗倪呅蜲ABC為平行四邊形，∵BC∥OA，|BC|＝|OA|，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，代入橢圓方程得縱坐標(biāo)為.因?yàn)椤螼AB＝30°， 所以＝×，即a＝3b，a2＝9a2－9c2， 所以8a2＝9c2，所以離心率e＝. 12．y2＝2(x－1)　[解析] 拋物線焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)弦的端點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)P(x，y)，則y＝4x1，y＝4x2，作差得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)①.將y1＋y2＝2y，＝代入①式，得2y·＝4， 即y2＝2(x－1)． 13．(1，)　[解析] 雙曲線的漸近線為bx±ay＝0，依題意有即b<2a，所以c2－a2<4a2，那么e＝<.又e>1，所以e∈(1，)． 14．[解答] 證明：設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的直線AB的方程為x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由消去x，得y2－2pmy－p2＝0， ∴y1y2＝－p2. ∵BC∥x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x＝－上， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為. kCO＝＝＝＝kOA，故AC過(guò)原點(diǎn)O. 15．[解答] (1)∵點(diǎn)M到(－，0)，(，0)的距離之和是4， ∴M的軌跡C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2的橢圓， 其方程為＋y2＝1. (2)將y＝kx＋代入曲線C的方程， 消去y，整理得(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0.① 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由方程①， 得x1＋x2＝－，x1x2＝.② 又y1·y2＝(kx1＋)(kx2＋)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2.③ 若以PQ為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則·＝0， 所以x1x2＋y1y2＝0， 將②、③代入上式，解得k＝±. 又因k的取值應(yīng)滿足Δ>0，即4k2－1>0(*)，將k＝±代入(*)式知符合題意．∴k＝±. 【難點(diǎn)突破】 16．[解答] (1)設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)，因?yàn)閨PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，整理得22＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝，所以e＝. (2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2，直線PF2的方程為y＝(x－c)． A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c.得方程組的解不妨設(shè)A，B(0，－c)，所以|AB|＝＝c. 于是|MN|＝|AB|＝2c. 圓心(－1，)到直線PF2的距離 d＝＝. 因?yàn)閐2＋2＝42， 所以(2＋c)2＋c2＝16，整理得7c2＋12c－52＝0. 得c＝－(舍)，或c＝2.所以橢圓方程為＋＝1. 6