八年級數(shù)學(xué)上冊 第13章 全等三角形 13.1 命題、定理與證明 第1課時 命題課件 （新版）華東師大版.ppt

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1、在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常要對一件事情作出判斷.,數(shù)學(xué)中同樣有許多問題需要我們作出判斷.,下列敘述事情的語句中，哪些是對事情作出了判斷？,（1）三角形的內(nèi)角和等于180； （2）如果| a | = 3，那么a = 3； （3）1月份有31天； （4）作一條線段等于已知線段； （5）一個銳角與一個鈍角互補(bǔ)嗎？,一般地，對某一件事情作出判斷的語句（陳述句）叫作命題.,例如，上述語句（1），（2），（3）都是命題；,語句（4），（5）沒有對事情作出判斷，就不是命題.,下列命題的表述形式有什么共同點(diǎn)？ （1）如果a = b且b = c，那么a = c；,（2）如果兩個角的和等于90，那么這兩個角 互為余

2、角.,它們的表述形式都是“如果……，那么……”.,命題通常寫成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是條件，“那么”引出的部分就是結(jié)論.,例如，對于上述命題（2），,“兩個角的和等于90”就是條件，,“這兩個角互為余角”就是結(jié)論.,（2）如果兩個角的和等于90，那么這兩個角互為余角.,有時為了敘述的簡便，命題也可以省略關(guān)聯(lián)詞“如果”、“那么”.,如：“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”可以簡寫成“對頂角相等”；,“如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等” 可以簡寫成“同角的余角相等”.,（1）指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫成 “如果……，那么……”的形式：,那么這

3、個數(shù)是偶數(shù),如果一個數(shù)能被2整除,那么這兩個角是對頂角,如果兩個角有公共頂點(diǎn),那么它們的同位角相等,如果兩條直線平行,那么這兩條直線平行,如果兩個同位角相等,（2）上述命題③與④的條件與結(jié)論之間有什么聯(lián)系？,③兩直線平行，同位角相等. ④同位角相等，兩直線平行.,命題③與④的條件與結(jié)論互換了位置.,對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，我們把這樣的兩個命題稱為互逆命題，其中一個叫作原命題，另一個叫作逆命題.,例如，上述命題③與④就是互逆命題.,③兩直線平行，同位角相等. ④同位角相等，兩直線平行.,條件,結(jié)論,“若q，則p”,從上我們可以看出，只要將一個命題的條件

4、和結(jié)論互換，就可得到它的逆命題，所以每個命題都有逆命題.,1. 下列語句中，哪些是命題，哪些不是命題？,（2）兩點(diǎn)之間線段最短；,（4）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.,（3）任意一個三角形的三條中線都相交于一點(diǎn)嗎？,（1）如果x=3，求 的值；,不是命題,是命題,不是命題,是命題,2. 將下列命題改寫成“如果……，那么……” 的形式.,（1）兩條直線相交，只有一個交點(diǎn)；,（2）個位數(shù)字是5的整數(shù)一定能被5整除；,答：如果兩條直線相交，那么這兩條直線 只有一個交點(diǎn).,答：如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是5，那么這 個數(shù)一定能被5整除.,（4）三角形的一個外角大于它的任何一個內(nèi)角.,（3）互

5、為相反數(shù)的兩個數(shù)之和等于0；,答：如果兩個數(shù)是互為相反數(shù)，那么這 兩個數(shù)之和等于0.,答：如果某角是三角形的外角，那么這個角大于它的任何一個內(nèi)角.,3. 寫出下列命題的逆命題：,（1）若兩數(shù)相等，則它們的絕對值也相等；,（2）如果m是整數(shù)，那么它也是有理數(shù)；,（3）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；,（4）兩邊相等的三角形是等腰三角形.,答：絕對值相等的兩個數(shù)相等,答：如果m是有理數(shù)，那么它也是整數(shù),答：內(nèi)錯角相等，兩直線平行,答：等腰三角形的兩邊相等,下列命題中，哪些正確，哪些錯誤？并說一說你的理由.,（1）每一個月都有31天；,（2）如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù).,（3）同位角相等；,（4）同角的

6、補(bǔ)角相等.,錯誤,錯誤,錯誤,正確,上面四個命題中，命題（4）是正確的，,命題（1），（2），（3）都是錯誤的.,我們把正確的命題稱為真命題，把錯誤的命題稱為假命題.,要判斷一個命題是假命題，只需舉出一個例子（反例），它符合命題的條件，但不滿足命題的結(jié)論，從而就可判斷這個命題為假命題.,例如，要判斷命題“如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù)”是一個假命題，我們舉出“0.1是有理數(shù)，但是0.1不是整數(shù)”這一例子即可判斷該命題是假命題.,我們通常把這種方法稱為“舉反例”.,判斷下列命題為真命題的依據(jù)是什么？,（1）如果a是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；,（2）如果△ABC是等邊三角形，那么△ABC是 等腰三角形

7、.,分別是根據(jù)有理數(shù)、等腰（等邊）三角形的定義作出的判斷.,從上可以看到，在判斷一個命題是否為真命題時常常要利用一些概念的定義，但是光用定義只能判斷一些很簡單的命題是否為真.,事實(shí)上，對于絕大多數(shù)命題的真假的判斷，光用定義是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.,當(dāng)一個命題是真命題時，它的逆命題不一定是真命題.,例如，“如果∠1和∠2是對頂角，那么∠1=∠2”是真命題，但它的逆命題“如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是對頂角”就是假命題.,1. 下列命題中，哪些是真命題，哪些是假命題？ 請說說你的理由.,（1）絕對值最小的數(shù)是0；,答：真命題,（2）相等的角是對頂角；,（3）一個角的補(bǔ)角大于這個角；,（4）在同一平面內(nèi)，如

8、果直線a⊥l，b⊥l， 那么a∥b.,答：假命題,答：假命題,答：真命題,2. 舉反例說明下列命題是假命題：,（1）兩個銳角的和是鈍角；,（2）如果數(shù)a，b的積ab＞0，那么a，b都是正數(shù)；,（3）兩條直線被第三條直線所截同位角相等.,答：直角三角形的兩個銳角和不是鈍角,答：-1和-3的積是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正數(shù).,答：兩條相交的直線a、b被第三條直線l所截， 它們的同位角不相等,3. 試寫出兩個命題，要求它們不僅是互逆命題， 而且都是真命題.,答：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。 內(nèi)錯角相等，兩直線平行。,觀察、操作、實(shí)驗(yàn)是人們認(rèn)識事物的重要手段，而且人們可以從中猜測發(fā)現(xiàn)出一

9、些結(jié)論.,采用剪拼或度量的方法，猜測“三角形的外角和”等于多少度.,從剪拼或度量可以猜測三角形的三個外角之和等于360，但是剪拼時難以真正拼成一個周角，只是接近周角；分別度量這三個角后再相加，結(jié)果可能接近360，但不能很準(zhǔn)確地都得到360.,另外，由于不同形狀的三角形有無數(shù)個，我們也不可能用剪拼或度量的方法來一一驗(yàn)證，因此，我們只能猜測任何一個三角形的外角和都為360.,此時猜測出的命題僅僅是一種猜想，未必都是真命題.,要確定這個命題是真命題，還需要通過推理的方法加以證明.,數(shù)學(xué)上證明一個命題時，通常從命題的條件出發(fā)，運(yùn)用定義、基本事實(shí)以及已經(jīng)證明了的定理和推論，通過一步步的推理，最后證實(shí)這個

10、命題的結(jié)論成立.,證明的每一步都必須要有根據(jù).,證明命題“三角形的外角和為360”是真命題.,在分析出這一命題的條件和結(jié)論后，我們就可以按如下步驟進(jìn)行：,已知：如圖，∠BAF，∠CBD和∠ACE分別是△ABC的三個外角.,求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360.,證明如圖，,∵ ∠BAF=∠2+∠3，,∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性質(zhì)).,∠CBD=∠1+∠3，,∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），,∵∠1+∠2+∠3=180(三角形內(nèi)角和定理)，,∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2180=360.,例1 已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在

11、線 段BA的延長線上，射線AE平分∠DAC.,求證：AE∥BC.,舉 例,證明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理），,∠B=∠C（已知），,∴ ∠DAC=2∠B（等式的性質(zhì)）.,又∵AE平分∠DAC（已知），,∴∠DAC=2∠DAE（角平分線的定義）,∴∠DAE=∠B（等量代換）.,∴AE∥BC（同位角相等，兩直線平行）,例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角.,求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個角大 于或等于60.,證明 假設(shè)∠A，∠B，∠C 中沒有一個角大于 或等于60，,即∠A＜60，∠B＜60，∠C＜60，,則∠A+∠B+∠C＜180.,這與“三角形的內(nèi)角和等于

12、180”矛盾，,所以假設(shè)不正確.,因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一個角大于或等于60.,像這樣，當(dāng)直接證明一個命題為真有困難時，我們可以先假設(shè)命題不成立，然后利用命題的條件或有關(guān)的結(jié)論，通過推理導(dǎo)出矛盾，從而得出假設(shè)不成立，即所證明的命題正確，這種證明方法稱為反證法.,反證法是一種間接證明的方法，其基本的思路可歸結(jié)為“否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，肯定結(jié)論”.,1. 在括號內(nèi)填上理由.,已知：如圖，∠A+∠B= 180. 求證：∠C+∠D= 180. 證明：∵∠A+∠B= 180（已知）， ∴ AD∥BC（ ）. ∴ ∠C+∠D= 180 （ ）.,同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

13、,兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ),2. 已知：如圖，直線AB，CD被直線MN所截， ∠1=∠2. 求證：∠2=∠3，∠3+∠4=180.,證明： ∵ ∠1=∠2，,∴ ∠2 =∠3（兩直線平行,內(nèi)錯角相等）,∠3+∠4=180（兩直線平行, 同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.,∴ AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）,3. 已知：如圖，AB與CD 相交于點(diǎn)E. 求證：∠A+∠C=∠B+∠D.,證明： ∵ AB與CD 相交于點(diǎn)E ，,∴ ∠AEC=∠BED （對頂角相等），,又 ∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180 （三角形內(nèi)角和等于180），,例,下列四個命題中是真命題的有（ ）. ①同位角相等；②相等的角是對頂角；③直角三角形兩銳角互余；④三個內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形. A.4個 B.3個 C.2個 D.1個,C,