132《“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)

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1、 章節(jié)名稱 1.3.2《“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)》 學(xué)時(shí) 1 知識(shí)與技能 （1）掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì). （2）會(huì)應(yīng)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題. 過程和方法 通過對(duì)問題的嘗試、探究加強(qiáng)對(duì)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)能力的在培養(yǎng)。 情感態(tài)度 和價(jià)值觀 通過恰時(shí)恰點(diǎn)的問題引入、引申，采用學(xué)生課前自主探究、課上合作探究、課下延伸探究的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生問題意識(shí)，提高學(xué)生思維能力，孕育學(xué)生創(chuàng)新精神，激發(fā)學(xué)生探索、研究我國(guó)古代數(shù)學(xué)的熱情. 教學(xué)重點(diǎn) 體會(huì)用函數(shù)知識(shí)研究問題的方法，理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì). 教學(xué)難點(diǎn) 結(jié)合函數(shù)圖象，理解增減性與最大值時(shí)，根據(jù)n的奇偶性確定

2、相應(yīng)的分界點(diǎn)； 利用賦值法證明二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì). 教 法 問題引導(dǎo)、合作探究 學(xué) 法 從課前探究和課上展示中感知規(guī)律，結(jié)合“楊輝三角”和函數(shù)圖象性質(zhì)領(lǐng)悟性質(zhì)，在探究證明性質(zhì)中理解知識(shí) 教學(xué)過程的設(shè)計(jì) 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 （一） 、復(fù) 習(xí) 引 入： （二） 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)： 1．“楊輝三角”的來(lái)歷及規(guī)律 2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 例題 分析 【課堂練習(xí)】

3、課堂 總結(jié) 課后 練習(xí) 提問學(xué)生填寫的相關(guān)知識(shí) （楊輝三角的來(lái)歷及規(guī)律） 動(dòng)手算一算：計(jì)算（n=1，2，3，4，5，6）展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，并寫成如下形式： 問題1二項(xiàng)式定理展開式的二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？ 問題2 二項(xiàng)式系數(shù)最大的是哪一項(xiàng)？ 問題3 二項(xiàng)式系數(shù)的和是多少？ 三、 課上探究（二項(xiàng)式系數(shù)的重要性質(zhì)）： 1、 對(duì)稱性：二項(xiàng)展開式中，與 ，即： 。 【問題2探究】：怎樣證明展開式的二項(xiàng)式系數(shù)具有增減性與最大值呢？ 從函數(shù)角

4、度分析二項(xiàng)式系數(shù)： 探究：（1）展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，可以看成是以為自變量的函數(shù)嗎？它的定義域是什么？{0,1,2，…，n}。 （2） 分別畫出時(shí)的函數(shù)圖像，你能看出有什么規(guī)律嗎？ （3）如何證明其增減性與最大值？ 所以相對(duì)于增減情況由決定，由>1 可知，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值。 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值； 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)和相等，且同時(shí)取得最大值。 【反饋升華】 1、 在(a＋b)展開式中，與第五項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是( ). A.第15項(xiàng) B.第16項(xiàng) C.第17項(xiàng) D.第

5、18項(xiàng) 2 在(a＋b)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)( ). A.第6項(xiàng) B.第7項(xiàng) C.第6項(xiàng)和第7項(xiàng) D.第5項(xiàng)和第7項(xiàng) 3.已知 展開式中只有第10項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=______ 【問題3探究】：各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和（賦值法） 在展開式中， 思考： 3.各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于 結(jié)論：在的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和. 變式提升： 1.若(1+)n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和等于512，求第八項(xiàng). 2.

6、 已知 (1) （2） （3）= （4） 四、課堂小結(jié)： 1、二項(xiàng)式系數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：①對(duì)稱性;②增減性與最大值;③各二項(xiàng)式系數(shù)的和 2、數(shù)學(xué)思想：函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想 3、數(shù)學(xué)方法：賦值法、圖象法 五、課后練習(xí)： 1、已知=a，=b，那么=__________； 2、（a+b）n的各二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是____________； 3、++…+=________； 4、______； 計(jì)算展開式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入表格。引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。 教師引導(dǎo)學(xué)生將表格數(shù)據(jù)整理成“楊輝三角”表進(jìn)一步研究規(guī)律，通過投影“楊輝三角

7、”、楊輝圖像，適時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育，學(xué)生的民族自豪感和為國(guó)富民強(qiáng)而勤奮學(xué)習(xí)的熱情大受激勵(lì)。 教師提出問題，引發(fā)學(xué)生聯(lián)系數(shù)形結(jié)合方法。 教師先提問學(xué)生逐一得出規(guī)律，并對(duì)每個(gè)性質(zhì)進(jìn)行分析、證明。學(xué)生從所畫圖像及其對(duì)稱軸得出對(duì)稱性性質(zhì)。而由圖像及“楊輝三角”得到“二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，具有最大值”性質(zhì)，并進(jìn)一步探討了何時(shí)取得最值。 講練結(jié)合 歸納猜想并證明結(jié)論 在性質(zhì)3中初步體會(huì)了“賦值法”的妙用。 教師分析推理過程，并指出“給字母適當(dāng)賦值，是求解二項(xiàng)展開式各種系數(shù)和的一種重要方法。 教師鼓勵(lì)學(xué)生巧

8、思妙解 讓學(xué)生先議論后發(fā)言，特別強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合思想”和“賦值法” 夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 先由學(xué)生練習(xí)，然后提問學(xué)生解答。 給出探索研究，回顧相關(guān)知識(shí)。 引導(dǎo)學(xué)生開展課外學(xué)習(xí)，了解“楊輝三角”，探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”包含的規(guī)律，弘揚(yáng)我國(guó)古代數(shù)學(xué)文化；展示探究與發(fā)現(xiàn)的楊輝三角的規(guī)律，為學(xué)習(xí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)埋下伏筆. 體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。 教師引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)思想探究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生畫圖并觀察分析圖象性質(zhì)；運(yùn)用特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想歸納二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，升華認(rèn)識(shí)； 通過分組討論、自主探究、合作交流，說明

9、或證明二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性和增減性與最大值，提高學(xué)生合作意識(shí). 進(jìn)一步鞏固知識(shí) 通過學(xué)生歸納猜想各二項(xiàng)式系數(shù)的和，引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證猜想結(jié)論是否正確 體會(huì)“賦值法”思想的妙用。引導(dǎo)學(xué)生從模型化的角度出發(fā)，多角度的分析問題、探究問題、解決問題，將學(xué)生思維推向高潮，既加深學(xué)生對(duì)前后知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系的理解，又從深度和廣度上讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的串聯(lián)和呼應(yīng). 培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。 通過課堂的整理、總結(jié)與反思，使學(xué)生更好的掌握主干知識(shí) 課后作業(yè)學(xué)案 A組 1、若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）

10、 A．10 B．20 C．30 D．120 2、在展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是（ ） A．第6項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第5、6項(xiàng) D．第6、7項(xiàng) 3、已知，則（ ） A． B． C． D． 4.在（a—b）11的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（ ） （A）第6項(xiàng) (B) 第7項(xiàng) (C) 第6項(xiàng)和第7項(xiàng) (D) 第5項(xiàng)和第7項(xiàng) 5

11、、已知，則（ ） A． B． C． D．1 6、計(jì)算= 7、若，則 （用數(shù)字作答） 8、已知展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列. ⑴求；⑵求第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)；⑶求含項(xiàng)的系數(shù)； ⑷求展開式中有多少有理項(xiàng)，并求每一個(gè)有理項(xiàng). B組 9、用二項(xiàng)式定理證明：能被7整除。 C組 10、在第8題中，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。 【課堂延伸】（研究性學(xué)習(xí)）楊輝三角中的奧妙.（見教材P35閱讀材料） 問題1：（見教材P36圖1）從連線上的數(shù)字你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？ (n>r) 問題2．（見教材P36圖2）計(jì)算楊輝三角圖形中斜行上數(shù)字的和，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？