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1、
湖南師大附中2017-2018學(xué)年度高一第二學(xué)期期末考試
數(shù) 學(xué)
命題:柳 葉 審題:譚澤仁
時(shí)量:120分鐘 滿分:150分
得分:____________
第Ⅰ卷(滿分100分)
一、選擇題:本大題共11個(gè)小題,每小題5分,共55分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若a,b,c是平面內(nèi)任意三個(gè)向量,λ∈R,下列關(guān)系式中,不一定成立的是
A.a(chǎn)+b=b+a B.λ(a+b)=λa+λb
C.(a+b)+c=a+(b+c) D.b=λa
2.下列命題正確的是
A.若a、b都是單
2、位向量,則a=b
B.若=,則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形
C.若兩向量a、b相等,則它們是起點(diǎn)、終點(diǎn)都相同的向量
D.與是兩平行向量
3.cos 12°cos 18°-sin 12°sin 18°的值等于
A. B. C.- D.-
4.函數(shù)f(x)=的最小正周期為
A. B. C.π D.2π
5.設(shè)a,b是非零向量,則下列不等式中不恒成立的是
A.|a+b|≤|a|+|b| B.|a|-|b|≤|a+b|
C.|a|-|b|≤|a|+|b| D.|a|≤|a+b|
6.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(π)=
A.
3、- B. C. D.-
7.如圖,角α、β均以O(shè)x為始邊,終邊與單位圓O分別交于點(diǎn)A、B,則·=
A.sin(α-β) B.sin(α+β)
C.cos(α-β) D.cos(α+β)
8.已知<α<,且sin α·cos α=,則sin α-cos α的值是
A.- B. C. D.-
9.已知α∈,cos=,則sin α的值等于
A. B. C. D.-
10.將函數(shù)y=3sin 的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)
A.在區(qū)間上單調(diào)遞減
B.在區(qū)間上單調(diào)遞增
C.在區(qū)間上單調(diào)遞減
D.在區(qū)間上單調(diào)遞增
11.設(shè)O是平面上一定點(diǎn),
4、A、B、C是該平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λ,λ∈,則點(diǎn)P的軌跡必經(jīng)過(guò)△ABC的
A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心
答題卡
題 號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得 分
答 案
二、填空題:本大題共3個(gè)小題,每小題5分,共15分.
12.已知直線x=是函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象上的一條對(duì)稱軸,則實(shí)數(shù)φ的最小正值為_(kāi)_______.
13.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,則sin(α+β)=________.
14.已知⊥,·=1.點(diǎn)
5、P為線段BC上一點(diǎn),滿足=+.若點(diǎn)Q為△ABC外接圓上一點(diǎn),則·的最大值等于________.
三、解答題:本大題共3個(gè)小題,共30分.
15.(本小題滿分8分)
已知=1.
(1)求tan α的值;
(2)求tan的值.
16.(本小題滿分10分)
已知向量a=(sin α,1),b= .
(1)若角α的終邊過(guò)點(diǎn)(3,4),求a·b的值;
(2)若a∥b,求銳角α的大小.
17.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)=sinsin x-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)討論f(x)在上的單調(diào)性.
第Ⅱ卷(滿分50分)
一、填空題:本大題
6、共2個(gè)小題,每小題6分.
18.兩等差數(shù)列{an}和{bn},其前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn,且=,則等于________.
19.設(shè)函數(shù)f(x)=的最大值為M,最小值為m,則M+m=________.
二、解答題:本大題共3個(gè)小題,共38分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.
20.(本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).
(1)證明:BE⊥DC;
(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值.
21.(本小題滿分13
7、分)
在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=,∠A=120°,BD=3.
(1)求AD的長(zhǎng);
(2)若∠BCD=105°,求四邊形ABCD的面積.
22.(本小題滿分13分)
已知函數(shù)f(x)=x|x-a|+bx(a,b∈R).
(1)當(dāng)b=-1時(shí),函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)當(dāng)b=1時(shí),
①若對(duì)于任意x∈[1,3],恒有≤2,求a的取值范圍;
②若a>0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值g(a).
湖南師大附中2017-2018學(xué)年度高一第二學(xué)期期末考試
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題
8、
題 號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答 案
D
D
A
C
D
B
C
B
C
B
D
1.D 【解析】選項(xiàng)A,根據(jù)向量的交換律可知正確;選項(xiàng)B,向量具有數(shù)乘的分配律,可知正確;選項(xiàng)C,根據(jù)向量的結(jié)合律可知正確;選項(xiàng)D,a,b不一定共線,故D不正確.故選D.
2.D 【解析】A.單位向量長(zhǎng)度相等,但方向不一定相同,故A不對(duì);B.A、B、C、D四點(diǎn)可能共線,故B不對(duì);C.只要方向相同且長(zhǎng)度相等,則這兩個(gè)向量就相等,與始點(diǎn)、終點(diǎn)無(wú)關(guān),故C不對(duì);D.因和方向相反,是平行向量,故D對(duì).故選D.
3.A 【解析】cos 12°c
9、os 18°-sin 12°sin 18°=cos (12°+18°)=cos 30°=,故選A.
4.C 【解析】函數(shù)f(x)===sin 2x的最小正周期為=π,故選C.
5.D 【解析】由向量模的不等關(guān)系可得:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
|a+b|≤|a|+|b|,故A恒成立.
|a|-|b|≤|a+b|,故B恒成立.
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,故C恒成立.
令a=(2,0),b=(-2,0),則|a|=2,|a+b|=0,則D不成立.故選D.
6.B 【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象A=.
由圖象得:T=4=π,
所以ω==2.
當(dāng)x=時(shí),
10、f=sin=0,
∴+φ=kπ,φ=-+kπ.k∈Z.
由于|φ|<,取k=1,解得:φ=,所以f(x)=sin.
則:f(π)=,故選B.
7.C 【解析】根據(jù)題意,角α,β均以O(shè)x為始邊,終邊與單位圓O分別交于點(diǎn)A,B,
則A(cos α,sin α),B(cos β,sin β),
則有·=cos αcos β+sin αsin β=cos (α-β);
故選C.
8.B 【解析】∵(sin α-cos α)2=sin 2α-2sin αcos α+cos 2α
=(sin 2α+cos 2α)-2sin αcos α;
又∵sin 2α+cos 2α=1,sin α
11、cos α=,
∴(sin α-cos α)2=1-2×=;
得sin α-cos α=±;
由<α<,知
12、y=3sin在區(qū)間上單調(diào)遞增,故選B.
11.D 【解析】由題意可得-==λ,
所以·=λ
=λ=0,所以⊥,即點(diǎn)P在BC邊的高所在直線上,即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的垂心,故選D.
二、填空題
12.π 【解析】(略)
13.- 【解析】sin α+cos β=1,
兩邊平方可得:sin 2α+2sin αcos β+cos 2β=1,①,
cos α+sin β=0,
兩邊平方可得:cos 2α+2cos αsin β+sin 2β=0,②,
由①+②得:2+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,即2+2sin(α+β)=1,
∴2sin(α+β)=-1
13、.
∴sin(α+β)=-.
14. 【解析】∵⊥,||·||=1,建立如圖所示坐標(biāo)系,設(shè)B,C(0,t),=,=(0,t),=+=t+(0,t)=(1,),∴P(1,),
∵P為線段BC上一點(diǎn),∴可設(shè)=λ,從而有=λ,即解之得t=.
∴B,C.顯然P為BC中點(diǎn),∴點(diǎn)P為△ABC外接圓圓心.Q在△ABC外接圓上,又當(dāng)AQ過(guò)點(diǎn)P時(shí)有最大值為2=,
此時(shí)與夾角為θ=0°,cos θ=1.∴=×=.
三、解答題
15.【解析】(1)由題意,cos α≠0,由=1,可得=1,
即5tan α-1=1+tan α,解得tan α=.(4分)
(2)由(1)得tan 2α==,
t
14、an==-7.(8分)
16.【解析】(1)角α的終邊過(guò)點(diǎn)(3,4),∴r==5,
∴sin α==,cos α==;
∴a·b=sin α+sin
=sin α+sin αcos+cos αsin
=×+×+×=.(5分)
(2)若a∥b,則sin αsin=1,
即sin α=1,
∴sin 2α+sin αcos α=1,
∴sin αcos α=1-sin 2α=cos 2α,
對(duì)銳角α有cos α≠0,
∴tan α=1,
∴銳角α=.(10分)
17.【解析】(1)f(x)=sinsin x-cos 2x
=cos xsin x-(1+cos 2x)
15、=sin 2x-cos 2x-=sin-,
因此f(x)的最小正周期為π,最大值為.(6分)
(2)當(dāng)x∈時(shí),0≤2x-≤π,從而當(dāng)0≤2x-≤,即≤x≤時(shí),f(x)單調(diào)遞增;≤2x-≤π即π≤x≤時(shí),f(x)單調(diào)遞減.
綜上可知,f(x)在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.(12分)
18. 【解析】===.
19.2 【解析】可以將函數(shù)式整理為f(x)==1+,不妨令g(x)=,易知函數(shù)g(x)為奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱.若x=x0時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值M,則由對(duì)稱性可知,當(dāng)x=-x0時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值m,因此,M+m=f(x0)+f(-x0
16、)=2.
20.【解析】(1)如圖,取PD中點(diǎn)M,連接EM、AM.由于E、M分別為PC、PD的中點(diǎn),故EM∥DC,且EM=DC,又由已知,可得EM∥AB且EM=AB,故四邊形ABEM為平行四邊形,所以BE∥AM.
因?yàn)镻A⊥底面ABCD,故PA⊥CD,而CD⊥DA,從而CD⊥平面PAD,因?yàn)锳M平面PAD,于是CD⊥AM,又BE∥AM,所以BE⊥CD.(5分)
(2)連接BM,由(1)有CD⊥平面PAD,
得CD⊥PD,而EM∥CD,故PD⊥EM,又因?yàn)锳D=AP,M為PD的中點(diǎn),故PD⊥AM,可得PD⊥BE,所以PD⊥平面BEM,故平面BEM⊥平面PBD.所以直線BE在平面PB
17、D內(nèi)的射影為直線BM,而B(niǎo)E⊥EM,可得∠EBM為銳角,故∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角.
依題意,有PD=2,而M為PD中點(diǎn),可得AM=,進(jìn)而B(niǎo)E=.故在直角三角形BEM中,tan∠EBM===,因此sin∠EBM=.
所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.(13分)
21.【解析】(1)∵在四邊形ABCD中,
AD∥BC,AB=,∠A=120°,BD=3.
∴由余弦定理得cos 120°=,
解得AD=(舍去AD=-2),
∴AD的長(zhǎng)為.(5分)
(2)∵AB=AD=,∠A=120°,∴∠ADB=(180°-120°)=30°,又AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB
18、=30°.
∵∠BCD=105°,∠DBC=30°,∴∠BDC=180°-105°-30°=45°,△BCD中,由正弦定理得=,解得BC=3-3.(9分)
從而S△BDC=BC·BDsin∠DBC=×(3-3)×3×sin 30°=(-1).(10分)
S△ABD=AB×ADsin A=×××sin 120°=.(11分)
∴S=S△ABD+S△BDC=.(13分)
22.【解析】(1)當(dāng)b=-1時(shí),f(x)=x|x-a|-x=x(|x-a|-1),
由f(x)=0,解得x=0或|x-a|=1,
由|x-a|=1,解得x=a+1或x=a-1.
∵f(x)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)且a+
19、1≠a-1,
∴a+1=0或a-1=0,得a=±1.(4分)
(2)當(dāng)b=1時(shí),f(x)=x|x-a|+x,
①∵對(duì)于任意x∈[1,3],恒有≤2,
即≤2,即|x-a|≤2-1,
∵x∈[1,3]時(shí),2-1>0,
∴1-2≤x-a≤2-1,
即x∈[1,3]時(shí)恒有成立.
令t=,當(dāng)x∈[1,3]時(shí),t∈[,2],x=t2-1.
∴x+2-1=t2+2t-2=(t+1)2-3≥(+1)2-3=2,
∴x-2+1=t2-2t=(t-1)2-1≤0,
綜上,a的取值范圍是[0,2].(8分)
②f(x)==
當(dāng)0<a≤1時(shí),≤0,≥a,
這時(shí)y=f(x)在[0,2]上單
20、調(diào)遞增,
此時(shí)g(a)=f(2)=6-2a;
當(dāng)1<a<2時(shí),0<<<a<2,
y=f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在[a,2]上單調(diào)遞增,
∴g(a)=max,f=,f(2)=6-2a,
而f-f(2)=-(6-2a)=,
當(dāng)1<a<4-5時(shí),g(a)=f(2)=6-2a;
當(dāng)4-5≤a<2時(shí),g(a)=f=;
當(dāng)2≤a<3時(shí),<<2≤a,
這時(shí)y=f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
此時(shí)g(a)=f=;
當(dāng)a≥3時(shí),≥2,y=f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,
此時(shí)g(a)=f(2)=2a-2.
綜上所述,x∈[0,2]時(shí),g(a)=.(13分)