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1、第2講 空間中的平行與垂直
自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引
真題感悟
1.(2012·浙江)設(shè)l是直線,α、β是兩個(gè)不同的平面
A.若l∥α,l∥β,則α∥β
B.若l∥α,l⊥β,則α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,則l⊥β
D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β
解析 利用線與面、面與面的關(guān)系定理判定,用特例法.
設(shè)α∩β=a,若直線l∥a,且l?α,l?β,則l∥α,l∥β,因此α不一定平行于β,故A錯(cuò)誤;由于l∥α,故在α內(nèi)存在直線l′∥l,又因?yàn)閘⊥β,所以l′⊥β,故α⊥β,所以B正確;若α⊥β,在β內(nèi)作交線的垂線l,則l⊥α,此時(shí)l在平面β內(nèi),因此C錯(cuò)誤;已知α⊥β,若α∩β=a,l∥a
2、,且l不在平面α,β內(nèi),則l∥α且l∥β,因此D錯(cuò)誤.
答案 B
2.(2012·江蘇)如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1=A1C1,D、E分別是棱BC、CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C),且AD⊥DE,F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn).
求證:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直線A1F∥平面ADE.
證明 (1)因?yàn)锳BC A1B1C1是直三棱柱,
所以C C1⊥平面ABC.
又AD?平面ABC,所以C C1⊥AD.
又因?yàn)锳D⊥DE,C C1,DE?平面BC C1 B1,
C C1∩DE=E,
所以AD⊥平面BC C1 B1.
又AD?平面ADE,
所
3、以平面ADE⊥平面BC C1 B1.
(2)因?yàn)锳1 B1=A1 C1,F(xiàn)為B1 C1的中點(diǎn),所以A1F⊥B1 C1.
因?yàn)镃 C1⊥平面A1 B1 C1,且A1F?平面A1 B1 C1,
所以C C1⊥A1F.
又因?yàn)镃 C1,B1 C1?平面BC C1 B1,C C1∩B1 C1=C1,
所以A1F⊥平面BC C1 B1.
由(1)知AD⊥平面BC C1 B1,所以A1F∥AD.
又AD?平面ADE,A1F?平面ADE,所以A1F∥平面ADE
考題分析
空間線面位置關(guān)系的判定與證明是高考的必考考點(diǎn),多以選擇題與解答題的形式出現(xiàn),難度中等,解答高考題時(shí),推理過程不完整是失
4、分的重要原因,需引起特別注意.
網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建
高頻考點(diǎn)突破
考點(diǎn)一:線線、線面的平行與垂直
【例1】如圖,在平行四邊形ABCD中,CD=1,∠BCD=60°,且BD⊥CD,正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直,G、H分別是DF、BE的中點(diǎn).
(1)求證:BD⊥平面CDE;
(2)求證:GH∥平面CDE;
(3)求三棱錐D-CEF的體積.
[審題導(dǎo)引] (1)先證BD⊥ED,BD⊥CD,可證BD⊥平面CDE;
(2)由GH∥CD可證GH∥平面CDE;
(3)變換頂點(diǎn),求VC-DEF.
[規(guī)范解答] (1)證明 ∵四邊形ADEF是正方形,
∴ED⊥AD,
5、又平面ADEF⊥平面ABCD,
平面ADEF∩平面ABCD=AD.
∴ED⊥平面ABCD,∴ED⊥BD.
又BD⊥CD,且ED∩DC=D,
∴BD⊥平面CDE.
(2)證明 ∵G是DF的中點(diǎn),又易知H是FC的中點(diǎn),
∴在△FCD中,GH∥CD,
又∵CD?平面CDE,GH?平面CDE,
∴GH∥平面CDE.
(3)設(shè)Rt△BCD中,BC邊上的高為h,
∵CD=1,∠BCD=60°,BD⊥CD,
∴BC=2,BD=,∴×2×h=×1×,
∴h=,即點(diǎn)C到平面DEF的距離是,
∴VD-CEF=VC-DEF=××2×2×=.
【規(guī)律總結(jié)】
線線、線面位置關(guān)系證法歸納
6、(1)證線線平行常用的方法:一是利用平行公理,即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行;二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換;三是利用三角形的中位線定理證線線平行;四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.
(2)證線面平行常用的兩種方法:一是利用線面平行的判定定理,把證線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行;二是利用面面平行的性質(zhì),把證線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.
(3)證線面垂直常用的方法:一是利用線面垂直的判定定理,把證線面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直;二是利用面面垂直的性質(zhì)定理,把證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線面垂直;另外還要注意利用教材中的一些結(jié)論,如:兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面等.
【
7、變式訓(xùn)練】
1.(2012·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)一診)如圖,在幾何體ABCDEP中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥EB,且PA=2BE=4.
(1)證明:BD∥平面PEC;
(2)若G為BC上的動(dòng)點(diǎn),求證:AE⊥PG.
證明 (1)連接AC交BD于點(diǎn)O,取PC的中點(diǎn)F,連接OF,EF,
∵EB∥PA,且EB=PA,
又OF∥PA,且OF=PA,
∴EB∥OF,且EB=OF,
∴四邊形EBOF為平行四邊形,
∴EF∥BD.
又∵EF?平面PEC,BD?平面PEC,∴BD∥平面PEC.
(2)連接BP,∵==,
∠EBA=∠BAP=90°,
8、
∴△EBA∽△BAP,∴∠PBA=∠BEA,
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°,
∴PB⊥AE.
∵PA⊥平面ABCD,PA?平面APEB,
∴平面ABCD⊥平面APEB,
∵BC⊥AB,平面ABCD∩平面APEB=AB,
∴BC⊥平面APEB,∴BC⊥AE,∴AE⊥平面PBC,
∵G為BC上的動(dòng)點(diǎn),∴PG?平面PBC,∴AE⊥PG.
考點(diǎn)二:面面平行與垂直
【例2】如圖所示,已知在三棱錐A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB的中點(diǎn),D為PB的中點(diǎn),且△PMB為正三角形.
(1)求證:DM∥平面APC;
(2)求證:平面ABC⊥平面APC;
(
9、3)若BC=4,AB=20,求三棱錐D-BCM的體積.
[審題導(dǎo)引] (1)只要證明MD∥AP即可,根據(jù)三角形中位線定理可證;
(2)證明AP⊥BC;
(3)根據(jù)錐體體積公式進(jìn)行計(jì)算.
[規(guī)范解答] (1)證明 由已知,得MD是△ABP的中位線,所以MD∥AP.
又MD?平面APC,AP?平面APC,故MD∥平面APC.
(2)證明 因?yàn)椤鱌MB為正三角形,D為PB的中點(diǎn),
所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.
又AP⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC.
因?yàn)锽C?平面PBC,所以AP⊥BC.
又BC⊥AC,AC∩AP=A,
所以BC⊥平面APC.
因?yàn)锽
10、C?平面ABC,所以平面ABC⊥平面APC.
(3)由題意,可知MD⊥平面PBC,
所以MD是三棱錐D-BCM的一條高,
所以VM-DBC=×S△BCD×MD=×2×5=10.
【規(guī)律總結(jié)】
面面平行與垂直的證明技巧
在立體幾何的平行關(guān)系問題中,“中點(diǎn)”是經(jīng)常使用的一個(gè)特殊點(diǎn),無論是試題本身的已知條件,還是在具體的解題中,通過找“中點(diǎn)”,連“中點(diǎn)”,即可出現(xiàn)平行線,而線線平行是平行關(guān)系的根本.在垂直關(guān)系的證明中,線線垂直是問題的核心,可以根據(jù)已知的平面圖形通過計(jì)算的方式證明線線垂直,也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直,其中要特別重視兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理,這個(gè)定理已知的是兩個(gè)平面
11、垂直,結(jié)論是線面垂直.
【變式訓(xùn)練】
2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分別是AP、AD的中點(diǎn).
求證:(1)直線EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
證明 (1)在△PAD中,因?yàn)镋,F(xiàn)分別為AP,AD的中點(diǎn),所以EF∥PD.
又因?yàn)镋F?平面PCD,PD?平面PCD,
所以直線EF∥平面PCD.
(2)如圖,連接BD.因?yàn)锳B=AD,∠BAD=60°,
所以△ABD為正三角形.
因?yàn)镕是AD的中點(diǎn),所以BF⊥AD.
因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BF?平
12、面ABCD,
所以BF⊥平面PAD.
又因?yàn)锽F?平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.
考點(diǎn)三:平面圖形的折疊問題
【例3】(2012·南京模擬)在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D為線段BC的中點(diǎn),E、F為線段AC的三等分點(diǎn)(如圖1).將△ABD沿著AD折起到△AB′D的位置,連接B′C(如圖2).
圖1 圖2
(1)若平面AB′D⊥平面ADC,求三棱錐B′-ADC的體積;
(2)記線段B′C的中點(diǎn)為H,平面B′ED與平面HFD的交線為l,求證HF∥l;
(3)求證:AD⊥B′E.
[審題導(dǎo)引] (1)解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊前
13、后的線面位置關(guān)系求得B′到平面ADC的距離,可利用線面垂直求得;
(2)線面平行?線線平行;
(3)線面垂直?線線垂直.
[規(guī)范解答] (1)在直角△ABC中,D為BC的中點(diǎn),
所以AD=BD=CD.
又∠B=60°,所以△ABD是等邊三角形.
取AD中點(diǎn)O,連接B′O,所以B′O⊥AD.
因?yàn)槠矫鍭B′D⊥平面ADC,
平面AB′D∩平面ADC=AD,
B′O?平面AB′D,
所以B′O⊥平面ADC.
在△ABC中,∠BAC=90°,
∠B=60°,AB=1,
D為BC的中點(diǎn),
所以AC=,B′O=.
所以S△ADC=××1×=.
所以三棱錐B′-ADC的體積
14、為V=×S△ADC×B′O=.
(2)證明 因?yàn)镠為B′C的中點(diǎn),F(xiàn)為CE的中點(diǎn),
所以HF∥B′E.
又HF?平面B′ED,B′E?平面B′ED,
所以HF∥平面B′ED.
因?yàn)镠F?平面HFD,平面B′ED∩平面HFD=l,
所以HF∥l.
(3)證明 由(1)知,B′O⊥AD.
因?yàn)锳E=,AO=,∠DAC=30°,
所以EO==.
所以AO2+EO2=AE2.所以AD⊥EO.
又B′O?平面B′EO,EO?平面B′EO,B′O∩EO=O,
所以AD⊥平面B′EO.
又B′E?平面B′EO,所以AD⊥B′E.
【規(guī)律總結(jié)】
解決翻折問題的注意事項(xiàng)
(1
15、)解決與翻折有關(guān)的幾何問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后哪些量改變、哪些量不變,抓住翻折前后不變的量,充分利用原平面圖形的信息是解決問題的突破口.
(2)把平面圖形翻折后,經(jīng)過恰當(dāng)連線就能得到三棱錐、四棱錐,從而把問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的幾何體中去解決.
【變式訓(xùn)練】
3.如圖1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E、F分別為AD和BC上的點(diǎn),且EF∥AB,AD=2AE=2AB=4FC=4.將四邊形EFCD沿EF折起成如圖2的形狀,使AD=AE.
(1)求證:BC∥平面DAE;
(2)求四棱錐D-AEFB的體積.
解析 (1)證明 ∵BF∥AE,CF∥DE,BF∩CF=F,
16、
AE∩DE=E,
∴平面CBF∥平面DAE.
又BC?平面CBF,∴BC∥平面DAE.
(2)取AE的中點(diǎn)H,連接DH.
∵EF⊥DE,EF⊥EA,∴EF⊥平面DAE.
又DH?平面DAE,∴EF⊥DH.
∵AE=DE=AD=2,∴DH⊥AE,DH=.
∴DH⊥平面AEFB.
則四棱錐D-AEFB的體積V=××2×2=.
名師押題高考
【押題1】已知直線a、b與平面α、β,且b⊥α,則下列命題中正確的是
①若a∥α,則a⊥b;②若a⊥b,則a∥α;
③若b∥β,則α⊥β;④若α⊥β,則b∥β.
A.①③ B.②④
C.①④ D.②③
解析 命
17、題①,若a∥α,過直線a作一平面γ,使得α∩γ=c,則由線面平行的性質(zhì)定理可得a∥c,又因?yàn)閎⊥α,c?α,所以b⊥c,故有a⊥b,所以該命題為真;命題②,若a⊥b,b⊥α,則直線α與平面α的位置關(guān)系有兩種:a?α或a∥α,故該命題為假;
命題③,若b∥β,則過直線b作一平面δ,使得δ∩β=d,則由線面平行的性質(zhì)定理可得b∥d,又b⊥α,所以d⊥α,因?yàn)閐?β,所以由面面垂直的判定定理可得α⊥β,故該命題為真;命題④,若α⊥β,b⊥α,則直線b與平面β的位置關(guān)系有兩種:b?β或b∥β,故該命題為假.綜上,①③為真命題,故選A.
答案 A
[押題依據(jù)] 線面的平行與垂直,是立體幾何的
18、主體內(nèi)容,在高考試題中通常會(huì)有一道解答題和一道選擇題或填空題,主要考查線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì),一般難度不大.
【押題2】如圖,在三棱錐A-BOC中,AO⊥平面COB,∠OAB=∠OAC=,AB=AC=2,BC=,D、E分別為AB、OB的中點(diǎn).
(1)求證:CO⊥平面AOB.
(2)在線段CB上是否存在一點(diǎn)F,使得平面DEF∥平面AOC?若存在,試確定F的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解析 (1)證明 因?yàn)锳O⊥平面COB,所以AO⊥CO,AO⊥BO,
即△AOC與△AOB為直角三角形.
又因?yàn)椤螼AB=∠OAC=,AB=AC=2,
所以O(shè)B=OC=1.
由OB2+OC2=
19、1+1=2=BC2,
可知△BOC為直角三角形.
所以CO⊥BO,又因?yàn)锳O∩BO=O,
所以CO⊥平面AOB.
(2)在線段CB上存在一點(diǎn)F,使得平面DEF∥平面AOC,
此時(shí)F為線段CB的中點(diǎn).
如圖,連接DF,EF,因?yàn)镈、E分別為AB、OB的中點(diǎn),所以DE∥OA.
又DE?平面AOC,所以DE∥平面AOC.
因?yàn)镋、F分別為OB、BC的中點(diǎn),所以EF∥OC.
又EF?平面AOC,所以EF∥平面AOC,
又EF∩DE=E,EF?平面DEF,DE?平面DEF,
所以平面DEF∥平面AOC.
[押題依據(jù)] 線面的平行與垂直是立體幾何的必考內(nèi)容,通常要考一個(gè)解答題,本題不僅突出考查了線面的平行與垂直,而且以立體幾何為背景.考查了探索性問題,題目新穎靈活、重點(diǎn)突出、難度適中,故押此題.