2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件 新人教A版選修4-5.ppt

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1、二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,,學(xué)習(xí)目標 1.會用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式. 2.了解貝努利不等式，并會證明貝努利不等式. 3.體會歸納—猜想—證明的思想方法.,,,問題導(dǎo)學(xué),達標檢測,,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),,知識點 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,,,,,思考1 用數(shù)學(xué)歸納法證明問題必須注意的步驟是什么？,答案 (1)歸納奠基：驗證初始值n＝n0. (2)歸納遞推：在假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N＋)成立的前提下，證明n＝k＋1時問題成立.,思考2 證明不等式與證明等式有什么不同？,答案 證明不等式需注意的是對式子進行“放縮”.,梳理 (1)利用數(shù)學(xué)歸

2、納法證明不等式 在運用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，由n＝k時命題成立，推導(dǎo)n＝k＋1命題成立時，常常要與其他方法，如 、 、 、 等結(jié)合進行. (2)貝努利(Bernoulli)不等式 如果x是實數(shù)，且x＞－1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，則有 .,比較法,分析法,綜合法,放縮法,(1＋x)n＞1＋nx,(3)貝努利不等式的推廣 事實上，把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實數(shù)α?xí)r， 仍有類似不等式成立. ①當(dāng)α是實數(shù)，并且滿足α＞1或者α＜0時，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)； ②當(dāng)α是實數(shù)，并且滿足0＜α＜1時，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1).,題型探究,,類型

3、一 數(shù)學(xué)歸納法與放縮法結(jié)合證明不等式,證明,(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥2)時，命題成立，,即當(dāng)n＝k＋1時，命題成立. 由(1)(2)可知，不等式對一切n∈N＋，n≥2都成立.,反思與感悟 在歸納遞推過程中常用到放縮法，這也是在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時常用的方法之一.,左邊＜右邊，不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k＞1，k∈N＋)時，不等式成立，,則當(dāng)n＝k＋1時，,所以當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立.,由(1)(2)知，對于任意大于1的正整數(shù)n，不等式均成立.,證明,,類型二 利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式,當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.,解答

4、,證明,證明 ①當(dāng)n＝1時，,②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時，不等式成立，,由①②可知，對任意n∈N＋不等式都成立.,反思與感悟 (1)首先掌握好數(shù)學(xué)歸納法求解問題的步驟及等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，這是解決這類問題的基礎(chǔ). (2)此類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項公式有關(guān)，有時要證明的式子是直接給出，有時是根據(jù)條件從前幾項入手，通過觀察、猜想，歸納出一個式子，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明.,證明,當(dāng)n＝k＋1時，,達標檢測,1.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步驗證 A.n＝1 B.n＝2 C.n＝3 D.n＝4,1,2,3,4,解析 由題意知，n的最小值為3，所以第一步驗證n＝3

5、是否成立.,解析,答案,√,1,2,3,4,解析,答案,√,1,2,3,4,解析 當(dāng)n＝k＋1時，目標不等式為,解析,答案,1,2,3,4,解答,1,2,3,4,又a∈N＋，∴正整數(shù)a的最大值為25.,(1)當(dāng)n＝1時，不等式顯然成立.,1,2,3,4,當(dāng)n＝k＋1時，有,1,2,3,4,即n＝k＋1時不等式也成立.,數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧 (1)證明不等式時，由n＝k到n＝k＋1的推證過程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關(guān)系，需要我們在證明時，對原式進行“放大”或者“縮小”才能使用到n＝k時的假設(shè)，所以需要認真分析，適當(dāng)放縮，才能使問題簡單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時常用的方法之一. (2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成證明過程.,規(guī)律與方法,本課結(jié)束,,