高考理科數(shù)學試題分類匯編7：立體幾何 Word版含答案

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高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 2013 年全國高考理科數(shù)學試題分類匯編 7：立體幾何 一、選擇題 1. ． （2013 年高考新課標 1（理） ）如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高 8cm,將一個球放在容器口,再向容器內注水,當球面恰好接觸水面時測得水深為 6cm,如 果不計容器的厚度,則球的體積為 （ ） A． B． C． D．350cm?386cm?3172cm?32048cm? 【答案】A 2. ． （ 2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純 WORD版） ）設 是兩,n 條不同的直線, 是兩個不同的平面,下列命題中正確的是 （ ）?? A．若 , , ,則 B．若 , , ,則 ?m?nn?/??m?n?/n C．若 , , ,則 D．若 , , ,則/?? 【答案】D 3. ． （2013 年上海市春季高考數(shù)學試卷(含答案)）若兩個球的表面積之比為 ,則這兩個球1:4 的體積之比為 （ ） A． B． C． D．1:21:41:8:6 【答案】C 4. ． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學（理）WORD 版含答案（已校對） ）已知 正四棱柱 中 ,則 與平面 所成角的正弦值等于 （ ）1DA?12AB?1BC A． B． C． D．23333 【答案】A 5. ． （2013 年高考新課標 1（理） ）某幾何體的三視圖如圖所示 ,則該幾何體的體積為 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ （ ） A． B． C． D．168??8??16??816?? 【答案】A 6. ． （2013 年高考湖北卷（理） ）一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個 簡單幾何體組成,其體積分別記為 , , , ,上面兩個簡單幾何體均為旋轉體 ,下1V234 面兩個簡單幾何體均為多面體,則有 （ ） A． B． C． D．1243V?1324V?2134V?2314V? 【答案】C 7. ． （2013 年高考湖南卷（理） ）已知棱長為 1 的正方體的俯視圖是一個面積為 1 的正方形,則 該正方體的正視圖的面積不可能等于 （ ） A． B． C． D． 122-2+ 【答案】C 8. ． （ 2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純 WORD版） ）某四棱臺的 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 三視圖如圖所示,則該四棱臺的體積是 （ ） 121 正視圖 俯視圖 側視圖 第 5題圖 A． B． C． D．4 1431636 【答案】B 9. ． （ 2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標Ⅱ卷數(shù)學（理） （純 WORD版含答案） ）已知nm, 為異面直線, ?平面 ?,n平面 ?.直線 l滿足 ,則 （ ）,,mlnl???? A． ??/,且 /l B． ?,且 ? C． 與 相交,且交線垂直于 lD． 與 相交 ,且交線平行于 l 【答案】D 10.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學（理）試題（含答案） ）已知三棱柱1ABC? 的側棱與底面垂直,體積為 94 ,底面是邊長為 3的正三角形.若 P為底 面 的中心,則 PA與平面 BC所成角的大小為 （ ） A． 512? B． 3 ? C． 4 ? D． 6 ? 【答案】B 11.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學（理）試題（含答案） ）某幾何體的三視圖 如題 ??5圖所示,則該幾何體的體積為 （ ） A． 603B． 5803C． 20D． 240 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 【答案】C 12.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學（理）試題（WORD 版） ）已知三棱柱 的 6 個頂點都在球 的球面上,若 , ,1AB?O34ABC?， AB? ,則球 的半徑為 （ ）2? A． B． C． D． 37210132310 【答案】C 13.． （2013 年高考江西卷（理） ）如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面 上,且? ,正方體的六個面所在的平面與直線 CE,EF 相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為 ,那ABD mn 么 mn?? （ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 14.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標Ⅱ卷數(shù)學（理） （純 WORD版含答案） ）一個 四面體的頂點在空間直角坐標系 Oxyz?中的坐標分別是 (1,0),(1)0,,畫該四 面體三視圖中的正視圖時,以 平面為投影面,則得到正視圖可以為 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ （ ） A． B． C． D． 【答案】A 15.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純 WORD版） ）在下列命題 中,不是公理的是 （ ） A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行 B．過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面 C．如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線上所有的點都在此平面內 D．如果兩個不重合的平面有一個公共點, 那么他們有且只有一條過該點的公共直線 【答案】A 16.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學（理）試題（純 WORD版） ）在空間中,過 點 作平面 的垂線,垂足為 ,記 .設 是兩個不同的平面,對空間任意?B)(Af???? 一點 , ,恒有 ,則 （ ）P][)],([21 PfQf?????21Q A．平面 與平面 垂直 B．平面 與平面 所成的(銳)二面角為 045 C．平面 與平面 平行 D．平面 與平面 所成的(銳)二面角為???? 06 【答案】A 17.． （2013 年高考四川卷（理） ）一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以 是 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 【答案】D 二、填空題 18.． （2013 年高考上海卷（理） ）在 平面上,將兩個半圓弧 和xOy2(1)(1)xyx???? 、兩條直線 和 圍成的封閉圖形記為 D,如圖中陰2(3)1(3)xyx????1?y 影部分.記 D 繞 y 軸旋轉一周而成的幾何體為 ,過 作 的水平截面,所?(0)|?? 得截面面積為 ,試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體,得出248??? 的體積值為__________? 【答案】 . 216?? 19.． （2013 年高考陜西卷（理） ）某幾何體的三視圖如圖所示, 則其體積為___ _____.3?112 1 【答案】 3? 20.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學（理）WORD 版含答案（已校對） ）已知 圓 和圓 是球 的大圓和小圓,其公共弦長等于球 的半徑, ,且圓 與圓OKO32K?O 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 所在的平面所成的一個二面角為 ,則球 的表面積等于______.K60?O 【答案】 16? 21.． （2013 年高考北京卷（理） ）如圖,在棱長為 2 的正方體 ABCD-A1B1C1D1中, E 為 BC 的中 點,點 P 在線段 D1E 上,點 P 到直線 CC1的距離的最小值為__________.1BPADCEBA1A 【答案】 25 22.． （2013 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學） （已校對純 WORD版含附 加題） ）如圖,在三棱柱 中, 分別是 的中點,ABC?1FED，， 1ACB，， 設三棱錐 的體積為 ,三棱柱 的體積為 ,則ADEF?VA?12V ____________.?21:VABC1DEF1 【答案】 1:24 23.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學（理）試題（純 WORD版） ）若某幾何體 的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積等于________ .2cm 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 4 3 2 3 3 正視圖 側視圖 俯視圖 （第 12 題圖） 【答案】24 24.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純 WORD版） ）如圖,正方體 的棱長為 1,P 為 BC 的中點,Q 為線段 上的動點,過點 A,P,Q 的1ABCD? 1C 平面截該正方體所得的截面記為 S.則下列命題正確的是__①②③⑤___(寫出所有正確 命題的編號). ①當 時,S 為四邊形;②當 時,S 為等腰梯形;③當 時,S 與102CQ?12CQ?34CQ? 的交點 R 滿足 ;④當 時,S 為六邊形;⑤當 時,S 的面1D13?4?1 積為 .62 【答案】①②③⑤ 25.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學（理）試題（WORD 版） ）某幾何體的三 視圖如圖所示,則該幾何體的體積是____________. 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 【答案】 16?? 26.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學（理）試題（純 WORD版） ）已知某一多 面體內接于一個簡單組合體,如果該組合體的正視圖.測試圖.俯視圖均如圖所示,且圖 中的四邊形是邊長為 2 的正方形,則該球的表面積是_______________ 【答案】 12? 27.． （2013 年上海市春季高考數(shù)學試卷(含答案)）在如圖所示的正方體 中,異面直線 與 所成角的大小為_______1ABCD?1ABC D1 C1 B1A1 D C A B 【答案】 3? 三、解答題 28.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學（理）試題（WORD 版） ）如圖,AB 是圓的 直徑,PA 垂直圓所在的平面,C 是圓上的點. (I)求證: PACB?平 面 平 面 ； (II) 2 .BCPBA???若 ， 1， ， 求 證 ： 二 面 角 的 余 弦 值 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 【答案】 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 29.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學（理）試題（含答案） ）如圖,四棱錐PABCD? 中, ABCD?底 面 , 2,4,3ACBACD????,F 為 的中點, FP. (1)求 的長; (2)求二面角 F?的正弦值. 【答案】 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 30.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純 WORD版） ）如圖,圓錐頂 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 點為 .底面圓心為 ,其母線與底面所成的角為 22.5°. 和 是底面圓 上的poABCDO 兩條平行的弦,軸 與平面 所成的角為 60°.OPCD (Ⅰ)證明:平面 與平面 的交線平行于底面; (Ⅱ)求 .PABCDcosCOD? 【答案】解: (Ⅰ) ,/ /mPABP?????設 面 面 直 線 且 面 面 . /?直 線 面直 線面 /? 所以, . CDDPAB的 公 共 交 線 平 行 底 面與 面面 C (Ⅱ) . rPOOPFr ?????5.2tan.60, 由 題 知， 則的 中 點 為線 段設 底 面 半 徑 為 . ????? t14,2cos5.2tan60t60tan, rPOF )23()],-(3[1-.t1cos2cos 2?????CDCD . 7cos.-17?O所 以 法二: 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 31.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學（理）試題（純 WORD版） ）如圖,在四面 體 中, 平面 , . 是 的中點,BCDA??BCD2,,??BDAMA 是 的中點,點 在線段 上,且 .PMQQC3 (1)證明: 平面 ;(2)若二面角 的大小為 ,求 的大小./ ?06BC? A B C D P Q M （第 20 題圖） 【答案】解:證明(Ⅰ)方法一:如圖 6,取 的中點 ,且 是 中點,所以FMAD .因為 是 中點,所以 ;又因為(Ⅰ) 且3AF?PBM/PB3QC? ,所以 ,所以面 面 ,且 面 ,所以D/QFQCP?B 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 面 ; /PQBDC 方法二:如圖 7 所示,取 中點 ,且 是 中點,所以 ;取 的三BDOPBM1/2PODC 等分點 ,使 ,且 ,所以 ,所以H3C?3AQ?/4HA ,且 ,所以 面 ; //POQ?H? (Ⅱ)如圖 8 所示,由已知得到面 面 ,過 作 于 ,所以B?CGB? ,過 作 于 ,連接 ,所以 就是 的CGBMD??CMD? 二面角;由已知得到 ,設 ,所以 813??D?? , cos,in2cos2cosin,2sinCGB? ????? 在 中, ,所以在RTB?siniBGC???? 中, ,所以在 中 HG 221sin33siH??RTCHG? 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 2cosintantan6033CGCHGH????? ; t(,9)6060BD????????? 32.． （2013 年上海市春季高考數(shù)學試卷(含答案)）如圖,在正三棱錐 中,1ABC? ,異面直線 與 所成角的大小為 ,求該三棱柱的體積.16A?1BCA6? B1 A1 C1 A C B 【答案】[解]因為 . 1A 所以 為異面直線 與 .所成的角,即 = . 1?B11BC?6? 在 Rt 中, , 1BC?113tan62???? 從而 , 234ABCS? 因此該三棱柱的體積為 . 1368ABCVS????? 33.． （2013 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學） （已校對純 WORD版含附 加題） ）本小題滿分 14 分. 如圖,在三棱錐 中,平面 平面 , , ,過 作ABS??SBCAABS? ,垂足為 ,點 分別是棱 的中點.AF?GE，， 求證:(1)平面 平面 ; (2) ./CABE 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 【答案】證明:(1)∵ , ∴F 分別是 SB 的中點 ABS?SF? ∵E.F 分別是 SA.SB 的中點 ∴EF∥AB 又∵EF 平面 ABC, AB 平面 ABC ∴EF∥平面 ABC ?? 同理:FG∥平面 ABC 又∵EF FG=F, EF.FG 平面 ABC∴平面 平面 ?/EGABC (2)∵平面 平面 ?SABC 平面 平面 =BC AF 平面 SAB ? AF⊥SB ∴AF⊥平面 SBC 又∵BC 平面 SBC ∴AF⊥BC ? 又∵ , AB AF=A, AB.AF 平面 SAB ∴BC⊥平面 SAB 又∵SA 平面BCA?? ? SAB∴BC⊥SA 34.． （2013 年高考上海卷（理） ）如圖,在長方體 ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,證明直 線 BC1平行于平面 DA1C,并求直線 BC1到平面 D1AC 的距離.D 1 C1B1A1DCBA 【答案】因為 ABCD-A1B1C1D1為長方體,故 , 11/,ABCD? 故 ABC1D1為平行四邊形,故 ,顯然 B 不在平面 D1AC 上,于是直線 BC1平行于1/ 平面 DA1C; 直線 BC1到平面 D1AC 的距離即為點 B 到平面 D1AC 的距離設為 h 考慮三棱錐 ABCD1的體積,以 ABC 為底面,可得 (2)33V??? 而 中, ,故 1AC?152A?1ADCS? 所以, ,即直線 BC1到平面 D1AC 的距離為 . 323Vh?? 35.． （2013 年高考湖北卷（理） ）如圖, 是圓 的直徑,點 是圓 上異于 的點,直BOAB 線 平面 , , 分別是 , 的中點.PC?ABEFPA (I)記平面 與平面 的交線為 ,試判斷直線 與平面 的位置關系,并加CllPC 以證明; 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ (II)設(I)中的直線 與圓 的另一個交點為 ,且點 滿足 .記直線lODQ12CP? ?? 與平面 所成的角為 ,異面直線 與 所成的角為 ,二面角PQABC?PEF? 的大小為 ,求證: .El??sinsi??? 第 19 題圖 【答案】解:(I) , , EFAC?ABC?平 面 EFABC平 面 B?A平 面 又 ?平 面 EFl PAC平 面 (II)連接 DF,用幾何方法很快就可以得到求證.(這一題用幾何方法較快,向量的方法很 麻煩,特別是用向量不能方便的表示角的正弦.個人認為此題與新課程中對立體幾何的 處理方向有很大的偏差.) 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 36.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純 WORD版） ）如圖 1,在等 腰直角三角形 中, , , 分別是 上的點,ABC90???6BCDEACB , 為 的中點.將 沿 折起,得到如圖 2 所示的四棱錐2DE?OA? ,其中 .??3? (Ⅰ) 證明: 平面 ; (Ⅱ) 求二面角 的平面角的余弦值.?E?? .C O B D E A C D O B E ?A 圖 1 圖 2 【答案】(Ⅰ) 在圖 1 中,易得 3,2,OA?? 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ C D O x E ?A 向量法圖 y z B C D O B E ?A H 連結 ,在 中,由余弦定理可得 EC? 2cos45OOD?????? 由翻折不變性可知 , 2A?? 所以 ,所以 , 2? ?? 理可證 , 又 ,所以 平面 . E??AO?BCDE (Ⅱ) 傳統(tǒng)法:過 作 交 的延長線于 ,連結 , OHCDH? 因為 平面 ,所以 , A?B? 所以 為二面角 的平面角. ?A?? 結合圖 1 可知, 為 中點,故 ,從而 32?230AO????? 所以 ,所以二面角 的平面角的余弦值為 . 15cosOHA??? B??15 向量法:以 點為原點,建立空間直角坐標系 如圖所示, Oxyz 則 , , ??03???0C???12,D 所以 , A???3A???? 設 為平面 的法向量,則 ??,nxyz? ,即 ,解得 ,令 ,得 0CDA ?????????302zy???????3yxz?????1???,3n?? 由(Ⅰ) 知, 為平面 的一個法向量, ??,O??CDB 所以 ,即二面角 的平面角的余弦315cos,nA?????ACDB?? 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 值為 . 15 37.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學（理）試題（含答案） ）如圖, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, 側棱 A1A⊥底面 ABCD, AB//DC, AB⊥ AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 為棱 AA1的中點. (Ⅰ) 證明 B1C1⊥ CE; (Ⅱ) 求二面角 B1-CE-C1的正弦值. (Ⅲ) 設點 M 在線段 C1E 上, 且直線 AM 與平面 ADD1A1所成角的正弦值為 , 求線段26 AM 的長. 【答案】 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 38.． （2013 年高考新課標 1（理） ）如圖,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°. (Ⅰ)證明 AB⊥A 1C; 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直線 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)取 AB 中點 E,連結 CE, 1AB, E, ∵AB= 1A, 1B?= 06,∴ 1A?是正三角形, ∴ E⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵ 1CEA?=E,∴AB⊥面 1CEA, ∴AB⊥ 1AC; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, 1EA⊥AB, 又∵面 ABC⊥面 B,面 ABC∩面 1B=AB,∴EC⊥面 1B,∴EC⊥ 1EA, ∴EA,EC, 1兩兩相互垂直,以 E 為坐標原點, A ?? 的方向為 x軸正方向,| ?? |為單位 長度,建立如圖所示空間直角坐標系 Oxyz?, 有題設知 A(1,0,0), 1A(0, 3,0),C(0,0, 3),B(-1,0,0),則 BC ?? =(1,0, 3), 1B ?? =1A?? =(-1,0, ), C ?? =(0,- , ), 設 n=(,)xyz是平面 1B的法向量, 則 10 ???????? ,即 30xzy ?????? ,可取 n=( 3,1,-1), ∴ cos,AC ??n = 1|? ??|5 , 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ ∴直線 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值為 105 39.． （2013 年高考陜西卷（理） ）如圖, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形, O 為 底面中心, A1O⊥平面 ABCD, . 12AB? (Ⅰ) 證明: A1C⊥平面 BB1D1D; (Ⅱ) 求平面 OCB1與平面 BB1D1D 的夾角 的大小. ?OD1B1C1DACBA1 【答案】解:(Ⅰ) ;又因為,在正BDOACBDA????11 ,,面且面? 方形 AB CD 中, . CCDC??? 11111, ， 故面且面所 以； 且 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . .11??OART中 ，在 . EEEB 11 ?為 正 方 形 ， 所 以， 則 四 邊 形的 中 點 為設 ， 所 以 由 以 上 三 點 得且，面面又 BDOD??1111 ., .(證畢) CA1面? (Ⅱ) 建立直角坐標系統(tǒng),使用向量解題. 以 O 為原點,以 OC 為 X 軸正方向,以 OB 為 Y 軸正方向.則 . )1,0()1,(0()(01 ???CABAB，，，，）（ 由(Ⅰ)知, 平面 BB1D1D 的一個法向量 .0,1),(）（?OCBn 設平面 OCB1的法向量為 ，則 0,,22???OCnn).1-,(向為解 得 其 中 一 個 . 2|||,cos| 211 ??????nn? OD1B1C1DACBA1 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 所以,平面 OCB1與平面 BB1D1D 的夾角 為 ?3? 40.． （2013 年高考江西卷（理） ）如圖,四棱錐 中,PABCD? ,,ABCE?平 面 為 的 中 點 G為 的 中 點 ， ,連接 并延長交 于 .312D????， EAF (1) 求證: ;F平 面 (2) 求平面 與平面 的夾角的余弦值.BCPD 【答案】解:(1)在 中,因為 是 的中點,所以 , ABD?EB1EABD?? 故 , ,23?????? 因為 ,所以 , C?C?? 從而有 , FE 故 ,又因為 所以 ∥ . ,A?,PGFPA 又 平面 , PBD 所以 故 平面 . G (3) 以點 為坐標原點建立如圖所示的坐標系 ,則 , 3(0,)(1,0)(,),(03)2ABC 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ (4) ,故 3(0)2P1333(0),(,)(,0)222BCPCD???????????， ， ， 設平面 的法向量 ,則 , 11(,)nyz ??11032yz??????? 解得 ,即 . 132yz??????1(,)3n?? 設平面 的法向量 ,則 ,解得 , DCP22(1,)nyz? ??230yz???????23yz????? 即 .從而平面 與平面 的夾角的余弦值為2(1,3)n? ??BCPD . 12 42cos689?????? 41.． （2013 年高考四川卷（理） ）如圖,在三棱柱 中,側棱 底面 ,1ABC?1A?BC , , 分別是線段 的中點, 是線段12ABC?20BA???1D1P 的中點.D (Ⅰ)在平面 內,試作出過點 與平面 平行的直線 ,說明理由,并證明直線P1l 平面 ;l?1 (Ⅱ)設(Ⅰ)中的直線 交 于點 ,交 于點 ,求二面角 的余弦lABMCN1AMN? 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 值. D 1DC BA1 B1C1AP 【答案】解: 如圖,在平面 內,過點 做直線 // ,因為 在平面 外, ???ACPlBCl1ABC 在平面 內,由直線與平面平行的判定定理可知, //平面 . BC1Al1ABC 由已知, , 是 的中點,所以, ,則直線 . ?DBCBD? 因為 平面 ,所以 直線 .又因為 在平面 內,且1?1Al1A1 與 相交,所以直線平面 解法一: ??? 連接 ,過 作 于 ,過 作 于 ,連接 . 1AP1EAP?E1FAM?F 由 知, 平面 ,所以平面 平面 . ???MNN 所以 平面 ,則 . 11 所以 平面 ,則 . 1A?EFA? 故 為二面角 的平面角(設為 ). ?1N?? 設 ,則由 , ,有 , . 1?12BC?20B???60BAD??2,1A? 又 為 的中點,所以 為 的中點,且 , PADMA1,PM 在 中, ;在 中, . 1Rt152?1Rt12A? 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 從而, , , 15APE??12AMF?? 所以 . 2sinF? 所以 . 2215co1si????????? 故二面角 的余弦值為 1AMN 解法二: 設 .如圖,過 作 平行于 ,以 為坐標原點,分別以 , 的1?1E1BC1A1AED??1?? 方向為 軸, 軸, 軸的正方向,建立空間直角坐標系 (點 與點 重合). xyz Oxyz 則 , . ??10A,1 因為 為 的中點,所以 分別為 的中點, PD,MNABC 故 , 33,1122M????????????? 所以 , , . 1A???????10A????3,0??? 設平面 的一個法向量為 ,則 111,nxyz 即 故有 1,nMA ???????10,n???????? 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ ???1 31,,0,2xyz???????????? 從而 11 30,2.xyz???? 取 ,則 ,所以 . 11???1,30n? 設平面 的一個法向量為 ,則 AMN22xyz? 即 故有 21,n ???????210,n?????????231,,0,2,,,xyz???????????? 從而 22 30,.xyz????? 取 ,則 ,所以 . 2y?21z???2,1n? 設二面角 的平面角為 ,又 為銳角, AMN? 則 . ??12,30,15cos5n????? 故二面角 的余弦值為 1AN? 42.． （2013 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學） （已校對純 WORD版含附 加題） ）本小題滿分 10 分. 如圖,在直三棱柱 中, , , ,點 是1ABC?ACB?2?41AD 的中點BC (1)求異面直線 與 所成角的余弦值1D (2)求平面 與 所成二面角的正弦值.AB 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 【答案】本題主要考察異面直線.二面角.空間向量等基礎知識以及基本運算,考察運用 空間向量解決問題的能力. 解:(1)以 為為單位正交基底建立空間直角坐標系 , ??1,ACB xyzA? 則 , , , , )0,(A)2(B)0(C)4(1A)01(D)4,2(C ∴ , 41??,1?? ∴ 10382,cos1????BAD ∴異面直線 與 所成角的余弦值為 1C (2) 是平面 的的一個法向量 )0,2(?A1 設平面 的法向量為 ,∵ , 1D),(zyxm?)01(?AD)4,2(1C 由 1,Cm? ∴ 取 ,得 ,∴平面 的法向量為 ?????042zyxz2,?xy1)1,2(??m 設平面 與 所成二面角為 1AD1B? 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ ∴ , 得 324,cos ????????mAC? 35sin? ∴平面 與 所成二面角的正弦值為 1ADC1B5 43.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學（理）WORD 版含答案（已校對） ）如圖,四 棱錐 中, 與 都是等邊三P?902,ADBCAP?????， AD 角形. (I)證明: (II)求二面角 的大小.;BC?? 【答案】 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 44.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學（理）試題（含答案） ）如圖所示,在三棱 錐 PABQ?中, ?平面 ABQ, PB?,DCEF 分別是, 的中點, 2, 與 交于點 G,P與 Q交于點 H, 連接 GH. (Ⅰ)求證: A; (Ⅱ)求二面角 HE?的余弦值. 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 【答案】解:(Ⅰ)證明:因為 ,DCEF 分別是 ,,AQBP的中點, 所以 EF∥ AB, ∥ ,所以 ∥ , 又 ?平面 P, 平面 P, 所以 ∥平面 , 又 平面 Q,平面 ?平面 GH?, 所以 ∥ GH, 又 EF∥ AB, 所以 ∥ . (Ⅱ)解法一:在△ 中, 2ABD?, Q, 所以 =90Q? ? ,即 ?,因為 P平面 A,所以 BP?, 又 BP??,所以 平面 ,由(Ⅰ)知 ∥ GH, 所以 GH平面 ,又 FH?平面 BQ,所以 F,同理可得 C, 所以 FC為二面角 DGE?的平面角,設 2ABP?,連接 , 在 tR△ B中,由勾股定理得, 2C, 在 △ P中,由勾股定理得, 5P, 又 H為△ Q的重心,所以 13H? 同理 53F? , 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 在△ FHC中,由余弦定理得 5249cosFHC????? , 即二面角 DGE?的余弦值為 45 . 解法二:在△ ABQ中, 2D?, AQ, 所以 90?,又 P?平面 B,所以 BP兩兩垂直, 以 為坐標原點,分別以 ,所在直線為 x軸, y軸, z軸,建立如圖所示的空 間直角坐標系,設 2AQ?,則 (10)E, (1)F, (02)Q, (1,0)D,(01)C(,2)P ,,所以 (? ?? , ?? ?? , P?? ?? ,???? , 設平面 EFQ的一個法向量為 1(,)mxyz? ?? , 由 0m? ?? , ? ?? , 得 112xyz?????? 取 1,得 (0,) ?? . 設平面 PDC的一個法向量為 2(,)nxyz? ? 由 n?? ?? , ? ?? , 得 220xyz????? 取 21z?,得 (0,21)n ? .所以 4cos,5mn???? 因為二面角 DGHE?為鈍角,所以二面角 DGHE?的余弦值為 45? . 45.． （2013 年高考湖南卷（理） ）如圖 5,在直棱柱 ,1/ABCADBC中 ， , .90,,1BACB????? 13? 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ (I)證明: ; (II)求直線 所成角的正弦值.1ACBD?11BCAD與 平 面 【答案】解: (Ⅰ) ACB?????? 111 ,面且面是 直 棱 柱? . DBABBA11,, ???，面。面且又 ? (證畢) (Ⅱ) 。的 夾 角與 平 面的 夾 角 即 直 線與 平 面直 線 ?1111,/ ACDCDC 軸 正 半 軸 。為軸 正 半 軸 ，為點 ，量 解 題 。 設 原 點 在建 立 直 角 坐 標 系 ， 用 向 XYAB ?? BDACyDyCyBDA ????),03(),01()0,1(),0(),3(),03(,1 ， 則，設 ).,(),3(.3, 12 ????????? AyBC ），，（），，（的 一 個 法 向 量平 面則的 法 向 量 為設 平 面 30,3-.0, 111 ??????? AnADnCA 7213|,cos|i3,3-1 ?????? DCD?），，（），，（的 一 個 法 向 量平 面 . 72111夾 角 的 正 弦 值 為與 平 面所 以 AB 46.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學（理）試題（純 WORD版） ）如圖,在四棱 柱 中,側棱 , , , ,1CD?1ABCD?底 面 /1A?3Bk 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ , , .4ADk?5BC6Dk?(0)? (1)求證: 1;A?平 面 (2)若直線 與平面 所成角的正弦值為 ,求 的值;1 67k (3)現(xiàn)將與四棱柱 形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼接成一個新1BCD? 的棱柱,規(guī)定:若拼接成的新的四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案.問: 共有幾種不同的方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為 ,寫出()fk 的表達式(直接寫出答案,不必要說明理由)fk 【答案】解:(Ⅰ)取 中點 ,連接 CDEB , /ABEQ3k? 四邊形 為平行四邊形 ? 且 4A 在 中, V,,5k? 22BEC?? ,即 ,又 ,所以 90??BED?/AQCD? 平面 , 平面 1AQ? ,又 , ?1A?I 平面 CD? (Ⅱ)以 為原點, 的方向為 軸的正方向建立如圖所示的空間直角1,CDurr,xyz 坐標系 , , , (40)Ak(60)k(43)Bk1(4,0)A 所以 , , ,?? r1A?r,?ur 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 設平面 的法向量 ,則由 1ABC()nxyz?10ACnB ??????ur 得 取 ,得 4603kxyz?????2(3,6)k? 設 與平面 所成角為 ,則 1A1BC?11,sin|co,||An????urr ,解得 .故所求 的值為 1 2673k??kk (Ⅲ)共有 種不同的方案 4 256,018()3,kkf????????? 47.． （2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標Ⅱ卷數(shù)學（理） （純 WORD版含答案） ）如圖,直 棱柱 1ABC?中, DE分別是 1,AB的中點, 12ACBA?. (Ⅰ)證明: 1/平面 1; (Ⅱ)求二面角 1DE?的正弦值.ABCD11BE 【答案】 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 48.． （2013 年高考北京卷（理） ）如圖,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, AA1C1C 是邊長為 4 的正方形,平 面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求證: AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A1-BC1-B1的余弦值; (Ⅲ)證明:在線段 BC1存在點 D,使得 AD⊥ A1B,并求 的值.1DC 【答案】解: (I)因為 AA1C1C 為正方形,所以 AA1 ⊥AC. 因為平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且 AA1垂直于這兩個平面的交線 AC,所以 AA1⊥平面 ABC. (II)由(I)知 AA1 ⊥AC,AA 1 ⊥AB. 由題知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 AB⊥AC. 如圖,以 A 為原點建立空間直角坐標系 A- ,則 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), xyz 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！ 設平面 A1BC1的法向量為 ,則 ,即 , )xyzn=(10ABC????????n340yzx????? 令 ,則 , ,所以 . 3z?0x4y?0,43 同理可得,平面 BB1C1的法向量為 ,所以 . 由()m=16cos25??nm,|| 題知二面角 A1-BC1-B1為銳角,所以二面角 A1-BC1-B1的余弦值為 . (III)設 D 是直線 BC1 上一點,且 . 所以 .解(,)xyzBDC????(,3)(4,)xyz??? 得 , , . 4??3?4?? 所以 . (,,)A?? 由 ,即 .解得 . 1·0DB9250925 因為 ,所以在線段 BC1上存在點 D, []25? 使得 AD⊥A 1B. 此時, . 19BC?? 高考資源網(wǎng)（ ） 您身邊的高考專家 高考資源網(wǎng)版權所有，侵權必究！