年高考真題匯編——理科數(shù)學（解析版）10：圓錐曲線

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2012高考真題分類匯編：圓錐曲線 一、選擇題 1.【2012高考真題浙江理8】如圖，F(xiàn)1,F2分別是雙曲線C：（a,b＞0）的左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交與點M，若|MF2|=|F1F2|,則C的離心率是 A. B。 C. D. 【答案】B 【解析】由題意知直線的方程為：，聯(lián)立方程組得點Q，聯(lián)立方程組得點P，所以PQ的中點坐標為，所以PQ的垂直平分線方程為：，令，得，所以，所以，即，所以。故選B 2.【2012高考真題新課標理8】等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為（ ） 【答案】C 【解析】設等軸雙曲線方程為，拋物線的準線為，由,則,把坐標代入雙曲線方程得，所以雙曲線方程為，即，所以，所以實軸長，選C. 3.【2012高考真題新課標理4】設是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ） 【答案】C 【解析】因為是底角為的等腰三角形，則有,，因為，所以,，所以，即，所以，即，所以橢圓的離心率為，選C. 4.【2012高考真題四川理8】已知拋物線關于軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點。若點到該拋物線焦點的距離為，則（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】設拋物線方程為，則點焦點，點到該拋物線焦點的距離為， ， 解得，所以. 5.【2012高考真題山東理10】已知橢圓的離心學率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】因為橢圓的離心率為，所以，，，所以，即，雙曲線的漸近線為，代入橢圓得，即，所以，，，則第一象限的交點坐標為，所以四邊形的面積為，所以，所以橢圓方程為，選D. 6.【2012高考真題湖南理5】已知雙曲線C ：-=1的焦距為10 ，點P （2,1）在C 的漸近線上，則C的方程為 A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 【答案】A 【解析】設雙曲線C ：-=1的半焦距為，則. 又C 的漸近線為，點P （2,1）在C 的漸近線上，，即. 又，，C的方程為-=1. 【點評】本題考查雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程等基礎知識，考查了數(shù)形結合的思想和基本運算能力，是近年來?？碱}型. 7.【2012高考真題福建理8】已知雙曲線的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于 A. B. C.3 D.5 【答案】Ａ． 【解析】由拋物線方程易知其焦點坐標為，又根據(jù)雙曲線的幾何性質可知，所以，從而可得漸進線方程為，即，所以，故選Ａ． 8.【2012高考真題安徽理9】過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，點是原點，若，則的面積為（ ） 【答案】C 【命題立意】本題考查等直線與拋物線相交問題的運算。 【解析】設及；則點到準線的距離為， 得： 又， 的面積為。 9.【2012高考真題全國卷理3】 橢圓的中心在原點，焦距為4 一條準線為x=-4 ，則該橢圓的方程為 A +=1 B +=1C +=1 D +=1 【答案】C 【解析】橢圓的焦距為4，所以因為準線為，所以橢圓的焦點在軸上，且，所以，，所以橢圓的方程為，選C. 10.【2012高考真題全國卷理8】已知F1、F2為雙曲線C：x2-y2=2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|=|2PF2|，則cos∠F1PF2= (A) （B） (C) (D) 【答案】C 【解析】雙曲線的方程為，所以，因為|PF1|=|2PF2|，所以點P在雙曲線的右支上，則有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根據(jù)余弦定理得,選C. 11.【2012高考真題北京理12】在直角坐標系xOy中，直線l過拋物線=4x的焦點F.且與該撇物線相交于A、B兩點.其中點A在x軸上方。若直線l的傾斜角為60o.則△OAF的面積為 【答案】 【解析】由可求得焦點坐標F(1,0)，因為傾斜角為，所以直線的斜率為，利用點斜式，直線方程為，將直線和曲線聯(lián)立，因此． 二、填空題 12.【2012高考真題湖北理14】如圖，雙曲線的兩頂點為，，虛軸兩端點為，，兩焦點為，. 若以為直徑的圓內切于菱形，切點分別為. 則 （Ⅰ）雙曲線的離心率 ； （Ⅱ）菱形的面積與矩形的面積的比值 . 【答案】 【解析】（Ⅰ）由于以為直徑的圓內切于菱形，因此點到直線的距離為，又由于虛軸兩端點為，，因此的長為，那么在中，由三角形的面積公式知，，又由雙曲線中存在關系聯(lián)立可得出，根據(jù)解出 （Ⅱ）設,很顯然知道,因此.在中求得故； 菱形的面積，再根據(jù)第一問中求得的值可以解出. 13.【2012高考真題四川理15】橢圓的左焦點為，直線與橢圓相交于點、，當?shù)闹荛L最大時，的面積是____________。 【答案】3 【命題立意】本題主要考查橢圓的定義和簡單幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系、，考查推理論證能力、基本運算能力，以及數(shù)形結合思想，難度適中. 【解析】當直線過右焦點時的周長最大，； 將帶入解得；所以. 14.【2012高考真題陜西理13】右圖是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米. 【答案】. 【解析】設水面與橋的一個交點為A，如圖建立直角坐標系則，A的坐標為（2，-2）.設拋物線方程為，帶入點A得，設水位下降1米后水面與橋的交點坐標為，則，所以水面寬度為. 15.【2012高考真題重慶理14】過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若則= . 【答案】 【解析】拋物線的焦點坐標為，準線方程為，設A,B的坐標分別為的，則，設，則，所以有，解得或，所以. 16.【2012高考真題遼寧理15】已知P，Q為拋物線上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，2，過P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于A，則點A的縱坐標為__________。 【答案】4 【解析】因為點P，Q的橫坐標分別為4，2，代人拋物線方程得P，Q的縱坐標分別為8,2. 由所以過點P，Q的拋物線的切線的斜率分別為4，2，所以過點P，Q的拋物線的切線方程分別為聯(lián)立方程組解得故點A的縱坐標為4 【點評】本題主要考查利用導數(shù)求切線方程的方法，直線的方程、兩條直線的交點的求法，屬于中檔題。 曲線在切點處的導數(shù)即為切線的斜率，從而把點的坐標與直線的斜率聯(lián)系到一起，這是寫出切線方程的關鍵。 17.【2012高考真題江西理13】橢圓 的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2。若，，成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_______________. 【答案】 【命題立意】本題考查橢圓的幾何性質，等比數(shù)列的性質和運算以及橢圓的離心率。 【解析】橢圓的頂點,焦點坐標為，所以，,又因為，，成等比數(shù)列，所以有，即，所以，離心率為. 18.【2012高考江蘇8】（5分）在平面直角坐標系中，若雙曲線的離心率為，則的值為 ▲ ． 【答案】2。 【考點】雙曲線的性質。 【解析】由得。 ∴，即，解得。 三、解答題 19.【2012高考江蘇19】（16分）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，．已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率． （1）求橢圓的方程； （2）設是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點P． （i）若，求直線的斜率； （ii）求證：是定值． 【答案】解：（1）由題設知，，由點在橢圓上，得 ，∴。 由點在橢圓上，得 ∴橢圓的方程為。 （2）由（1）得，，又∵∥， ∴設、的方程分別為，。 ∴。 ∴。① 同理，。② （i）由①②得，。解得=2。 ∵注意到，∴。 ∴直線的斜率為。 （ii）證明：∵∥，∴，即。 ∴。 由點在橢圓上知，，∴。 同理。。 ∴ 由①②得，，， ∴。 ∴是定值。 20.【2012高考真題浙江理21】(本小題滿分15分)如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分． (Ⅰ)求橢圓C的方程； (Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程． 【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力。 【答案】(Ⅰ)由題：； (1) 左焦點(﹣c，0)到點P(2，1)的距離為：． (2) 由(1) (2)可解得：． ∴所求橢圓C的方程為：． (Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0． ∵A，B在橢圓上， ∴． 設直線AB的方程為l：y＝﹣(m≠0)， 代入橢圓：． 顯然． ∴﹣＜m＜且m≠0． 由上又有：＝m，＝． ∴|AB|＝||＝＝． ∵點P(2，1)到直線l的距離表示為：． ∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|， 當|m＋2|＝，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)時，(SABP)max＝． 此時直線l的方程y＝﹣． 21.【2012高考真題遼寧理20】(本小題滿分12分) 如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓，。點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點。 (Ⅰ)求直線與直線交點M的軌跡方程; (Ⅱ)設動圓與相交于四點，其中， 。若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值。 【答案】 【點評】本題主要考查圓的性質、橢圓的定義、標準方程及其幾何性質、直線方程求解、直線與橢圓的關系和交軌法在求解軌跡方程組的運用。本題考查綜合性較強，運算量較大。在求解點的軌跡方程時，要注意首先寫出直線和直線的方程，然后求解。屬于中檔題，難度適中。 22.【2012高考真題湖北理】（本小題滿分13分） 設是單位圓上的任意一點，是過點與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點，點在直線上，且滿足. 當點在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線． （Ⅰ）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標； （Ⅱ）過原點且斜率為的直線交曲線于，兩點，其中在第一象限，它在軸上的射影為點，直線交曲線于另一點. 是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由. 【答案】（Ⅰ）如圖1，設，，則由， 可得，，所以，. ① 因為點在單位圓上運動，所以. ② 將①式代入②式即得所求曲線的方程為. 因為，所以 當時，曲線是焦點在軸上的橢圓， 兩焦點坐標分別為，； 當時，曲線是焦點在軸上的橢圓， 兩焦點坐標分別為，. （Ⅱ）解法1：如圖2、3，，設，，則，， 直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得 . 依題意可知此方程的兩根為，，于是由韋達定理可得 ，即. 因為點H在直線QN上，所以. 于是，. 而等價于， 即，又，得， 故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意的，都有. 圖2 圖3 圖1 O D x y A M 第21題解答圖 解法2：如圖2、3，，設，，則，， 因為，兩點在橢圓上，所以 兩式相減可得 . ③ 依題意，由點在第一象限可知，點也在第一象限，且，不重合， 故. 于是由③式可得 . ④ 又，，三點共線，所以，即. 于是由④式可得. 而等價于，即，又，得， 故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意的，都有. 23.【2012高考真題北京理19】（本小題共14分） 【答案】解：（1）原曲線方程可化簡得： 由題意可得：，解得： （2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：， ，解得： 由韋達定理得：①，，② 設，， 方程為：，則， ，， 欲證三點共線，只需證，共線 即成立，化簡得： 將①②代入易知等式成立，則三點共線得證。 24.【2012高考真題廣東理20】（本小題滿分14分） 在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：的離心率e=，且橢圓C上的點到Q（0，2）的距離的最大值為3. （1）求橢圓C的方程； （2）在橢圓C上，是否存在點M（m,n）使得直線：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及相對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由． 【答案】本題是一道綜合性的題目，考查直線、圓與圓錐曲線的問題，涉及到最值與探索性問題，意在考查學生的綜合分析問題與運算求解的能力。 25.【2012高考真題重慶理20】（本小題滿分12分（Ⅰ）小問5分（Ⅱ）小問7分） 如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為，線段 的中點分別為，且△ 是面積為4的直角三角形. （Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程； （Ⅱ）過 做直線交橢圓于P，Q兩點，使，求直線的方程 【答案】 【命題立意】本題考查橢圓的標準方程，平面向量數(shù)量積的基本運算，直線的一般式方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題. 26.【2012高考真題四川理21】(本小題滿分12分) 如圖，動點到兩定點、構成，且，設動點的軌跡為。 （Ⅰ）求軌跡的方程； （Ⅱ）設直線與軸交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍。 【答案】本題主要考查軌跡方程的求法，圓錐曲線的定義等基礎知識，考查基本運算能力，邏輯推理能力，考查方程與函數(shù)、數(shù)形結合、分類討論、化歸與轉化等數(shù)學思想 27.【2012高考真題新課標理20】（本小題滿分12分） 設拋物線的焦點為，準線為，，已知以為圓心， 為半徑的圓交于兩點； （1）若，的面積為；求的值及圓的方程； （2）若三點在同一直線上，直線與平行，且與只有一個公共點， 求坐標原點到距離的比值. 【答案】（1）由對稱性知：是等腰直角，斜邊 點到準線的距離 圓的方程為 （2）由對稱性設，則 點關于點對稱得： 得：，直線 切點 直線 坐標原點到距離的比值為. 28.【2012高考真題福建理19】如圖，橢圓E：的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率.過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF2的周長為8. （Ⅰ）求橢圓E的方程. （Ⅱ）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相較于點Q.試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由. 29.【2012高考真題上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐標系中，已知雙曲線：． （1）過的左頂點引的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及軸圍成的三角形的面積； （2）設斜率為1的直線交于、兩點，若與圓相切，求證：； （3）設橢圓：，若、分別是、上的動點，且，求證：到直線的距離是定值. 【答案】 過點A與漸近線平行的直線方程為 ，,則到直線的距離為. 設到直線的距離為. 【點評】本題主要考查雙曲線的概念、標準方程、幾何性質及其直線與雙曲線的關系、橢圓的標準方程和圓的有關性質.特別要注意直線與雙曲線的關系問題，在雙曲線當中，最特殊的為等軸雙曲線，它的離心率為，它的漸近線為，并且相互垂直，這些性質的運用可以大大節(jié)省解題時間，本題屬于中檔題 ． 30.【2012高考真題陜西理19】本小題滿分12分） 已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率。 （1）求橢圓的方程； （2）設O為坐標原點，點A，B分別在橢圓和上，，求直線的方程。 【答案】 31.【2012高考真題山東理21】（本小題滿分13分） 在平面直角坐標系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準線的距離為. （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）是否存在點，使得直線與拋物線相切于點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由； （Ⅲ）若點的橫坐標為，直線與拋物線有兩個不同的交點，與圓有兩個不同的交點，求當時，的最小值. 【答案】解析：（Ⅰ）F拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點F，設M，，由題意可知，則點Q到拋物線C的準線的距離為，解得，于是拋物線C的方程為. （Ⅱ）假設存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M， 而，，， ，， 由可得，，則， 即，解得，點M的坐標為 （Ⅲ）若點M的橫坐標為，則點M，。 由可得，設， 圓， ， 于是，令 ， 設，， 當時，， 即當時. 故當時，. 32.【2012高考真題江西理21】 （本題滿分13分） 已知三點O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲線C上任意一點M（x，y）滿足. （1） 求曲線C的方程； （2） 動點Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲線C上，曲線C在點Q處的切線為l向：是否存在定點P（0，t）（t＜0），使得l與PA，PB都不相交，交點分別為D,E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值。若不存在，說明理由。 【答案】 【點評】本題以平面向量為載體，考查拋物線的方程，直線與拋物線的位置關系以及分類討論的數(shù)學思想. 高考中，解析幾何解答題一般有三大方向的考查.一、考查橢圓的標準方程，離心率等基本性質，直線與橢圓的位置關系引申出的相關弦長問題，定點，定值，探討性問題等；二、考查拋物線的標準方程，準線等基本性質，直線與拋物線的位置關系引申出的相關弦長問題，中點坐標公式，定點，定值，探討性問題等；三、橢圓，雙曲線，拋物線綜合起來考查.一般橢圓與拋物線結合考查的可能性較大，因為它們都是考綱要求理解的內容. 33.【2012高考真題天津理19】（本小題滿分14分） 設橢圓的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點. （Ⅰ）若直線AP與BP的斜率之積為，求橢圓的離心率； （Ⅱ）若|AP|=|OA|，證明直線OP的斜率k滿足 【答案】