高中數(shù)學(xué)必修3同步練習(xí)與單元檢測(cè)第一章 算法初步 §1.3
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§1.3 算法案例 課時(shí)目標(biāo) 通過(guò)三種算法案例:輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù),秦九韶算法,進(jìn)位制,進(jìn)一步體會(huì)算法的思想,提高算法設(shè)計(jì)水平,體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界的貢獻(xiàn). 1.輾轉(zhuǎn)相除法 (1)輾轉(zhuǎn)相除法,又叫歐幾里得算法,是一種求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的古老而有效的算法. (2)輾轉(zhuǎn)相除法的算法步驟 第一步,給定兩個(gè)正整數(shù)m,n. 第二步,計(jì)算m除以n所得的余數(shù)r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若r=0,則m、n的最大公約數(shù)等于m;否則,返回第二步. 2.更相減損術(shù) 第一步,任意給定兩個(gè)正整數(shù),判斷它們是否都是偶數(shù).若是,用2約簡(jiǎn);若不是,執(zhí)行第二步. 第二步,以較大的數(shù)減去較小的數(shù),接著把所得的差與較小的數(shù)比較,并以大數(shù)減小數(shù),繼續(xù)這個(gè)操作,直到所得的數(shù)相等為止,則這個(gè)數(shù)(等數(shù))或這個(gè)數(shù)與約簡(jiǎn)的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù). 3.秦九韶算法 把一個(gè)n次多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改寫(xiě)成如下形式: (…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0, 求多項(xiàng)式的值時(shí),首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)一次多項(xiàng)式的值,即v1=anx+an-1,然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值,即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, … vn=vn-1x+a0 這樣,求n次多項(xiàng)式f(x)的值就轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值. 4.進(jìn)位制 進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng),“滿k進(jìn)一”就是k進(jìn)制,k進(jìn)制的基數(shù)是k. 把十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制數(shù)時(shí),通常用除k取余法. 一、選擇題 1.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為( ) (1)輾轉(zhuǎn)相除法也叫歐幾里得算法; (2)輾轉(zhuǎn)相除法的基本步驟是用較大的數(shù)除以較小的數(shù); (3)求最大公約數(shù)的方法,除輾轉(zhuǎn)相除法之外,沒(méi)有其他方法; (4)編寫(xiě)輾轉(zhuǎn)相除法的程序時(shí),要用到循環(huán)語(yǔ)句. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 (1)、(2)、(4)正確,(3)錯(cuò)誤. 2.用更相減損術(shù)求294和84的最大公約數(shù)時(shí),需做減法的次數(shù)是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 C 解析 由于294和84都是偶數(shù), 所以用2約簡(jiǎn): 294÷2=147, 84÷2=42, 又由于147不是偶數(shù), 所以147-42=105, 105-42=63, 63-42=21, 42-21=21, 故需做4次減法,故選C. 3.1 037和425的最大公約數(shù)是( ) A.51 B.17 C.9 D.3 答案 B 解析 ∵1 037=425×2+187, 425=187×2+51, 187=51×3+34, 51=34×1+17, 34=17×2, 即1 037和425的最大公約數(shù)是17. 4.用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f(x)=6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x+7在x=0.4時(shí)的值時(shí),需做加法和乘法的次數(shù)的和為( ) A.10 B.9 C.12 D.8 答案 C 解析 f(x)=(((((6x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x+7 ∴加法6次,乘法6次, ∴6+6=12(次),故選C. 5.已知f(x)=x5+2x3+3x2+x+1,應(yīng)用秦九韶算法計(jì)算x=3時(shí)的值時(shí),v3的值為( ) A.27 B.11 C.109 D.36 答案 D 解析 將函數(shù)式化成如下形式. f(x)=(((x+0)x+2)x+3)x+1)x+1 由內(nèi)向外依次計(jì)算: v0=1, v1=1×3+0=3, v2=3×3+2=11, v3=11×3+3=36, v4=36×3+1=109, v5=109×3+1=328. 6.下列有可能是4進(jìn)制數(shù)的是( ) A.5 123 B.6 542 C.3 103 D.4 312 答案 C 解析 4進(jìn)制數(shù)每位上的數(shù)字一定小于4,故選C. 二、填空題 7.輾轉(zhuǎn)相除法程序中有一空請(qǐng)?zhí)钌希? 答案 a MOD b 解析 MOD用來(lái)表示a除以b的余數(shù). 8.更相減損術(shù)程序中有兩空請(qǐng)?zhí)钌希? 答案 a=b b=r 9.已知三個(gè)數(shù)12(16),25(7),33(4),將它們按由小到大的順序排列為_(kāi)_______. 答案 33(4)<12(16)<25(7) 解析 將三個(gè)數(shù)都化為十進(jìn)制數(shù). 12(16)=1×16+2=18, 25(7)=2×7+5=19, 33(4)=3×4+3=15, ∴33(4)<12(16)<25(7). 三、解答題 10.用兩種方法求210與98的最大公約數(shù). 解 用輾轉(zhuǎn)相除法: 210=98×2+14, 98=14×7. ∴210與98的最大公約數(shù)為14. 用更相減損術(shù): ∵210與98都是偶數(shù),用2約簡(jiǎn)得 105和49, 105-49=56,56-49=7, 49-7=42,42-7=35, 35-7=28,28-7=21, 21-7=14,14-7=7. ∴210與98的最大公約數(shù)為2×7=14. 11.用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f(x)=x6-12x5+60x4-160x3+240x2-192x+64當(dāng)x=2時(shí)的值. 解 將f(x)改寫(xiě)為 f(x)=(((((x-12)x+60)x-160)x+240)x-192)x+64 由內(nèi)向外依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x=2時(shí)的值 v0=1, v1=1×2-12=-10, v2=-10×2+60=40, v3=40×2-160=-80, v4=-80×2+240=80, v5=80×2-192=-32, v6=-32×2+64=0. ∴f(2)=0,即x=2時(shí),原多項(xiàng)式的值為0. 能力提升 12.把111化為五進(jìn)制數(shù). 解 ∴111化為五進(jìn)制數(shù)為421(5). 13.把10 231(5)化為四進(jìn)制數(shù). 解 先化成十進(jìn)制數(shù). 10 231(5)=1×54+0×53+2×52+3×51+1 =625+50+15+1 =691 再化為四進(jìn)制數(shù) ∴10 231(5)=22 303(4). 1.輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別和聯(lián)系 (1)都是求最大公約數(shù)的方法. (2)二者的實(shí)質(zhì)都是遞歸的過(guò)程. (3)二者都要用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn). 2.秦九韶算法的特點(diǎn) 秦九韶算法的特點(diǎn)在于把求一個(gè)n次多項(xiàng)式的值轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值,即把求f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值轉(zhuǎn)化為求遞推公式: 這樣可以最多計(jì)算n次乘法和n次加法即可得多項(xiàng)式的值,和直接代入多項(xiàng)式相比減少了乘法的運(yùn)算次數(shù),提高了運(yùn)算效率. 3.十進(jìn)制與其他進(jìn)制的轉(zhuǎn)化 (1)將k進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的方法:先把k進(jìn)制數(shù)寫(xiě)成各位上的數(shù)字與k的冪的乘積的形 式,再按十進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算. (2)將十進(jìn)制化成k進(jìn)制的方法:用除k取余法,用k連續(xù)去除十進(jìn)制數(shù)所得的商,直到商為零為止,然后將各步所得的余數(shù)倒序?qū)懗觯礊橄鄳?yīng)的k進(jìn)制數(shù).- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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