高考數(shù)學(xué)人教A版(理)一輪復(fù)習(xí):第九篇 第5講 雙曲線
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第5講 雙曲線 A級(jí) 基礎(chǔ)演練(時(shí)間:30分鐘 滿分:55分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F1(-,0),點(diǎn)P位于該雙曲線上,線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),則雙曲線的方程是 ( ). A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 解析 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),由PF1的中點(diǎn)為(0,2)知,PF2⊥x軸,P(,4),即=4,b2=4a,∴5-a2=4a,a=1,b=2,∴雙曲線方程為x2-=1. 答案 B 2.(2012·湖南)已知雙曲線C:-=1的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為 ( ). A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析 不妨設(shè)a>0,b>0,c=. 據(jù)題意,2c=10,∴c=5. ① 雙曲線的漸近線方程為y=±x,且P(2,1)在C的漸近線上,∴1=. ② 由①②解得b2=5,a2=20,故正確選項(xiàng)為A. 答案 A 3.已知雙曲線x2-=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則·的最小值為 ( ). A.-2 B.- C.1 D.0 解析 設(shè)點(diǎn)P(x,y),其中x≥1.依題意得A1(-1,0),F(xiàn)2(2,0),則有=x2-1,y2=3(x2-1),·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=42-,其中x≥1.因此,當(dāng)x=1時(shí),·取得最小值-2,選A. 答案 A 4.如圖,中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn),M,N是雙曲線的兩頂點(diǎn).若M,O,N將橢圓長(zhǎng)軸四等分,則雙曲線與橢圓的離心率的比值是 ( ). A.3 B.2 C. D. 解析 設(shè)雙曲線的方程為-=1,橢圓的方程為+=1,由于M,O,N將橢圓長(zhǎng)軸四等分,所以a2=2a1,又e1=,e2=,所以==2. 答案 B 二、填空題(每小題5分,共10分) 5.已知雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)與雙曲線C2:-=1有相同的漸近線,且C1的右焦點(diǎn)為F(,0),則a=________,b=________. 解析 與雙曲線-=1有共同漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為-=λ(λ>0),即-=1.由題意知c=,則4λ+16λ=5?λ=,則a2=1,b2=4.又a>0,b>0,故a=1,b=2. 答案 1 2 6.(2012·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線-=1的離心率為,則m的值為________. 解析 由題意得m>0,∴a=,b=. ∴c=,由e==,得=5, 解得m=2. 答案 2 三、解答題(共25分) 7.(12分)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,橢圓的長(zhǎng)半軸與雙曲線半實(shí)軸之差為4,離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線方程; (2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),求cos∠F1PF2的值. 解 (1)由已知:c=,設(shè)橢圓長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)分別為a,b,雙曲線半實(shí)、虛軸長(zhǎng)分別為m,n, 則 解得a=7,m=3.∴b=6,n=2. ∴橢圓方程為+=1,雙曲線方程為-=1. (2)不妨設(shè)F1,F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn),P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn),則|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6, 所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2, ∴cos∠F1PF2= ==. 8.(13分)(2012·合肥聯(lián)考)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn)(4,-). (1)求雙曲線方程; (2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0; (3)求△F1MF2的面積. (1)解 ∵e=,∴設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ. 又∵雙曲線過(guò)(4,-)點(diǎn),∴λ=16-10=6, ∴雙曲線方程為x2-y2=6. (2)證明 法一 由(1)知a=b=,c=2, ∴F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0), ∴kMF1=,kMF2=, ∴kMF1·kMF2==, 又點(diǎn)(3,m)在雙曲線上,∴m2=3, ∴kMF1·kMF2=-1,MF1⊥MF2,·=0. 法二 ∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m), ∴·=(3+2)(3-2)+m2=-3+m2. ∵M(jìn)在雙曲線上,∴9-m2=6, ∴m2=3,∴·=0. (3)解 ∵在△F1MF2中,|F1F2|=4,且|m|=, ∴S△F1MF2=·|F1F2|·|m|=×4×=6. B級(jí) 能力突破(時(shí)間:30分鐘 滿分:45分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2013·北京西城模擬)過(guò)雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)(c>0)作圓x2+y2=的切線,切點(diǎn)為E,延長(zhǎng)FE交雙曲線右支于點(diǎn)P,若+=2,則雙曲線的離心率為 ( ). A. B. C. D. 解析 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為A,則=-,故+=-==2,即OE=AP.所以E是PF的中點(diǎn),所以AP=2OE=2×=a.所以PF=3a.在Rt△APF中,a2+(3a)2=(2c)2,即10a2=4c2,所以e2=,即離心率為e= =,選C. 答案 C 2.(2012·福建)已知雙曲線-=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于 ( ). A. B.4 C.3 D.5 解析 易求得拋物線y2=12x的焦點(diǎn)為(3,0),故雙曲線-=1的右焦點(diǎn)為(3,0),即c=3,故32=4+b2,∴b2=5,∴雙曲線的漸近線方程為y=±x,∴雙曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為=. 答案 A 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.(2013·臨沂聯(lián)考)已知點(diǎn)F是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若△ABE是銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍為________. 解析 由題意知,△ABE為等腰三角形.若△ABE是銳角三角形,則只需要∠AEB為銳角.根據(jù)對(duì)稱性,只要∠AEF<即可.直線AB的方程為x=-c,代入雙曲線方程得y2=,取點(diǎn)A,則|AF|=,|EF|=a+c,只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<,即1,故1- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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