高中數(shù)學(xué)專題二 立體幾何與空間向量 第2講 空間中的平行與垂直

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1、 高中數(shù)學(xué)專題二 立體幾何與空間向量 第2講 空間中的平行與垂直 1. 如圖所示，平面α∩平面β=l，A∈α，B∈α，AB∩l=D，C∈β，C?l，則平面 ABC 與平面 β 的交線是 ?? A．直線 AC B．直線 AB C．直線 CD D．直線 BC 2. 已知 α，β，γ 是三個不同的平面，且 α∩γ=m，β∩γ=n，則“m∥n”是“α∥β”的 ?? A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 3. 已知 平面α∩β=l，m 是 α 內(nèi)不同于 l 的直線，那么下列命題中錯誤的是 ?? A．若 m

2、∥β，則 m∥l B．若 m∥l，則 m∥β C．若 m⊥β，則 m⊥l D．若 m⊥l，則 m⊥β 4. 在正方體 ABCD—A1B1C1D1 中，E 為棱 CD 的中點，則 ?? A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 5. 已知 m，n 是兩條不同的直線，α，β 是兩個不同的平面，則下列說法正確的是 ?? A．若 m?α，n?β，m∥β，n∥α，則 α∥β B．若 m∥α，n∥α，則 m∥n C．若 m⊥α，m⊥n，則 n∥α D．若 m⊥α，m∥n，n?β，則 α⊥β 6. 若空間中四個不重

3、合的平面 α1，α2，α3，α4 滿足 α1⊥α2，α2⊥α3，α3⊥α4，則下列結(jié)論一定正確的是 ?? A． α1⊥α4 B． α1∥α4 C． α1 與 α4 既不垂直也不平行 D． α1 與 α4 的位置關(guān)系不確定 7. 如圖，以等腰直角三角形 ABC 的斜邊 BC 上的高 AD 為折痕，翻折 △ABD 和 △ACD，使得 平面ABD⊥平面ACD．給出下列四個結(jié)論： ① BD⊥AC； ② △BAC 是等邊三角形； ③三棱錐 D?ABC 是正三棱錐； ④ 平面ADC⊥平面ABC． 其中正確的結(jié)論是 ?? A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④

4、 8. 如圖是一個直三棱柱 ABC?A?B?C? 和一個三棱錐 D?A?B?C? 的組合體，AB⊥BC，BB?=BC=AB=1，BD=2BB?，E，F(xiàn)，M 分別是棱 AA?，CC?，BD 上一點，且 AE=A?E，CF=C?F．則下列結(jié)論不可能成立的是 ?? A． 平面MEF⊥平面ACC?A? B．三棱錐 C??MEF 的體積為定值 C． 平面MEF∥平面DA?C? D． △MEF 的周長為 4+2 9. 如圖所示，在長方體 ABCD?A1B1C1D1 中，平面 AB1C 與平面 A1DC1 的位置關(guān)系是 ． 10. 正方體 ABCD?A

5、1B1C1D1 的棱和六個面的對角線共有 24 條，其中與體對角線 AC1 垂直的有 條． 11. 設(shè)有下列四個命題： ①兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)； ②過空間中任意三點有且僅有一個平面； ③若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行； ④若 直線l?平面α，直線m⊥平面α，則 m⊥l． 則上述命題中所有真命題的序號是 ． 12. 如圖，已知棱長為 1 的正方體 ABCD?A1B1C1D1 中，E，F(xiàn)，M 分別是線段 AB，AD，AA1 的中點，又 P，Q 分別在線段 A1B1，A1D1 上，且 A1P=A1Q=x0

6、平面MPQ=l，現(xiàn)有下列結(jié)論： ① l∥平面ABCD ; ② l⊥AC ; ③直線 l 與平面 BCC1B1 不垂直； ④當(dāng) x 變化時，l 不是定直線． 其中成立的結(jié)論是 ．（寫出所有成立結(jié)論的序號） 13. 如圖所示，在三棱柱 ABC?A1B1C1 中，AB=AC，側(cè)面BCC1B1⊥底面ABC，E，F(xiàn) 分別為棱 BC 和 A1C1 的中點． (1) 求證：EF∥平面ABB1A1． (2) 求證：平面AEF⊥平面BCC1B1． 14. 如圖，在三棱柱 ABC?A1B1C1 中，側(cè)面 CBB1C1 是菱形，∠C1CB=60°，平面ABC⊥平面CBB1

7、C1，M 為 BB1 的中點，AC⊥BC . (1) 證明：CC1⊥平面A1C1M； (2) 若 CA=CB=2，求三棱錐 C1?A1CM 的體積． 答案 1. 【答案】C 【解析】由題意知，D∈l，l?β，所以 D∈β， 又因為 D∈AB，所以 D∈平面ABC，所以點 D 在平面 ABC 與平面 β 的交線上． 又因為 C∈平面ABC，C∈β，所以點 C 在平面 β 與平面 ABC 的交線上， 所以 平面ABC∩平面β=CD． 2. 【答案】B 3. 【答案】D 4. 【答案】C 【解析】法一：連 B1C， 由題意得 BC1⊥B1C，

8、因為 A1B1⊥平面B1BCC1，且 BC1?平面B1BCC1， 所以 A1B1⊥BC1， 因為 A1B1∩B1C=B1， 所以 BC1⊥平面A1ECB1， 因為 A1E?平面A1ECB1， 所以 A1E⊥BC1． 法二：以 D 為原點，DA 為 x 軸，DC 為 y 軸，DD1 為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體 ABCD—A1B1C1D1 中棱長為 2， 則 A12,0,2，E0,1,0，B2,2,0，D0,0,0，C10,2,2，A2,0,0，C0,2,0， A1E=?2,1,?2，DC1=0,2,2，BD=?2,?2,0，BC1=?2,0,2，AC=?2,2

9、,0， 因為 A1E?DC1=?2，A1E?BD=2，A1E?BC1=0，A1E?AC=6， 所以 A1E⊥BC1． 5. 【答案】D 6. 【答案】D 【解析】因為 α1⊥α2 、 α2⊥α3， 所以 α1 與 α3 平行或相交， 又 α3⊥α4， 所以 α1 與 α4 的位置關(guān)系不確定． 7. 【答案】B 【解析】由題意易知，BD⊥平面ADC，又 AC?平面ADC， 故 BD⊥AC，①中結(jié)論正確； 設(shè)等腰直角三角形 ABC 的腰為 a，則 BC=2a， 由①知 BD⊥平面ADC，CD?平面ADC， 所以 BD⊥CD， 又 BD=CD=22

10、a， 所以由勾股定理得 BC=2×22a=a， 所以 AB=AC=BC， 則 △BAC 是等邊三角形，②中結(jié)論正確； 易知 DA=DB=DC，又由②可知③中結(jié)論正確，④中結(jié)論錯誤． 8. 【答案】D 【解析】因為 BD=2BB?， 所以 B，B?，D 三點共線，且 B?D=BB?． 對于A，當(dāng) M 為 BB? 的中點時，易得 AA?⊥平面MEF， 所以 平面MEF⊥平面ACC?A?， 所以A可能成立． 對于B，易得 △C?EF 的面積是個定值，BB?∥平面ACC?A?， 所以點 M 到平面 C?EF 的距離是個定值， 所以三棱錐 C??MEF 的體積為定值，所以

11、B成立． 對于C，當(dāng)點 M 為 B?D 的中點時，可證得 EM∥A?D， 則 EM∥平面A?DC?， 同理可證得 FM∥平面A?DC?，又 FM∩EM=M， 所以 平面MEF∥平面DA?C?，所以C可能成立． 對于D，顯然當(dāng)點 M 與點 D 重合時，△MEF 的周長最大， 連接 ED，在 △A?ED 中，易知 ∠DA?E=135°，A?E=12，A?D=2， 由余弦定理得 DE=A?E2+A?D2?2A?E?A?Dcos135°=132, 所以此時 △MEF 的周長為 13+2． 因為 13+2<4+2, 所以D不可能成立． 9. 【答案】平行 10.

12、 【答案】 6 11. 【答案】①④ 【解析】①是真命題，兩兩相交且不過同一點的三條直線必定有三個交點，且這三個交點不在同一條直線上，由平面的基本性質(zhì)“經(jīng)過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面”，可知①為真命題；②是假命題，因為空間三點在一條直線上時，有無數(shù)個平面過這三個點；③是假命題，因為空間兩條直線不相交時，它們可能平行，也可能異面；④是真命題，因為一條直線垂直于一個平面，那么它垂直于平面內(nèi)的所有直線． 12. 【答案】①②③ 【解析】連接 BD，B1D1， 因為 A1P=A1Q=x， 所以 PQ∥B1D1∥BD∥EF， 易證 PQ∥平面MEF， 又 平

13、面MEF∩平面MPQ=l， 所以 PQ∥l，l∥EF， 所以 l∥平面ABCD，故①成立； 又 EF⊥AC， 所以 l⊥AC，故②成立； 因為 l∥EF∥BD， 所以易知直線 l 與平面 BCC1B1 不垂直，故③成立； 當(dāng) x 變化時，l 是過點 M 且與直線 EF 平行的定直線，故④不成立． 13. 【答案】 (1) 如圖，取 A1B1 的中點 G，連接 BG，F(xiàn)G， 在 △A1B1C1 中， 因為 F，G 分別為 A1C1，A1B1 的中點， 所以 FG∥B1C1，且 FG=12B1C1． 在三棱柱 ABC?A1B1C1 中，BC∥B1C1． 又

14、E 為棱 BC 的中點， 所以 FG∥BE，且 FG=BE， 所以四邊形 BEFG 為平行四邊形， 所以 EF∥BG， 又因為 BG?平面ABB1A1，EF?平面ABB1A1， 所以 EF∥平面ABB1A1． (2) 在 △ABC 中， 因為 AB=AC，E 為 BC 的中點， 所以 AE⊥BC， 又 側(cè)面BCC1B1⊥底面ABC，側(cè)面BCC1B1∩底面ABC=BC，且 AE?平面ABC， 所以 AE⊥平面BCC1B1， 又 AE?平面AEF， 所以 平面AEF⊥平面BCC1B1． 14. 【答案】 (1) 連接 C1B． 因為 平面ABC⊥平面CBB1

15、C1， 平面ABC∩平面CBB1C1=BC， 且 AC⊥BC，AC?平面ABC， 所以 AC⊥平面CBB1C1， 而 CC1?平面CBB1C1， 所以 AC⊥CC1， 又 AC∥A1C1， 則有 A1C1⊥CC1， 因為四邊形 CBB1C1 是菱形，∠C1CB=60°， 所以 △C1BB1 為等邊三角形， 因為 M 為 BB1 的中點， 所以 C1M⊥BB1， 即 C1M⊥CC1， 又 A1C1∩C1M=C1，A1C1,C1M?平面A1C1M， 所以 CC1⊥平面A1C1M． (2) 由（1）得 C1M=3， 又 A1C1=AC=2，AC⊥平面CBB1C1， C1M?平面CBB1C1， 所以 AC⊥C1M， 又 AC∥A1C1， 則有 A1C1⊥C1M， 所以 △A1C1M 的面積為 S△A1C1M=3， 由（1）可知 CC1⊥平面A1C1M， 所以三棱錐 C1?A1CM 的體積 VC1?A1CM=VC?A1C1M=13?S△A1C1M?CC1=233．