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1、第4講 不等式,專題三 數(shù)列與不等式,板塊三 專題突破核心考點,,[考情考向分析],1.利用不等式性質(zhì)比較大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、線性規(guī)劃、絕對值不等式的應(yīng)用問題是高考的熱點,主要以選擇題、填空題為主. 2.一元二次不等式常與函數(shù)、數(shù)列結(jié)合考查一元二次不等式的解法和參數(shù)的取值范圍. 3.在解答題中,特別是在解析幾何中求最值、范圍問題或在解決導(dǎo)數(shù)或數(shù)列問題時常利用不等式進行求解,難度較大.,,,熱點分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點分類突破,,熱點一 基本不等式,√,解析,答案,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=2時,上面不等式中兩個等號同時成立,,則f(x)=|x-1|+|x-2|+|x
2、-4|,所以當(dāng)x=2時,函數(shù)f(x)取得最小值f(2)=5-2=3,故選A.,(2)(2018諸暨市高考適應(yīng)性考試)已知a,b為正實數(shù),且(a+b)(a+2b)+a+b=9,則3a+4b的最小值為________.,解析,答案,解析 由(a+b)(a+2b)+a+b=9,,在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號成立的條件)的條件,否則會出現(xiàn)錯誤.,,√,解析,答案,∴x+y=1,,√,解析,答案,∴x2+y2=4, ∵(x+y)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)=8,
3、當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時取等號,,,熱點二 簡單的線性規(guī)劃問題,解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域,再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義,數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點),但要注意作圖一定要準(zhǔn)確,整點問題要驗證解決.,解析,答案,-2 8,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過A(4,-2)時,zmin=4+3(-2)=-2; 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過B(2,2)時,zmax=2+32=8.,√,解析,答案,解析 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出滿足約束條件的平面區(qū)域,如圖所示的陰影部分,其中不含邊界線段NP, 設(shè)z=x2+y2,求z=x2+y2的取值范圍, 即求圖中陰影部分內(nèi)的點到原點的距離的平方的取值范
4、圍. 由圖可知,作OH⊥MN于點H,,又∵OP2=22+32=13,但點P不在圖中陰影部分內(nèi), ∴z=x2+y2取不到13,,(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型:一是求最值;二是求區(qū)域面積;三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍. (2)一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.,,A.(-∞,2] B.[-1,1] C.[-1,2) D.(1,+∞),√,解析,答案,直線λx-y+2λ-2=0恒過定點(-2,-2), 由圖易得不等式組 表示的平面區(qū)域為陰影部分在直線 λx-y+2λ-2=0下方的部分, 當(dāng)λ>1時,不等式組表示的平面區(qū)域經(jīng)過四個象限
5、;,當(dāng)λ0)表示的平面區(qū)域為Ω,P(x,y)為Ω上的點,當(dāng)2x+y 的最大值為8時,Ω的面積為 A.12 B.8 C.4 D.6,√,解析,答案,解析 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域, 其是以(0,0),(m,-m),(m,2m)為頂點的三角形區(qū)域(包含邊界), 由圖(圖略)易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+y經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(m,2m)時, z=2x+y取得最大值, 所以2m+2m=8,解得m=2, 則此時平面區(qū)域Ω的面積為 2(4+2)=6,故選D.,,熱點三 絕對值不等式及其應(yīng)用,1.絕對值不等式的解法 (1)|ax+b|≤c(c>0)?-c≤ax+b≤c;
6、 |ax+b|≥c(c>0)?ax+b≥c或ax+b≤-c. (2)含絕對值的不等式的幾種解法:公式法;零點分區(qū)間法;幾何意義法;圖象法. 2.絕對值三角不等式 (1)|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時等號成立. (2)|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時,等號成立.,解析,答案,√,,(2)已知m∈R,要使函數(shù)f(x)=|x2-4x+9-2m|+2m在區(qū)間[0,4]上的最大值是9,則m的取值范圍是__________.,解析,答案,解析 不等式即為|x2-4x+9-2m|+2m≤9,x∈[0,4], 等價于|x2-4x+9-2m|≤9-2m,x∈
7、[0,4], 2m-9≤x2-4x+9-2m≤9-2m,x∈[0,4], 4m-18≤x2-4x≤0,x∈[0,4], 結(jié)合函數(shù)的定義域可得(x2-4x)min=-4,,(1)利用絕對值三角不等式求最值要注意等號成立的條件. (2)絕對值不等式在某一區(qū)間上的最值可以進行分類討論,也可以直接分析區(qū)間端點的取值,結(jié)合最值取到的條件靈活確定.,,解析 |x-1|+|x|+|y-1|+|y+1| ≥|(x-1)-x|+|(y-1)-(y+1)|=3, 當(dāng)且僅當(dāng)0
8、2 C.3 D.4,√,解析,答案,解析,答案,真題押題精練,真題體驗,1.(2016上海)設(shè)x∈R,則不等式|x-3|<1的解集為_______.,解析,答案,(2,4),解析 由-1
9、(填序號) ①若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,則a2+b2+c2<100; ②若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,則a2+b2+c2<100; ③若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,則a2+b2+c2<100; ④若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,則a2+b2+c20,,解析,答案,押題預(yù)測,答案,解析,押題依據(jù),押題依據(jù) 基本不等式在歷年高考中的地位都很重要,已成為高考的重點和熱點,用基本不等式求函數(shù)(和式或積式)的最值問題,有時與解析幾何、數(shù)列等知識相結(jié)合.,√,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時取等號. ∴(x+y)2-5(x+y)+4≤0, 解得1≤x+y≤4,∴x+y的最
10、大值是4.,答案,解析,押題依據(jù),押題依據(jù) 不等式的解法作為數(shù)學(xué)解題的一個基本工具,在高考中是必考內(nèi)容.往往與函數(shù)的單調(diào)性相結(jié)合,最后轉(zhuǎn)化成一元一次不等式或一元二次不等式.,√,∴x2-x+1≥a2-a對任意實數(shù)x恒成立.,押題依據(jù) 線性規(guī)劃的實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,利用線性規(guī)劃的方法求一些線性目標(biāo)函數(shù)的最值是近幾年高考的熱點.,A.-6 B.6 C.7 D.8,答案,解析,押題依據(jù),√,畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界),,當(dāng)直線z=4x+y過點C(1,3)時,z取得最小值且最小值為4+3=7,故選C.,A.(-4,2) B.(-∞,-4)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(0,+∞) D.(-2,0),押題依據(jù) “恒成立”問題是函數(shù)和不等式交匯處的重要題型,可綜合考查不等式的性質(zhì),函數(shù)的值域等知識,是高考的熱點.,答案,解析,押題依據(jù),√,所以x2+2x<8, 解得-4