2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3.3 最大值與最小值課件 蘇教版選修1 -1.ppt

《2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3.3 最大值與最小值課件 蘇教版選修1 -1.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3.3 最大值與最小值課件 蘇教版選修1 -1.ppt（34頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、3．3.3 最大值與最小值,,第3章 導數(shù)及其應用,學習導航,,,第3章 導數(shù)及其應用,1．函數(shù)的最大值與最小值 如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0，使得對任意的x∈I，總有f(x)≤f(x0)，則f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的最大值．最大值是相對函數(shù)定義域整體而言的，如果存在最大值，那么最大 值____________． 如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0，使得對任意的x∈I，總有 ____________，則f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的_________． 一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．函數(shù)的最值必在端點處或極值點處取得．,惟一,f(x)

2、≥f(x0),最小值,注意：開區(qū)間(a，b)上連續(xù)函數(shù)y＝f(x)的最值有如下幾種 情況： 圖①中的函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)上有最大值無最小值; 圖②中的函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)上有最小值無最大值; 圖③中的函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)上既無最大值也無最 小值； 圖④中的函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)上既有最大值也有最 小值．,,2．函數(shù)的最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系 (1)函數(shù)的最值是一個整體性的概念．函數(shù)極值是在局部上對函數(shù)值的比較，具有相對性；而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個定義域上的情況，是對整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較． (2)函數(shù)在一個閉區(qū)間上若存在最大值或最小值

3、，則最大值或最小值只能各有一個，具有惟一性，而極大值和極小值可能多于一個，也可能沒有，例如：常數(shù)函數(shù)就既沒有極大值也沒有極小值． (3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點處取必定是極值．,3．求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的步驟 第一步，求f(x)在區(qū)間(a，b)上的____________； 第二步，將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 注意：(1)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)單調(diào)，則最大、最小值在端點處取得． (

4、2)當連續(xù)可導函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個導數(shù)為零的點時，若在這一點處f(x)有極大值(或極小值)，則可以判定f(x)在該點處取得最大值(或最小值)，這里(a，b)也可以是無窮區(qū)間．,極值,1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f(x)一定有最大值和最小值． ( ) (2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(x)的最大值是f(b)，f(x)的最小值是f(a)．( ) (3)定義在開區(qū)間(a，b)上的函數(shù)f(x)沒有最大值．( ) (4)函數(shù)的所有極小值中最小的一個就是最小值．( ),,√,,,2．函數(shù)f(x)＝x3－12x＋16，

5、x∈[－2,3]的最大值是_______. 解析：f′(x)＝3x2－12＝0，∴x＝2， f(－2)＝－8＋24＋16＝32， f(2)＝8－24＋16＝0， f(3)＝27－36＋16＝7， ∴ymax＝32.,32,,π,4．若函數(shù)f(x)、g(x)在區(qū)間[a，b]上可導，且f′(x)>g′(x)， f(a)＝g(a)，則在區(qū)間[a，b]上有f(x)與g(x)的大小關系為 _________________． 解析：∵f′(x)>g′(x)， ∴f(x)－g(x)單調(diào)遞增． ∵x≥a，∴f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)， 即f(x)－g(x)≥0，即f(x)≥g(x)．,f(x)≥

6、g(x),求函數(shù)的最值,∴當x＝0時，f(x)有最小值f(0)＝0； 當x＝2π時，f(x)有最大值f(2π)＝π. (2)f′(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－3)(x－1)， 由f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3.,列表：,若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)上可導，則f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，其最值一定在極值點處或區(qū)間端點處取得，因此在求閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導的函數(shù)的最值時，可將過程簡化，即不用判斷導數(shù)為零的點是極大值點還是極小值點，直接將極值點與端點的函數(shù)值進行比較,就可判定最大(小)的函數(shù)值．對于開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導的函

7、數(shù)(定義域為開區(qū)間或半開半閉區(qū)間)求最值，除求出函數(shù)的極大值、極小值外,還應考慮函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值或畫出函數(shù)的大致圖象,再判定函數(shù)的最大(小) 值，否則會犯錯誤，但定義在開區(qū)間(a，b)上的可導函數(shù)，如果只有一個極值點，該極值點必為最值點．,解：f′(x)＝2x－2x3，解方程2x－2x3＝0， 得x＝0或x＝1. 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：,,含參數(shù)的最值問題,,,,求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，如果含有參數(shù)，則應進行分類討論．由于函數(shù)的最值只能在極值點和端點處取得，所以只需比較極值點和端點處的函數(shù)值的大小即可，最后再將討論的情況進行合并整理．,2．已知a是實數(shù)，函

8、數(shù)f(x)＝x2(x－a)． (1)若f′(1)＝3，求a的值及曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程； (2)求f(x)在區(qū)間[－1,0]上的最大值．,,,,函數(shù)最值的應用,,有關恒成立問題，一般是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．即 ①若f(x)f(x)max； ②若f(x)>c恒成立，則c

9、∞時，f(x)→－∞. 故f(x)的圖象大致如圖所示． ∴方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的個數(shù)為2個．,法二：轉(zhuǎn)化為求f1(x)＝x3－6x2＋9x與f2(x)＝4圖象交點的個數(shù)問題． ∵f1(x)＝x3－6x2＋9x， ∴f′1(x)＝3x2－12x＋9. 令f′1(x)＝0得x＝3或x＝1. 當x變化時，f′1(x)，f1(x)隨x變化情況如下表：,又當x→＋∞時，f1(x)→＋∞. 當x→－∞時，f1(x)→－∞. 故f1(x)與f2(x)的圖象大致如圖所示． 由此知y＝f1(x)與y＝f2(x)圖象有兩個交點，故方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的個數(shù)為2個．,[名師點評] (1)方程的根就是函數(shù)的零點，也就是函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標，因此研究方程的根的問題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點問題，通過研究函數(shù)的圖象加以解決． (2)在討論函數(shù)的大致圖象時，利用導數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性以及極值和最值的情況，然后討論交點的情況，從而得到方程根的情況.,令f′(x)＝0，解得x＝1， 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：,[感悟提高] 利用導數(shù)可以證明含有高次式、指數(shù)式、對數(shù)式等類型的不等式，在證明的過程中，首先要注意變量的取值范圍，再正確的構造出函數(shù)，最后再求出函數(shù)的最值．,