一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù).ppt

上傳人:za****8 文檔編號(hào):14108327 上傳時(shí)間:2020-07-03 格式:PPT 頁(yè)數(shù):30 大小:2.07MB
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1、8,一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),一、,周期為,的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),定理,設(shè),是周期為,的周期函數(shù),,且滿足收斂定理的條件,,則它的傅里葉級(jí)數(shù),在,上收斂,且,(1),(2),當(dāng),為連續(xù)點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,為間斷點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,當(dāng),其中,(1),(2),證,,,,作換元,,則在此變換下,區(qū)間,變?yōu)?區(qū)間,是周期為,的周期函數(shù),可以驗(yàn)證:,的傅氏級(jí)數(shù),在,上收斂,且,其中,(*),由,與,復(fù)合而成,是,的連續(xù)點(diǎn),是,的連續(xù)點(diǎn),由,與,復(fù)合而成,是,的連續(xù)點(diǎn),是,的連續(xù)點(diǎn),即:,是,的連續(xù)點(diǎn),是,的連續(xù)點(diǎn),,,將,代入,(*)式,,得,的連續(xù)點(diǎn),,,,,是,的間斷點(diǎn),是,其中,即(1)(2)式

2、。,證畢。,說(shuō)明,(1),當(dāng),上是奇函數(shù)時(shí),,奇函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)是正弦級(jí)數(shù),在,(3),其中,,按(3)式計(jì)算。,當(dāng),上是偶函數(shù)時(shí),,偶函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)是余弦級(jí)數(shù),在,(4),其中,,按(4)式計(jì)算。,(2),若,只在,上有定義,,且滿足收斂,定理的條件,,也可將它展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)。,方法:,首先,,將,進(jìn)行周期延拓,,將它,拓廣為周期為,的周期函數(shù),;,然后,將,展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù);,最后,,再將,限制在,上,,就得到,的傅氏級(jí)數(shù),展開(kāi)式。,即:,按(1)、(2)式求出,從而得到,的,傅氏級(jí)數(shù),在點(diǎn),,,是,的連續(xù)點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,;,是,的間斷點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,在端點(diǎn),,,級(jí)數(shù)收斂于,(3),若

3、,只在,上有定義,,且滿足收斂,定理的條件,,可將它展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦,首先,,將,進(jìn)行奇延拓,,將它拓廣,為,上的奇函數(shù),;,然后,,將,展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)(正弦級(jí)數(shù));,最后,,再將,限制在,上,,就得到,的正弦級(jí)數(shù),即:,級(jí)數(shù)。,展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)的方法:,展開(kāi)式。,按(3)式求出,從而得到,的正弦級(jí)數(shù),在點(diǎn),,,是,的連續(xù)點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,;,是,的間斷點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,在端點(diǎn),,,級(jí)數(shù)收斂于,首先,,將,進(jìn)行偶延拓,,將它拓廣,為,上的偶函數(shù),;,然后,,將,展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)(余弦級(jí)數(shù));,最后,,再將,限制在,上,,就得到,的余弦級(jí)數(shù),即:,展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)的方法:,展開(kāi)式。,按(4)式

4、求出,從而得到,的余弦級(jí)數(shù),在點(diǎn),,,是,的連續(xù)點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,是,的間斷點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,在端點(diǎn),,,級(jí)數(shù)收斂于,,,級(jí)數(shù)收斂于,例1,設(shè),是周期為,的周期函數(shù),,它在,上的表達(dá)式為,將,展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)。,解,滿足收斂定理的條件,,它在點(diǎn),處間斷,,在其它點(diǎn)處連續(xù)。,由收斂定理,得,當(dāng),時(shí),,傅氏級(jí)數(shù)收斂于,當(dāng),時(shí),,傅氏級(jí)數(shù)收斂于,計(jì)算傅氏系數(shù):,的傅氏級(jí)數(shù)為:,例2,將函數(shù),展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù).,解,將,偶延拓.,在,上連續(xù),當(dāng),時(shí),,余弦級(jí)數(shù)收斂于,在端點(diǎn),,,余弦級(jí)數(shù)收斂于,令,在端點(diǎn),,,余弦級(jí)數(shù)收斂于,,,求,按公式(4)得:,余弦級(jí)數(shù)為,例3,將函數(shù),展開(kāi)成,以,為周期的傅氏級(jí)數(shù)。,解,令,,則在此變換下,,變?yōu)閰^(qū)間,區(qū)間,這樣,,記,下面將,展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)。,在,上連續(xù),的傅氏級(jí)數(shù)收斂于,在點(diǎn),,,在端點(diǎn),的傅氏級(jí)數(shù)收斂于,,,,奇函數(shù),,偶函數(shù),的傅氏級(jí)數(shù)為,將,換回,得,即,補(bǔ)充題:,將函數(shù),展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)。,作業(yè),補(bǔ)充題答案:,

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