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1、11、掌握如下兩個關(guān)系：（1）環(huán)形跑道問題同一地點出發(fā),如果是相向而行,則每合走一圈相遇一次（2）環(huán)形跑道問題同一地點出發(fā),如果是同向而行,則每追上一圈相遇一次2、遇見多人多次相遇、追及能夠借助線段圖進行分析3、用比例解、數(shù)論等知識解環(huán)形跑道問題本講中的行程問題是特殊場地行程問題之一.是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進行分析.一、在做出線段圖后,反復(fù)的在每一段路程上利用：路程和=相遇時間速度和路程差=追及時間速度差二、解環(huán)形跑道問題的一般方法：環(huán)形跑道問題,從同一地點出發(fā),如果是相
2、向而行,則每合走一圈相遇一次;如果是同向而行,則每追上一圈相遇一次這個等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵.環(huán)線型同一出發(fā)點直徑兩端同向：路程差nSnS+0.5S相對(反向)：路程和nSnS-0.5S模塊一、常規(guī)的環(huán)形跑道問題【例例 1】一個圓形操場跑道的周長是 500 米,兩個學(xué)生同時同地背向而行黃鶯每分鐘走 66 米,麻雀每分鐘走 59 米經(jīng)過幾分鐘才能相遇?【鞏固】周老師和王老師沿著學(xué)校的環(huán)形林蔭道散步,王老師每分鐘走 55 米,周老師每分鐘走 65 米.已知林蔭道周長是 480 米,他們從同一地點同時背向而行.在他們第 10 次相遇后,王老師再走 米就回到出發(fā)點.知識精講知識精講教學(xué)目標
3、教學(xué)目標環(huán)形跑道問題環(huán)形跑道問題2【例例 2】上海小學(xué)有一長300米長的環(huán)形跑道,小亞和小胖同時從起跑線起跑,小亞每秒鐘跑6米,小胖每秒鐘跑4米,(1)小亞第一次追上小胖時兩人各跑了多少米?(2)小亞第二次追上小胖兩人各跑了多少圈?【鞏固】小張和小王各以一定速度,在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步小王的速度是200米/分小張和小王同時從同一地點出發(fā),反向跑步,1分鐘后兩人第一次相遇,小張的速度是多少米/分?小張和小王同時從同一點出發(fā),同一方向跑步,小張跑多少圈后才能第一次追上小王?【鞏固】一條環(huán)形跑道長 400 米,甲騎自行車每分鐘騎 450 米,乙跑步每分鐘 250 米,兩人同時從同地同向出發(fā)
4、,經(jīng)過多少分鐘兩人相遇?【鞏固】小新和正南在操場上比賽跑步,小新每分鐘跑 250 米,正南每分鐘跑 210 米,一圈跑道長 800 米,他們同時從起跑點出發(fā),那么小新第三次超過正南需要多少分鐘?【鞏固】幸福村小學(xué)有一條 200 米長的環(huán)形跑道,冬冬和晶晶同時從起跑線起跑,冬冬每秒鐘跑 6 米,晶晶每秒鐘跑 4 米,問冬冬第一次追上晶晶時兩人各跑了多少米,第 2 次追上晶晶時兩人各跑了多少圈?【鞏固】小明和小剛清晨來到學(xué)校操場練習(xí)跑步,學(xué)校操場是 400 米的環(huán)形跑道,小剛對小明說：“咱們比比看誰跑的快”,于是兩人同時同向起跑,結(jié)果 10 分鐘后小明第一次從背后追上小剛,同學(xué)們一定知道誰跑得快了
5、,小明的速度是每分鐘跑 140 米,那么如果小明第3次從背后追上小剛時,小剛一共跑了 米【鞏固】如圖 1,有一條長方形跑道,甲從 A 點出發(fā),乙從 C 點同時出發(fā),都按順時針方向奔跑,甲每秒跑 5米,乙每秒跑 4.5 米.當甲第一次追上乙時,甲跑了 圈.3【例例 3】兩名運動員在湖的周圍環(huán)形道上練習(xí)長跑甲每分鐘跑 250 米,乙每分鐘跑 200 米,兩人同時同地同向出發(fā),經(jīng)過 45 分鐘甲追上乙;如果兩人同時同地反向出發(fā),經(jīng)過多少分鐘兩人相遇?【鞏固】兩人在環(huán)形跑道上跑步,兩人從同一地點出發(fā),小明每秒跑 3 米,小雅每秒跑 4 米,反向而行,45秒后兩人相遇.如果同向而行,幾秒后兩人再次相遇【
6、鞏固】一條環(huán)形跑道長 400 米,小青每分鐘跑 260 米,小蘭每分鐘跑 210 米,兩人同時出發(fā),經(jīng)過多少分鐘兩人相遇【鞏固】甲、乙兩人從 400 米的環(huán)形跑道上一點 A 背向同時出發(fā),8 分鐘后兩人第五次相遇,已知每秒鐘甲比乙多走 0.1 米,那么兩人第五次相遇的地點與點 A 沿跑道上的最短路程是多少米?【例例 4】在 300 米的環(huán)形跑道上,田奇和王強同學(xué)同時同地起跑,如果同向而跑 2 分 30 秒相遇,如果背向而跑則半分鐘相遇,求兩人的速度各是多少?【鞏固】在 400 米的環(huán)形跑道上,甲、乙兩人同時同地起跑,如果同向而行 3 分 20 秒相遇,如果背向而行40 秒相遇,已知甲比乙快,求
7、甲、乙的速度各是多少?【例例 5】周老師和王老師沿著學(xué)校的環(huán)形林蔭道散步,王老師每分鐘走 55 米,周老師每分鐘走 65 米.已知林蔭道周長是 480 米,他們從同一地點同時背向而行.在他們第 10 次相遇后,王老師再走 米就回到出發(fā)點.4【鞏固】在周長為 200 米的圓形跑道條直徑的兩端,甲、乙兩人分別以 6 米/秒,5 米/秒的騎車速度同時同向出發(fā),沿跑道行駛.問：16 分鐘內(nèi),甲追上乙多少次?【鞏固】在環(huán)形跑道上,兩人在一處背靠背站好,然后開始跑,每隔 4 分鐘相遇一次;如果兩人從同處同向同時跑,每隔 20 分鐘相遇一次,已知環(huán)形跑道的長度是 1600 米,那么兩人的速度分別是多少?【例
8、例 6】甲、乙二人在操場的 400 米跑道上練習(xí)競走,兩人同時出發(fā),出發(fā)時甲在乙后面,出發(fā)后 6 分甲第一次超過乙,22 分時甲第二次超過乙.假設(shè)兩人的速度保持不變,問：出發(fā)時甲在乙后面多少米?【例例 7】在 400 米的環(huán)行跑道上,A,B 兩點相距 100 米.甲、乙兩人分別從 A,B 兩點同時出發(fā),按逆時針方向跑步.甲甲每秒跑 5 米,乙每秒跑 4 米,每人每跑 100 米,都要停 10 秒鐘.那么甲追上乙需要時間是多少秒?【例例 8】在環(huán)形跑道上,兩人都按順時針方向跑時,每 12 分鐘相遇一次,如果兩人速度不變,其中一人改成按逆時針方向跑,每隔 4 分鐘相遇一次,問兩人跑一圈各需要幾分鐘
9、?【例例 9】有甲、乙、丙 3 人,甲每分鐘行走 120 米,乙每分鐘行走 100 米,丙每分鐘行走 70 米.如果 3 個人同時同向,從同地出發(fā),沿周長是 300 米的圓形跑道行走,那么多少分鐘之后,3 人又可以相聚在跑道上同一處?【例例 10】甲、乙二人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點同時出發(fā),背向而行.現(xiàn)在已知甲走一圈的時間是 70分鐘,如果在出發(fā)后 45 分鐘甲、乙二人相遇,那么乙走一圈的時間是多少分鐘?5【例例 11】林琳在 450 米長的環(huán)形跑道上跑一圈,已知她前一半時間每秒跑 5 米,后一半時間每秒跑 4 米,那么她的后一半路程跑了多少秒?【鞏固】某人在 360 米的環(huán)形跑道上跑了一
10、圈,已知他前一半時間每秒跑 5 米,后一半時間每秒跑 4 米,則他后一半路程跑了多少秒?【例例 12】甲、乙、丙在湖邊散步,三人同時從同一點出發(fā),繞湖行走,甲速度是每小時 5.4 千米,乙速度是每小時 4.2 千米,她們二人同方向行走,丙與她們反方向行走,半個小時后甲和丙相遇,在過 5分鐘,乙與丙相遇.那么繞湖一周的行程是多少?【例例 13】甲和乙兩人分別從圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運動,當乙走了 100 米以后,他們第一次相遇,在甲走完一周前 60 米處又第二次相遇.求此圓形場地的周長?【鞏固】如圖,A、B 是圓的直徑的兩端,小張在 A 點,小王在 B 點同時
11、出發(fā)反向行走,他們在 C 點第一次相遇,C 離 A 點 80 米;在 D 點第二次相遇,D 點離 B 點 6O 米.求這個圓的周長.【鞏固】如圖,有一個圓,兩只小蟲分別從直徑的兩端A與C同時出發(fā),繞圓周相 向而行它們第一次相遇在離A點 8 厘米處的B點,第二次相遇在離C點處 6 厘米的D點,問,這個圓周的長是多少?6第第一一次次相相遇遇第第二二次次相相遇遇DCBA【鞏固】A、B 是圓的直徑的兩端,甲在 A 點,乙在 B 點同時出發(fā)反向而行,兩人在 C 點第一次相遇,在 D 點第二次相遇已知 C 離 A 有 75 米,D 離 B 有 55 米,求這個圓的周長是多少米?【例例 14】兩輛電動小汽車
12、在周長為 360 米的圓形道上不斷行駛,甲車每分行駛 20 米甲、乙兩車同時分別從相距 90 米的 A,B 兩點相背而行,相遇后乙車立即返回,甲車不改變方向,當乙車到達 B 點時,甲車過 B 點后恰好又回到 A 點此時甲車立即返回（乙車過 B 點繼續(xù)行駛）,再過多少分與乙車相遇?【鞏固】周長為 400 米的圓形跑道上,有相距 100 米的 A,B 兩點甲、乙兩人分別從 A,B 兩點同時相背而跑,兩人相遇后,乙即轉(zhuǎn)身與甲同向而跑,當甲跑到 A 時,乙恰好跑到 B如果以后甲、乙跑的速度和方向都不變,那么甲追上乙時,甲從出發(fā)開始,共跑了多少米?【鞏固】在一圓形跑道上,甲從 A 點、乙從 B 點同時出
13、發(fā)反向而行,6 分后兩人相遇,再過 4 分甲到達 B 點,又過 8 分兩人再次相遇.甲、乙環(huán)行一周各需要多少分?7【例例 15】如下圖所示的三條圓形跑道,每條跑道的長都是 0.5 千米,A、B、C 三位運動員同時從交點 O 出發(fā),分別沿三條跑道跑步,他們的速度分別是每小時 4 千米,每小時 8 千米,每小時 6 千米.問：從出發(fā)到三人第一次相遇,他們共跑了多少千米?OCBA【例例 16】甲、乙兩車同時從同一點A出發(fā),沿周長 6 千米的圓形跑道以相反的方向行駛甲車每小時行駛 65 千米,乙車每小時行駛 55 千米一旦兩車迎面相遇,則乙車立刻調(diào)頭;一旦甲車從后面追上一車,則甲車立刻調(diào)頭,那么兩車出
14、發(fā)后第 11 次相遇的地點距離有多少米?【鞏固】二人沿一周長 400 米的環(huán)形跑道均速前進,甲行一圈 4 分鐘,乙行一圈 7 分鐘,他們同時同地同向出發(fā),甲走 10 圈,改反向出發(fā),每次甲追上乙或迎面相遇時二人都要擊掌.問第十五次擊掌時,甲走多長時間乙走多少路程?【例例 17】下如右圖所示,某單位沿著圍墻外面的小路形成一個邊長 300 米的正方形甲、乙兩人分別從兩個對角處沿逆時針方向同時出發(fā)如果甲每分走 90 米,乙每分走 70 米,那么經(jīng)過多少時間甲才能看到乙?【鞏固】如圖,一個長方形的房屋長 13 米,寬 8 米甲、乙兩人分別從房屋的兩個墻角出發(fā),甲每秒鐘行3 米,乙每秒鐘行 2 米.問:
15、經(jīng)過多長時間甲第一次看見乙?8【例例 18】下圖是一個邊長 90 米的正方形,甲、乙兩人同時從 A 點出發(fā),甲逆時針每分行 75 米,乙順時針每分行 45 米兩人第一次在 CD 邊（不包括 C,D 兩點）上相遇,是出發(fā)以后的第幾次相遇?【例例 19】如圖,8 時 10 分,有甲、乙兩人以相同的速度分別從相距 60 米的 A,B 兩地順時針方向沿長方形ABCD 的邊走向 D 點.甲 8 時 20 分到 D 點后,丙、丁兩人立即以相同速度從 D 點出發(fā).丙由 D 向 A走去,8 時 24 分與乙在 E 點相遇;丁由 D 向 C 走去,8 時 30 分在 F 點被乙追上.問三角形 BEF 的面積為多
16、少平方米?【例例 20】甲、乙兩人從周長為 1600 米的正方形水池 ABCD 相對的兩個頂點 A,C 同時出發(fā)繞池邊沿ABCDA 的方向行走.甲每分行 50 米,乙每分行 46 米,甲、乙第一次在同一邊上行走,是發(fā)生在出發(fā)后的第多少分?第一次在同一邊上行走了多少分?【例例 21】如圖,長方形 ABCD 中 ABBC=54.位于 A 點的第一只螞蟻按 ABCDA 的方向,位于 C 點9的第二只螞蟻按 CBADC 的方向同時出發(fā),分別沿著長方形的邊爬行.如果兩只螞蟻第一次在 B 點相遇,則兩只螞蟻第二次相遇在()邊上.(A)AB(B)BC(C)CD【例例 22】在一個周長 90 厘米的圓上,有三
17、個點將圓周三等分.A,B,C 三個爬蟲分別在這三點上,它們每秒依次爬行 10 厘米、5 厘米、3 厘米.如果它們同時出發(fā)按順時針方向沿圓周爬行,那么它們第一次到達同一位置需多長時間?模塊二、環(huán)形跑道變道問題【例例 23】如圖 2,一個邊長為 50 米的正方形圍墻,甲、乙兩人分別從 A、C 兩點同時出發(fā),沿鬧墻按順時針方向運動,已知甲每秒走 5 米,乙每秒走 3 米,則至少經(jīng)過 秒甲、乙走到正方形的同一條邊上.【例例 24】如圖是一個跑道的示意圖,沿ACBEA走一圈是400米,沿ACBDA走一圈是275米,其中A到B 的直線距離是75米甲、乙二人同時從A點出發(fā)練習(xí)長跑,甲沿ACBDA的小圈跑,每
18、100米用24秒,乙沿ACBEA的大圈跑,每100米用21秒,問：1 乙跑第幾圈時第一次與甲相遇?2 發(fā)多長時間甲、乙再次在A相遇?ECDBA10【例例 25】如圖所示,大圈是 400 米跑道,由A到B的跑道長是 200 米,直線距離是 50 米.父子倆同時從A 點出發(fā)逆時針方向沿跑道進行長跑鍛煉,兒子跑大圈,父親每跑到B點便沿直線跑.父親每 100米用 20 秒,兒子每 100 米用 19 秒.如果他們按這樣的速度跑,兒子在跑第幾圈時,第一次與父親相遇?BA【例例 26】如圖,學(xué)校操場的 400 米跑道中套著 300 米小跑道,大跑道與小跑道有 200 米路程相重甲以每秒 6 米的速度沿大跑
19、道逆時針方向跑,乙以每秒 4 米的速度沿小跑道順時針方向跑,兩人同時從兩跑道的交點A處出發(fā),當他們第二次在跑道上相遇時,甲共跑了多少米?乙乙乙乙A B乙乙乙乙A【例例 27】有一種機器人玩具裝置,配備長、短不同的兩條跑道,其中長跑道長 400 厘米,短跑道長 300 厘米,且有 200 厘米的公用跑道(如下圖).機器人甲按逆時針方向以每秒 6 厘米的速度在長跑道上跑動,機器人乙按順時針方向以每秒 4 厘米的速度在短跑道上跑動.如果甲、乙兩個機器人同時從A點出發(fā),那么當兩個機器人在跑道上第 3 次迎面相遇時,機器人甲距離出發(fā)點A點多少厘米?200200100A11【例例 28】下圖是一個玩具火車
20、軌道,A 點有個變軌開關(guān),可以連接 B 或者 C.小圈軌道的周長是 1.5 米,大圈軌道的周長是 3 米.開始時,A 連接 C,火車從 A 點出發(fā),按照順時針方向在軌道上移動,同時變軌開關(guān)每隔 1 分鐘變換一次軌道連接.若火車的速度是每分鐘 10 米,則火車第 10 次回到A 點時用了 秒鐘.CBA【例例 29】下圖中有兩個圓只有一個公共點 A,大圓直徑 48 厘米,小圓直徑 30 厘米.兩只甲蟲同時從 A 點出發(fā),按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個圓爬行.問：當小圓上甲蟲爬了幾圈時,兩只甲蟲首次相距最遠?【例例 30】三個環(huán)行跑道如圖排列,每個環(huán)行跑道周長為 210 厘米;甲、乙兩只爬蟲分
21、別從A、B兩地按箭頭所示方向出發(fā),甲爬蟲繞 1、2 號環(huán)行跑道作“8”字形循環(huán)運動,乙爬蟲繞 3、2 號環(huán)行跑道作“8”字形循環(huán)運動,已知甲、乙兩只爬蟲的速度分別為每分鐘 20 厘米和每分鐘 l5 厘米,甲、乙兩爬蟲第二次相遇時,甲爬蟲爬了多少厘米?321BA12【鞏固】一個圓周長 90 厘米,3 個點把這個圓周分成三等分,3 只爬蟲A,B,C分別在這 3 個點上它們同時出發(fā),按順時針方向沿著圓周爬行 A的速度是 10 厘米/秒,B的速度是 5 厘米/秒,C的速度是 3 厘米/秒,3 只爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達同一位置?【例例 31】如圖所示,甲沿長為400米大圓的跑道順時針跑步,乙則沿兩
22、個小圓八字形跑步(圖中給出跑動路線的次序：12341）.如果甲、乙兩人同時從A點出發(fā),且甲、乙二人的速度分別是每秒 3 米和 5 米,問兩人第三次相遇的時間是出發(fā)后 秒.4321BA【例例 32】如圖,兩個圓環(huán)形跑道,大圓環(huán)的周長為 600 米,小圓環(huán)的周長為 400 米.甲的速度為每秒 6 米,乙的速度為每秒 4 米.甲、乙二人同時由A點起跑,方向如圖所示,甲沿大圓環(huán)跑一圈,就跑上小圓環(huán),方向不變,沿小圓環(huán)跑一圈,又跑上大圓環(huán),方向也不變;而乙只沿小圓環(huán)跑.問：甲、乙可能相遇的位置距離A點的路程是多少?(路程按甲跑的計算)乙的方向甲的方向甲的方向模塊三、環(huán)形跑道變速問題【例例 33】甲、乙兩
23、人沿 400 米環(huán)形跑道練習(xí)跑步,兩人同時從跑道的同一地點向相反方向跑去.相遇后甲比原來速度增加 2 米秒,乙比原來速度減少 2 米秒,結(jié)果都用 24 秒同時回到原地.求甲原來的速度.【例例 34】環(huán)形跑道周長是 500 米,甲、乙兩人從起點按順時針方向同時出發(fā).甲每分跑 120 米,乙每分跑13100 米,兩人都是每跑 200 米停下休息 1 分.甲第一次追上乙需多少分?【例例 35】甲、乙兩人同時同地同向出發(fā),沿環(huán)形跑道勻速跑步如果出發(fā)時乙的速度是甲的2.5倍,當乙第一次追上甲時,甲的速度立即提高25%,而乙的速度立即減少20%,并且乙第一次追上甲的地點與第二次追上甲的地點相距 100 米
24、,那么這條環(huán)形跑道的周長是 米BCA【例例 36】如圖所示,甲、乙兩人從長為400米的圓形跑道的A點背向出發(fā)跑步.跑道右半部分(粗線部分）道路比較泥濘,所以兩人的速度都將減慢,在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒8米,而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒4米.兩人一直跑下去,問：他們第 99 次迎面相遇的地方距A點還有 米.A【例例 37】甲、乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓(xùn)練：他們同時從同一地點出發(fā),沿相反方向跑,每人跑完第一圈到達出發(fā)點后立即回頭加速跑第二圈,跑第一圈時,乙的速度是甲速度的 2/3.甲跑第二圈時速度比第一圈提高了 1/3;乙跑第二圈時速度提高了 1/5已知沿跑道看從甲、乙兩人第二
25、次相遇點到第一次相遇點的最短路程是 190 米,那么這條橢圓形跑道長多少米?14【例例 38】如圖 3-5,正方形 ABCD 是一條環(huán)形公路已知汽車在 AB 上時速是 90 千米,在 BC 上的時速是120 千米,在 CD 上的時速是 60 千米,在 DA 上的時速是 80 千米從 CD 上一點 P,同時反向各發(fā)出一輛汽車,它們將在 AB 中點相遇如果從 PC 的中點 M,同時反向各發(fā)出一輛汽車,它們將在AB 上一點 N 相遇問 A 至 N 的距離除以 N 至 B 的距離所得到的商是多少?【例例 39】一條環(huán)形道路,周長為 2 千米甲、乙、丙 3 人從同一點同時出發(fā),每人環(huán)行 2 周現(xiàn)有自行車2 輛,乙和丙騎自行車出發(fā),甲步行出發(fā),中途乙和丙下車步行,把自行車留給其他人騎已知甲步行的速度是每小時 5 千米,乙和丙步行的速度是每小時 4 千米,3 人騎車的速度都是每小時 20千米請你設(shè)計一種走法,使 3 個人 2 輛車同時到達終點那么環(huán)行 2 周最少要用多少分鐘?
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